Кубы и квадраты

[dick]

Троек $b,c,d$ бесконечно много, но при любой тройке сумма свободных членов, при раскрытии скобок правой части первого равенства (3), всегда будет $-6$, а сумма свободных членов при раскрытии скобок правой части второго равенства (3) всегда будет $0$. При этом все, что останется за вычетом свободных членов в первом равенстве (3) это $x^3$, а во втором равенстве (3), это $z^3-y^3$. Согласны?

[dick]

Первым кубом, для которого возможно разложение (2), в пределах натуральных кубов, является куб числа 4.
Для куба числа 4, кроме разложения (2), возможно разложение:
$4^3=4(3)^3-6(2)^3+4(1)^3 (3); $.
Для куба числа 5, кроме разложений (2) и (3), возможно разложение: $5^3=4(4)^3-6(3)^3+4(2)^3-1^3 (4); $.
Начиная с куба числа 6 возможно разложение, последним членом которого является куб числа больше единицы: $6^3=4(5)^3-6(4)^3+4(3)^3-2^3 (5); $.
Каким бы разложением мы не воспользовались, перенос куба справа на лево, для получения слева разности (суммы) кубов, оставляет справа сумму чисел, которая не может быть кубом по
своей структуре.

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1652967 писал(а):

для получения слева разности (суммы) кубов, оставляет справа сумму чисел, которая не может быть кубом по своей структуре.

Такие рассуждения в математике недопустимы. Непонятно, что значит "быть кубом по своей структуре".

Ну вот, например, число $4^3-2\cdot 4^2-2\cdot 4+3$ является "кубом по своей структуре" или нет? А между тем, оно равно $3^3=27$.

[dick]

У нас разговор о кубах, и я предъявил универсальные разложения в кубах.
А Вы что предлагаете? Вы можете хотя бы то, что предлагаете, записать в общем виде?

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1653088 писал(а):

А Вы что предлагаете?

Я ничего не предлагаю.

[dick]

А как же Ваш пример?

[Mikhail_K]

dick
Я хотел сказать только лишь, что фразы типа

dick в сообщении #1652967 писал(а):

Каким бы разложением мы не воспользовались, перенос куба справа на лево, для получения слева разности (суммы) кубов, оставляет справа сумму чисел, которая не может быть кубом по своей структуре.

совершенно непонятны и требуют уточнения, что они собственно означают.
Я попробовал это проиллюстрировать примером, когда число вроде бы не является "кубом по своей структуре", но на самом деле является кубом.
Может быть, конечно, Вы тут имеете в виду что-то совершенно другое. По-любому нужны пояснения.

[dick]

Если Вы не согласны с моими разложениями, скажите, в чем дело. А что касается "структур", то я имел в виду структуры своих разложений, для которых например: $5(6)^3-10(5)^3+10(4)^3-5(3)^3+2^3$ является кубом.
А $5(6)^3-10(5)^3+10(4)^3-5(3)^3$ кубом не является.

[dick]

Разумеется, любой куб натурального числа можно представить в виде суммы(разности) натуральных чисел неограниченным числом вариантов. Разумеется, Вам совершенно безразличен выбор того или иного варианта, поскольку Вы не собираетесь доказывать ВТФ. Но тому кто собирается, нужен вариант или набор вариантов, опираясь на который можно получить доказательство.
Я предложил пакет разложений для произвольного куба с основанием 4 и более в сумму-разность части или всех кубов меньше разлагаемого, с соответствующими коэффициентами и показал справедливость утверждения ВТФ для одного из кубов. Как мне кажется, распространение выводов на любую тройку кубов ВТФ очевидно. Скажите, что Вам непонятно?

[mihaild]

dick в сообщении #1656938 писал(а):

Скажите, что Вам непонятно?

Mikhail_K в сообщении #1653177 писал(а):

фразы типа

dick в сообщении #1652967 писал(а):

Каким бы разложением мы не воспользовались, перенос куба справа на лево, для получения слева разности (суммы) кубов, оставляет справа сумму чисел, которая не может быть кубом по своей структуре.

[dick]

dick в сообщении #1652967 писал(а):

Каким бы разложением мы не воспользовались, перенос куба справа на лево, для получения слева разности (суммы) кубов, оставляет справа сумму чисел, которая не может быть кубом по
своей структуре.

Виноват, глупость написал. По крайней мере, сейчас показать это не могу.

[dick]

Из (1) и (2) следует:
$x^3=z^3-y^3=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$;
$x^3=3(z-y)(((z-y)^2+3(z-1)(y-1))-((z-y)^2+3(z-2)(y-2))+(z-y)^2+3(z-3)(y-3))$ (2.1);
$x^3=3(z-y)(3((z-1)(y-1)-(z-2)(y-2))+(z-3)(y-3))+(z-y)^2$ (2.1.1);
и ещё:
$x^3=z^3-y^3=3((z-1)^3-(z-2)^3)-3((y-1)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$;
$x^3=3(((z-y)^2+3(z-1)(z-2))-((z-y)^2+3(y-1)(y-2))+(z-y)(z-y)^2+3(z-3)(y-3))$ (2.2);
$x^3=3(3((z-1)(z-2)-(y-1)(y-2))+(z-3)(y-3))+(z-y)^2$ (2.2.1);

Кажется, что правые части (2.1.1) и (2.2.1) могут быть равными только если $z-y=1$;

[dick]

Перепишем (2.1) в виде:
$x^3=z^3-y^3=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$;
$x^3=3(z-y)(((z-y)^2+3(z-1)(y-1))-((z-y)^2+3(z-2)(y-2)))+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (2.1);
Перепишем (2.2) в виде:
$x^3=z^3-y^3=3((z-1)^3-(z-2)^3)-3((y-1)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$;
$x^3=3(((z-y)^2+3(z-1)(z-2))-((z-y)^2+3(y-1)(y-2)))+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (2.2);
Теперь из (2.1) и (2.2) следует:
$(z-y)((z-1)(y-1)-(z-2)(y-2))=(z-1)(z-2)-(y-1)(y-2)$ (2.3);
и далее: $(z-y)(y-1)=(z-2); (z-y)(z-2)=(y-1) (2.3.1);
Следовательно: $(y-1)=(z-2)$ и $(z-y)=1$

[dick]

Рассматривая соседние квадраты, мы замечаем что из трех соседних квадратов можно получить две соседние разности: $x^2-(x-1)^2$ и $(x-1)^2-(x-2)^2$;
Причем эти соседние разности, будучи нечетными, отличаются на 2. Таким образом, разность двух соседних разностей соседних квадратов позволяет получить все нечетные числа натурального ряда. Тогда ясно, что существуют такие тройки соседних квадратов, для которых большая или меньшая разность соседних квадратов будет квадратом.
Если же мы рассматриваем соседние кубы, то оказывается, что для получения константы (шага), подобной числу 2 для разности двух соседних разностей соседних квадратов, недостаточно трех кубов. Требуется как минимум 4 соседних куба.
Для 4 кубов мы получаем константу 6, но число разностей соседних кубов, по сравнению с квадратами, удваивается (равно 4). Оказывается, чтобы втиснуться в равенство Ферма, требуется что бы два из трех кубов этого равенства, сами были бы суммой меньших кубов. Здесь, вероятно, мы сталкиваемся со столь почитаемым «спуском».

[dick]

Вместо "...сами были бы суммой меньших кубов.", нужно было сказать "...сами были бы разностью двух кубов".