Вероятностная теория чисел

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Вам задана арифметическая функция: $f(1),f(2),...,f(n)$ на интервале $[1,n]$, тогда ее математическое ожидание

Приведите/дайте ссылку на используемое Вами определение понятия "математического ожидания арифметической функции".
Пока что я вижу только "математическое ожидание арифметической функции на интервале". Которое, естественно, параметризовано и функцией, и интервалом.
Но если мы берем последовательность функций на разных интервалах, и говорим, что она в каком-то смысле к чему-то сходится, то то, к чему она сходится, уже от интервала зависеть не может. Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Если хочется как-то расширить понятие сходимости, и сказать, например, что последовательность распределений $\mu_n(\{n\}) = 1$ сходится к дельта-распределению с ожиданием $n$, то надо явно написать такое определение.
Ну что-то вроде "последовательность с.в. $f_n$ мер называется vicvolf-сходящейся к нормальному распределению с параметрами $g(n)$, $h(n)$ если последовательность $\frac{f_n - g(n)}{h(n)}$ сходится к стандартному нормальному распределению". И дальше аккуратно проверять, какие из свойств сходимости по распределению переносятся на vicvolf-сходимость.

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Например, мат. ожидание функции Эйлера равно $E[\varphi,n]=\frac{3}{\pi^2}n+O(\ln(n))$

Это не мат. ожидание функции Эйлера, это мат. ожидание функций, получающихся ограничением функции Эйлера на интервал.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660175 писал(а):

Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Так оно и есть:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t.$$

Получаемый предел не зависит от $n$. Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$, так как они разные в каждом вероятностном пространстве.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660202 писал(а):

Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$

Правильно. Поэтому можно сказать "вон та нормированная последовательность случайных величин сходится по распределению к стандартному нормальному". Но нельзя сказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится по распределению к нормальному с параметрами $\mathcal N(f(n), g(n))$. Просто потому что параметры распределения, к которому они сходятся, не могут зависеть от $n$.