Вероятностная теория чисел

[vicvolf]

"Вероятностная теория чисеп" является полноправным разделом "Теории чисел". Имеется много учебников по "Вероятностной теории чисел":
1. Ковальский https://people.math.ethz.ch/~kowalski/p ... theory.pdf
2. Реньи https://gkorpal.github.io/files/renyi1958.pdf
3. Тененбаум https://www.ams.org/books/gsm/163/gsm163-endmatter.pdf
4. Кубилюс Ссылка.
5. Постников https://obuchalka.org/20190712111476/ve ... u711650893

Основным объектом изучения вероятностной теории чисел являются арифметические функции.

Однако, даже сейчас на форуме можно встретить такие сообщения:

Dmitriy40 в сообщении #1648478 писал(а):

Yadryara в сообщении #1648472 писал(а):

Являются ли простые числа случайной величиной?

Не стоит его поднимать ещё и здесь, где-то в соседних математических темах по vicvolf уже не однажды проходились катком что он неправомерно применяет теоремы о случайных числах к простым числам (которые очевидно не случайны, хотя в пределах ведут себя похоже).

Поэтому я хочу ответить на этот вопрос. Уже давно, не мною, на этом форуме писалось:

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$. В частности, можно говорить о мат. ожидании $\mathbb{E}\xi_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и дисперсии $\mathbb{D}\xi_{n}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}\right\rvert^{2}-\left\lvert\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\bigl\lvert f(k)\bigr\rvert^{2}-\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\right\rvert^{2}$, а для вещественной $f$ — о функции распределения $F_{\xi_{n}}(x)=\frac{1}{n}\bigl\lvert\{k\leqslant n:f(k)\leqslant x\}\bigr\rvert$ и характеристической функции $\varphi_{\xi_{n}}(t)=\mathbb{E}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t\xi_{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tf(k)}$.

Функцию натурального аргумента еще называют арифметической функцией, поэтому такую функцию можно рассматривать, как случайную величину на данном вероятностном пространстве.
Количество натуральных чисел, удовлетворяющих определенным условиям, не превосходящим натуральное число $n$ обозначим $K(n)$.
$K(n)$ является действительной функцией натурального аргумента или действительной арифметической функцией, поэтому ее можно рассматривать, как случайную величину на указанном вероятностном пространстве. Следовательно, можно говорить о среднем значении, дисперсии и функции распределении $K(n)$.
Примером арифметической функции $K(n)$ является количество кортежей простых чисел, не превосходящих натуральное число $n$, о которой говорилось в той теме.

[Gagarin1968]

vicvolf в сообщении #1656814 писал(а):

5. Поспелов

Правильно — Постников.

[vicvolf]

Gagarin1968 в сообщении #1656834 писал(а):

vicvolf в сообщении #1656814 писал(а):

5. Поспелов

Правильно — Постников.

Спасибо, исправил.

[Ende]

vicvolf
Ваши слишком длинные ссылки ломают верстку. Исправил. Пользуйтесь тегом URL.

[vicvolf]

Кроме того $K(n)$ принимает только натуральные значения и монотонно возрастает. Поэтому $K(n)=\sum_{i=1}^n {x_i}$, где $x_i,i=1,...,n$ - случайные величины Бернулли. Здесь предполагается, что случайные величины $x_i$ определены на одном и том же вероятностном пространстве.

Теперь о Центральной предельной теореме (ЦТП). В классической формулировке говорится, что имеются независимые одинаково распределенные случайные величины: $x_1,...,x_n$, имеющие конечные математическое ожидание и дисперсию, тогда случайная величина $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ сходится по распределению при $n \to \infty$ к нормальному распределению. Обратим внимание, что нет требования, чтобы случайные величины $x_i$ были определены на одном и том же вероятностном пространстве.

Однако,в формулировке ЦТП у Ляпунова есть такое требование. Далее я приведу формулировку ЦТП в форме Ляпунова и рассмотрю интересующий нас случай для $K(n)$.

Пусть независимые случайные величины $x_1,x_2,...,x_n,...$ определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания $a_i$, дисперсии $D[x_i]$ и моменты третьего порядка $E[(x_i-a_i)^3]$. Обозначим $D_n=\sum_{i=1}^n {D[x_i]}$.

