О понятии центростремительной силы

[Ende]

Уважаемые участники. Большая просьба ко всем воздержаться от высказываний в духе "имярек не понимает/игнорирует/троллит и т.д." Возразить оппоненту можно и без подобных оценок.
Позже я найду время вникнуть в обсуждение и, возможно, вынесу дополнительные модераторские решения. Но очень хотелось бы обойтись без них.

[amon]

drzewo в сообщении #1655904 писал(а):

Я бы на месте ЗУ проявил бы некоторую активность в этой теме.

(Оффтоп)

Вас в секту синерубашичнеков приглашали, Вы отказались. Что теперь пенять на их необразованность в близких Вам областях.

EUgeneUS в сообщении #1655906 писал(а):

Таки склоняюсь, что участие drzewo в этой теме является троллингом.

Касательно сказанного. Я это так понял. Обыгрывается такая штука. Уравнения Ньютона дифференциальные. Поэтому если для произвольного момента времени мы в какой-то системе координат (неподвижной) нашли скорости, энергии и прочее, то эти величины останутся теми же в любой другой неподвижной системе координат. Неподвижность означает, что орты не зависят от времени. Если мы введем неподвижную систему координат, в которой в данный момент легко решается наша задача в какой-то момент времени, то это решение элементарно переписывается в "нормальной" системе координат. Пример эффективного использования такого подхода можно посмотреть в задачке о катающемся намагниченном шарике. Там была введена система координат с началом в точке касания шара и плоскости, после чего получены интегралы движения, существующие в "нормальных" координатах. В привычной мне терминологии такая система координат называется мгновенно сопутствующей.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1655886 писал(а):

Кто запретил?

Складывать точки афинного пространства в общем случае бессмысленно.

-- 24.09.2024, 18:12 --

EUgeneUS в сообщении #1655906 писал(а):

является троллингом.

А я предлагаю в троллинге в качестве смысла сообщения принимать не самый корректный возможный смысл, а самый некорректный возможный смысл. Как в одном неприличном физтеховском анекдоте: "Чётко формулируйте условия задачи, Дмитрий Владимирович."

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1655925 писал(а):

Поэтому если для произвольного момента времени мы в какой-то системе координат (неподвижной) нашли скорости, энергии и прочее, то эти величины останутся теми же в любой другой неподвижной системе координат.

IMHO, тут дело в несколько другом. Отмотал тему, и вроде бы нашел причину недопониманий, по крайней мере моих.
Вот тут:

drzewo в сообщении #1655815 писал(а):

Уравнения конического маятника удобно расписывать по системе координат $Oxyz$, где $O$ -- центр основания конуса, $Oz$ -- вертикально направленная ось, а сам груз лежит на оси $Ox$. Т.е. система координат поворачивается вместе с грузом вокруг оси $Oz$. Дальше требуется просто спроектировать на эти оси уравнение $m\boldsymbol a=m\boldsymbol g+\boldsymbol T$. Последнее слагаемое -- сила натяжения нити. Здесь надо подчеркнуть, что $\boldsymbol a$ -- ускорение относительно инерциальной системы.
И вот вопрос, который не все осиливают: а где же силы инерции, ведь у нас подвижная система координат?

речь о подвижной системе координат.

И следом в ответ:

Mihr в сообщении #1655816 писал(а):

В той СО, которая поворачивается вместе с грузом, сам груз неподвижен, его ускорение равно нулю, но есть центробежная сила инерции.
А в СО, связанной с Землёй, нет центробежных сил, зато есть ускорение груза.
Если в какой-то момент времени груз пересекает ось $Ox$, и мы рассматриваем его положение именно в этот момент, то на справедливости уравнения движения это не отражается. Школьнику, слышавшему о силах инерции, я объяснил бы так.

тут речь о системах отсчета (и подразумеваются переходы между ними).

И тут у меня схлопнулось, и почему-то решил, что в обоих случаях речь про системы отсчета.

