Предположим, что для трех натуральных, взаимно простых чисел

выполняется:

(1);
Любой куб натурального числа больше 3, может быть разложен в сумму, с использованием трех меньших соседних натуральных кубов и свободного члена:

(2);

;

;
Если кубы слева достаточно велики (

и более), кубы разложения можно сдвигать вниз, оставаясь в множестве натуральных. Например так:


(2.1) и т.д.
Или так:


(2.2) и т.д., до достижения слева
значений

Слегка расширенная табличка коэффициентов:
3 3 1 6
6 8 3 24
10 15 6 60
15 24 10 120
21 35 15 210
28 48 21 336 и т.д.
Итак, по схеме (2.2) получим разложения

с одинаковым набором младших кубов и коэффициентами, согласно строк таблицы.
Чтобы выполнялось (1), должны найтись такие две строки, разница коэффициентов которых дала бы коэффициенты строки расположенной выше.
Для доказательства того, что это невозможно, достаточно чтобы хотя бы для одного из четырех коэффициентов была доказана невозможность получения меньшего коэффициента разницей двух больших.
Рассматривая коэффициенты свободного члена, можно заметить, что выполняется:

(5.1); а также,

(5.2);
Где

- коэффициенты разложения

.
Из (5.1), (5.2) следует:


(5.3);
Таким образом, все коэффициенты свободного члена являются произведением трех соседних натуральных чисел, следующих без пропусков строго в порядке возрастания, начиная с единицы. А меньший член тройки является порядковым номером строки коэффициентов.
Поскольку коэффициенты свободного члена содержат все числа натурального ряда, то если бы выполнялось равенство:

(5.4);
Где

это, соответственно, коэффициенты свободного члена разложений

и

, выполнялось бы и равенство:

(5.5);
Где числа

были бы средними в тройках соседних чисел, составляющих, соответственно,

.
То есть выполнялось бы одновременно:

(5.6) и (5.5), при чем:

, поскольку

-исходная тройка, кубы которой были разложены.
Однако подобное невозможно, поскольку тройка

-примитивна.
Вот, собственно, и все.