Тогда, если выполняется условие:

$\lim_{n \to \infty} {\sum_{i=1}^n {E(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}}}=0$, (1)

то последовательность случайных величин $z_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ имеет предельным нормальное распределение при $n \to \infty$.

Рассмотрим частный случай центральной предельной теоремы в форме Ляпунова для независимых случайных величин Бернулли.

Пусть случайная величина $x_i$ принимает значение 1 с вероятностью $p_i$ и значение 0 с вероятностью $1-p_i$.

Тогда $a_i=p_i$ и выполняется:

$E[|x_i-a_i|^3]=E[(x_i-p_i|^3]=(1-p_i)^3p_i+p_i^3(1-p_i)=(p_i-p_i^2)[(1-p_i)^2+p_i^2]$. (2)

Дисперсия случайной величины $z_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$ равна:

$D_n=\sum_{i=1}^n {(p_i-p_i^2)}$. (3)

На основании (2),(3) и учитывая, что $(1-p_i)^2+p_i^2 \leq 1$, получим:

$\sum_{i=1}^n {E(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}}=\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)[(1-p_i^2)+p_i^2]}/(\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)^{3/2}}) $$\leq \sum_{i-1}^n{(p_i-p_i^2)}/(\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)^{3/2}})=1/\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)^{1/2}$. (4)

Поэтому, если ряд $\sum_{i=1}^n {(p_i-p_i^2)}$ - расходится ($D_n$ стремится к бесконечности), то для случайной величины $z_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$ на основании (4) выполняется условие (1) центральной предельной теоремы в форме Ляпунова. Поэтому последовательность случайных величин $z_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

[vicvolf]

Таким образом. для того, чтобы проверить имеет ли $K(n)$, в конкретном случае, предельным нормальное распределение при $n \to \infty$, с помощью данного выше утверждения для случайных величин Бернулли $x_i$, необходимо найти $p_i$ и доказать независимость этих случайных величин для этого конкретного случая.

Интерес вызывает рассмотрение $K(n)$ в случаях, когда изучаются различные подмножества простых чисел. Например, само множество простых чисел, простые числа в арифметических прогрессиях, кортежи простых чисел и.т.д.

В соответствии с данным выше определением вероятности:

$p_n=\frac{|A|}{n}$. (5)

Вероятность (5) является плотностью рассматриваемого подмножества на интервале натурального ряда.

Для того, чтобы проверить, что сумма:

$D_n=\sum_{i=1}^n{(p_i-p^2_i)}$ (6)

расходится при $n \to \infty$ достаточно знать асимптотику $p_n$.

Например, для подмножества простых чисел, на основании закона о простых числах, асимптотика их количества на интервале $[2,n)$ равна:

$\pi(n) \sim \frac{n}{\ln(n)}$. (7)

На основании (5) и (7) $p_n \sim 1/\ln(n)$, поэтому:

$\sum_{i=2}^n{(p_i-p^2_i)} \sim \sum_{i=2}^n {(\frac{1}{\ln(i)}-\frac{1}{\ln^2(i)})}=$$\sum_{i=2}^n{\frac{1}{\ln(i)}(1-\frac{1}{\ln(i)})} \geq (1-1/\ln2)\sum_{i=2}^n {\frac{1}{\ln(i)}}$. (8)

Учитывая интегральный признак сходимости сумма (8) расходится при $n \to \infty$.

Для подмножества простых чисел в арифметической прогрессии $an+b,(a,b)=1$, на основании закона о простых числах для арифметической прогрессии, получаем:

$p_n \sim \frac{a}{\varphi(a) \ln(n)}$. (9)

И аналогично (8), на основании (9), получаем, что сумма $\sum_{i=2}^{\infty}{(p_i-p^2_i)}$, в данном случае, расходится при $n \to \infty$.

Для подмножества простых $k$ - кортежей $p,p+2m_1,...,p+2m_{k-1}$ на основании соответствующей гипотезы Харди-Литтлвуда:

$p_n=\frac{C_{m_1,...m_k}}{\ln^k(n)}$, (10)

где $C_{m_1,...m_k}$- постоянная для данного $k$ - кортежа.