Системы отсчета и системы координат - это разное.
Переход из одной системы координат в другую никак не влияет на векторы, ибо стрелки не зависят от того, какими линейками и транспортирами их измеряют (в рамках классического теормеха).
А переход из одной СО в другую СО предполагает переход от одних векторов к другим.

Перечитал дальнейшие сообщения drzewo, там всегда упоминается либо "система координат", либо "система" (второй вариант, конечно, запутывает далее, но не является некорректным).

В связи с чем приношу извинения уважаемому drzewo за необоснованные обвинения\подозрения в троллинге.

[drzewo]

amon в сообщении #1655925 писал(а):

Поэтому если для произвольного момента времени мы в какой-то системе координат (неподвижной) нашли скорости, энергии и прочее, то эти величины останутся теми же в любой другой неподвижной системе координат. Неподвижность означает, что орты не зависят от времени. Если мы введем неподвижную систему координат, в которой в данный момент легко решается наша задача в какой-то момент времени, то это решение элементарно переписывается в "нормальной" системе координат. Пример эффективного использования такого подхода можно посмотреть в задачке о катающемся намагниченном шарике

я такой подход не использовал ни в этой ветке ни по ссылке

[EUgeneUS]

И соответственно на вопрос

drzewo в сообщении #1655815 писал(а):

И вот вопрос, который не все осиливают: а где же силы инерции, ведь у нас подвижная система координат?

будет ответом то, что хотя система координат у нас подвижная, но переход в подвижную систему отсчета не выполняется.

[amon]

drzewo в сообщении #1655931 писал(а):

я такой подход не использовал ни в этой ветке ни по ссылке

Возможно, я чего-то глубоко не понимаю, но... По ссылке уравнение
$I\boldsymbol {\dot \omega}=m\boldsymbol {SP}(\boldsymbol {SP},\boldsymbol {\dot\omega})+[\boldsymbol d,\boldsymbol B],\quad I=J+mr^2\qquad$
записано относительно точки касания. В ветке везде считается, что орты от времени не зависят, что будет не так для реально кувыркающейся системы координат. Что я упускаю?

[drzewo]

amon в сообщении #1655938 писал(а):

По ссылке уравнение
$I\boldsymbol {\dot \omega}=m\boldsymbol {SP}(\boldsymbol {SP},\boldsymbol {\dot\omega})+[\boldsymbol d,\boldsymbol B],\quad I=J+mr^2\qquad$
записано относительно точки касания.

Вы это так интерпретировали... Я это уравнение вывел как следствие уже написанных выше уравнений. (Одно подставить в другое и <<бац-цаб>>)
Все уравнения векторные, все скорости и дифференцирования -- относительно инерциальной системы отсчета. Систем координат я там вообще не вводил ни <<мгновенно сопутствующих>> никаких других и векторы по ним не раскладывал.
А в этой ветке я говорил именно о подвижных системах координат и о разложениях векторов по ним.

[amon]

drzewo в сообщении #1655940 писал(а):

А в этой ветке я говорил именно о подвижных системах координат и о разложениях векторов по ним.

А подвижная система координат в Вашей терминологии это что? Пусть точка бежит по окружности. В каждой точке окружности я могу задать прямоугольную систему координат, один орт которой направлен по радиусу, а другой - по касательной. Подвижная система - система зависящая от положения точки на окружности?

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1655929 писал(а):

Складывать точки афинного пространства в общем случае бессмысленно.

Вас унесло ветром абстракции, а задача школьная. Возвращайтесь лучше с небес на землю.

[drzewo]

amon в сообщении #1655949 писал(а):

А подвижная система координат в Вашей терминологии это что? Пусть точка бежит по окружности. В каждой точке окружности я могу задать прямоугольную систему координат, один орт которой направлен по радиусу, а другой - по касательной. Подвижная система - система зависящая от положения точки на окружности?

