Поставим цель устранить указанную ошибку и найти такое подмножество натуральных чисел
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, чтобы события
![$a_i \in A$ $a_i \in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/9/2799f621fa87c71cf20fc8101d7e29d882.png)
были независимыми, т.е.
![$P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A)...P(a_k \in A)$ $P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A)...P(a_k \in A)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/7/b879019c96fb1e13140649b79584ce5a82.png)
. (11)
Пусть имеется простое число
![$q \geq 3$ $q \geq 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/8/2786ecc29f258b728a01c4aca0f554f582.png)
, тогда обозначим
![$Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$ $Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/b/84b7334f9bf3dc85d548bbbef00b8ee482.png)
, (12)
т.е. праймориал
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
.
Будем удалять из отрезка натурального ряда последовательно числа, делящиеся на
![$2,3,...,q$ $2,3,...,q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/7/5f767ee84e3a24f8326b122869591f3d82.png)
. Таким образом, мы удаляем все числа вида
![$km$ $km$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/6/bf6504715a64a52eaecbe14d35f9de0c82.png)
, которые превносили зависимость.
Обозначим полученное подмножество -
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
. Пусть
![$a \in A$ $a \in A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/3/093389674502221e9d1394082bbabd6f82.png)
, тогда на основании (12) в этом случае -
![$(a,Q)=1$ $(a,Q)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/9/849ee1f9dde1e98cfcb09442af49e80282.png)
.
Пусть имеется последовательность натуральных чисел
![$a_1,...,a_k$ $a_1,...,a_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/c/d3c45be96c2511811e5ec151ebb4225882.png)
, удовлетворяющая условиям:
![$a_1<Q,...,a_k<Q, (a_1,Q)=1,...,(a_k,Q)=1$ $a_1<Q,...,a_k<Q, (a_1,Q)=1,...,(a_k,Q)=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79cc4ca739c0ad7d6c9b08cc32fd0f6e82.png)
, (13)
тогда различные события, что
![$a_i \in A$ $a_i \in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/9/2799f621fa87c71cf20fc8101d7e29d882.png)
в силу построения и (13) будут независимыми, т.е. выполняется условие (11).
Устремим
![$q \to \infty$ $q \to \infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/0/9d0725d3f7c0b51c63fe17c5a2dea03282.png)
, тогда подмножество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
станет подмножеством простых чисел, а
![$a_1,...,a_k$ $a_1,...,a_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/c/d3c45be96c2511811e5ec151ebb4225882.png)
- простыми числами и различные события принадлежности к подмножеству простых чисел будут независимыми.