И аналогично (8), на основании (10), получаем, что сумма $\sum_{i=2}^{\infty}{(p_i-p^2_i)}$, в данном случае, расходится при $n \to \infty$.

[Yadryara]

warlock66613 в сообщении #1657715 писал(а):

Потому что что вообще такое вероятность -- неизвестно, это открытая философская проблема.

А в нынешней теме уместно об этом говорить? Если да, то Ваша точка зрения интересна.

[warlock66613]

Yadryara в сообщении #1657721 писал(а):

А в нынешней теме уместно об этом говорить?

По-моему не очень.

[vicvolf]

Обратим внимание, что указанные простые $k$ кортежи не должны образовывать полную систему вычетов в модулю, не превосходящему $k$, чтобы их количество в натуральном ряде было бесконечно.

Для больших натуральных значений $n$, на основании закона о простых числах, значение $\pi(n)$ приблизительно равно $n/\ln(n)$, поэтому вероятность большого, наудачу выбранного, натурального числа быть простым равна примерно $1/\ln(n)$. Однако, это верно не для всех натуральных значений $n$. Например, вероятность большого четного числа быть простым равна 0, аналогично для натуральных чисел $3n,5n,...,qn$.

Рассмотрим событие $B$, что наудачу выбранное , большое натуральное число является простым и событие $C$, что наудачу выбранное большое натуральное число равно $kn,k=2,3,5...,q$. Тогда $P(B)$ примерно равно $1/ln(n)$, а условная вероятность $P(B/C)=0$, поэтому указанные события являются зависимыми.

Поставим цель устранить указанную ошибку и найти такое подмножество натуральных чисел $A$, чтобы события $a_i \in A$ были независимыми, т.е. $P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A)...P(a_k \in A)$. (11)

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1657196 писал(а):

имеются независимые одинаково распределенные случайные величины: $x_1,...,x_n$

vicvolf в сообщении #1656984 писал(а):

Обратим внимание, что нет требования, чтобы случайные величины $x_i$ были определены на одном и том же вероятностном пространстве

Что такое независимость для случайных величин на разных пространствах?

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659164 писал(а):

Что такое независимость для случайных величин на разных пространствах?

vicvolf в сообщении #1656984 писал(а):

Здесь предполагается, что случайные величины $x_i$ определены на одном и том же вероятностном пространстве.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1656984 писал(а):

Теперь о Центральной предельной теореме (ЦТП). В классической формулировке говорится, что имеются независимые одинаково распределенные случайные величины: $x_1,...,x_n$, имеющие конечные математическое ожидание и дисперсию, тогда случайная величина $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ сходится по распределению при $n \to \infty$ к нормальному распределению. Обратим внимание, что нет требования, чтобы случайные величины $x_i$ были определены на одном и том же вероятностном пространстве.

(жирный шрифт мой - mihaild)

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659169 писал(а):

vicvolf в сообщении #1656984 писал(а):

Теперь о Центральной предельной теореме (ЦТП). В классической формулировке говорится, что имеются независимые одинаково распределенные случайные величины: $x_1,...,x_n$, имеющие конечные математическое ожидание и дисперсию, тогда случайная величина $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ сходится по распределению при $n \to \infty$ к нормальному распределению. Обратим внимание, что нет требования, чтобы случайные величины $x_i$ были определены на одном и том же вероятностном пространстве.

(жирный шрифт мой - mihaild)

Я использую, ЦТП в форме Ляпунова, которая требует определения случайных величин на одном вероятностном пространстве, поэтому я ввел это допущение, что все происходит на одном вероятностном пространстве. Я понимаю, что для доказательства сходимости по распределению это не требуется (Вы это хотите сказать?), но это мне нужно и для другого, в частности для определения независимости.

[mihaild]

А процитированный абзац Вы считаете верным, или нет? И используется ли он как-то в дальнейшем?

vicvolf в сообщении #1659181 писал(а):

поэтому я ввел это допущение, что все происходит на одном вероятностном пространстве

Так а на каком?

Вообще, что Вы сделать-то пытаетесь?

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659183 писал(а):

А процитированный абзац Вы считаете верным, или нет? И используется ли он как-то в дальнейшем?

Нет не верный, не используется.