Я понимаю к чему Вы клоните. Там выше это уже обсуждалось. Да, можно говорить об одной подвижной системе или о куче неподвижных. Это эквивалентные подходы. Я считаю, что удобнее иметь дело с одной подвижной системой координат. Например, иногда в задачах приходится писать уравнения с использованием угловой скорости этой подвижной системы. Что тогда, объяснять, что такое угловая скорость последовательности неподвижных систем?
Можно написать, что орт подвижной системы зависит от времени $e_i(t)$. Это по-моему понятней, чем поверхность из неподвижных векторов.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1655951 писал(а):

Вас унесло ветром абстракции, а задача школьная. Возвращайтесь лучше с небес на землю.

Не меня унесло в абстракции. А некоторых тут любителей запутывать окружающих тонкостями формулировок, а потом заявлять, что их неправильно поняли. С такими нужно начинать с основ. Если приходится декодировать, слова "система отсчёта" и "система" в сообщениях одного человека означают одно и то же, или нет, проблемы у написавшего эти сообщения человека, а не у окружающих.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Можно я (не претендуя на "педагогичность" или "правильные термины") попробую написать, как я понял всё сказанное выше про решение задачки о вращающемся грузе на верёвке во вращающейся с ним системе координат? К критике отношусь спокойно, ругайте :)

Груз всё время расположен в точке $x=L\sin\alpha$ на оси ОХ, вращающейся в горизонтальной плоскости. Пусть $\mathbf{e}$ есть единичный вектор (орт) на этой оси, вместе с ней он вращается с постоянной угловой частотой $\omega,$ которую надо найти. Вверх направлен орт $\mathbf{e}_z$ и вектор угловой скорости $\boldsymbol{\omega}=\omega\mathbf{e}_z.$

Тогда радиус-вектор груза в каждый момент времени равен $\mathbf{r}=x\mathbf{e}.$ Формально дифференцирую это равенство по времени:

$$\dot{\mathbf{r}}=\dot{x}\mathbf{e}+x\dot{\mathbf{e}}$$

Учитываю, что всё время $\dot{x}=0$ и $\dot{\mathbf{e}}=[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{e}],$ поэтому:

$$\dot{\mathbf{r}}=x[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{e}]$$

Дифференцирую ещё раз, учитывая теперь ещё и то, что вектор угловой скорости в этой задачке считается постоянным:

$$\ddot{\mathbf{r}}=x[\boldsymbol{\omega}\times[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{e}]]$$

По правилу "бац-цаб" с учетом равенства нулю скалярного произведения $\mathbf{e}\cdot\boldsymbol{\omega}=0$ получается равенство

$$\ddot{\mathbf{r}}=-x\omega^2\mathbf{e}$$

Подставляю это в уравнение движения $\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{g}+\frac{1}{m}\mathbf{T},$ учитываю, что $x=L\sin\alpha,$ и разлагаю векторы в правой стороне по ортам:

$$-L\sin\alpha\,\omega^2\mathbf{e}=-g\,\mathbf{e}_z+\frac{T}{m}\cos\alpha\, \mathbf{e}_z-\frac{T}{m}\sin\alpha\,\mathbf{e}$$

Следовательно:

$$-g+\frac{T}{m}\cos\alpha=0,$$

$$L\sin\alpha\,\omega^2=\frac{T}{m}\sin\alpha$$

Отсюда следует ответ:

$$\omega^2=\frac{g}{L\cos\alpha}$$

[drzewo]

по-моему все верно, но эту формулу

Cos(x-pi/2) в сообщении #1655961 писал(а):

равенство

$$\ddot{\mathbf{r}}=-x\omega^2\mathbf{e}$$

необязательно было выводить, она известна

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1655961 писал(а):

Любую критику приму спокойно, ругайте

Всё строго, но вряд ли применимо к обучению физике 9-классников. ;)

Кстати, в Сивушнике же вводилась центробежная сила, насколько я помню?