Кубы и квадраты

[dick]

mihaild
Теперь доказано, что $z^3-y^3=x^3$ (1) может иметь натуральное решение, только если $z-y=1$ ?

[mihaild]

Я так понимаю, Вы просто алгебраическими преобразованиями получаете (2.3) и оттуда ими же $z - y = 1$? Если да, то подставьте $x = y = 2$, $z = 2\sqrt[3]{2}$ и ищите ошибку - если алгебраические преобразования верны для целых чисел, то они же верны для вещественных.
Если нет, то перепишите нормально (в том числе с выключенными формулами и переносами строк, чтобы можно было прочитать; но в первую очередь - без мутных рассуждений про "для получения константы необходимо что-то"; если они нужны - перепешите строго, "пусть что-то, тогда что-то", если не нужны - просто уберите).

[dick]

На счет подстановки, я не понял зачем подставлять в (1) заведомо ложные значения, если мы говорим о натуральном решении?
А подставить эти значения в мои "преобразования" вообще невозможно.

Теперь по существу.
Если имеются четыре произвольных, последовательных(соседних) натуральных куба, то всегда выполняется равенство:

$((x^3-(x-1)^3)-((x-1)^3-(x-2)^3))-(((x-1)^3-(x-2)^3)-((x-2)^3-(x-3)^3))=6$ (2);

Если записать (2) относительно наибольшего куба, получим:

$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ (2.1);

Тогда (1) примет вид:

$x^3=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (2.2.1);

Или такой вид:

$x^3=3((z-1)^3-(z-2)^3)-3((y-1)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (2.2.2);

Потому что:

$((z-1)^3-(y-1)^3)-((z-2)^3-(y-2)^3)=((z-1)^3-(z-2)^3)-((y-1)^3-(y-2)^3)$ (2.3);

Не пойму как правильно переносить строку формулы(или удлинять строку, место вроде есть).

[mihaild]

dick в сообщении #1666106 писал(а):

На счет подстановки, я не понял зачем подставлять в (1) заведомо ложные значения, если мы говорим о натуральном решении?

Затем, что если бы Ваше рассуждение было корректным, то какой-то переход в нем был бы неверен для вещественных чисел.
Пока что все (2.2.*) верны и для произвольных вещественных решений.

dick в сообщении #1666106 писал(а):

Не пойму как правильно переносить строку формулы(или удлинять строку, место вроде есть)

Удлинять никак, а переносить - окружать доллары \begin{multiline}...\end{multiline}, и ставить двойные слеши для переноса.
\begin{multiline}$((z-1)^3-(y-1)^3)-((z-2)^3-(y-2)^3)=\\ ((z-1)^3-(z-2)^3)-((y-1)^3-(y-2)^3)$\end{multiline}

[dick]

mihaild в сообщении #1666111 писал(а):

Пока что все (2.2.*) верны и для произвольных вещественных решений.

Не могли бы Вы это показать?

[mihaild]

dick в сообщении #1666397 писал(а):

Не могли бы Вы это показать?

Так все переходы, которые Вы делаете, чисто арифметические, они автоматически верны для вещественных, если верны для целых.
Ну или раскройте скобки.

[dick]

Я хотел увидеть, каким образом из четырех вещественных (или менее, если в четверке часть чисел-натуральные) получаются четыре соседних натуральных куба.

[mihaild]

dick в сообщении #1666422 писал(а):

получаются четыре соседних натуральных куба.

Они будут не натуральные, но точно так же отличаться на 1,2,3,4.

В общем хорошо, Ваши 2.* верны для натуральных решений (а равно и для любых вещественных). Что дальше?

[dick]

Поскольку (2.3) это тождество, $(z-2)=(y-1)$.

[mihaild]

dick в сообщении #1666535 писал(а):

Поскольку (2.3) это тождество, $(z-2)=(y-1)$.

Нет. Например при $y = z = 0$, 2.3 выполнено, а $z - 2 = y-1$ - нет.

[dick]

Если Вы приняли что $z-y=0$, то конечно $z-y=1$ не выполняется.
Кажется тривиальные решения не относятся к ВТФ.

[mihaild]

dick в сообщении #1666707 писал(а):

Если Вы приняли что $z-y=0$, то конечно $z-y=1$ не выполняется

Что тогда значит

dick в сообщении #1666535 писал(а):

Поскольку (2.3) это тождество, $(z-2)=(y-1)$.

Как вторая часть следует из первой?

[dick]

Хорошо, $z-y$ необязательно равно единице если выполняется (1). Вернемся к следующему фрагменту (рассуждению №2) и попробуем его закончить.

Запишем (4.1)-(4.3) в нейтральном виде:
$(z-1)^3-(y-1)^3=(x-1)^3+b$ (4.4); $(z-2)^3-(y-2)^3=(x-2)^3+c$ (4.5); $(z-3)^3-(y-3)^3=(x-3)^3+d$ (4.6); Где $b,c,d$ - натуральные числа, $b,d$-нечетные, а $c$- четное.
Очевидно, будет выполняться: $3b-3c+d=6$ (4.7);
Раскрывая скобки, получим:
$3(z-y)((z+y)-1)=3x(x-1)-(b-1)$ (4.8);
$6(z-y)((z+y)-2)=6x(x-2)-(c-8)$ (4.9);
$9(z-y)((z+y)-3)=9x(x-3)-(d-27)$ (4.10);
Число $b-1$ делится на 6, поскольку левая часть (4.8) и первое слагаемое правой части делятся на 6.
При условии, что $x$ не делится на 3, число $b-1$ делится на основание куба $(z-y)$, поскольку левая часть (4.8) делится на $(z-y)$, а первое слагаемое правой части делится на $(z-y)^{1/3}$.
Это же будет справедливым и в отношении чисел $(c-8)$ и $(d-27)$. Согласны?

Умножим (4.8) на 2 и вычтем из результата (4.9), получим:
$6(z-y)=6x-2(b-1)+(c-8)$ и далее $x-(z-y)=1/6(2b-c+6)$ (5.1);
Умножим (4.8) на 3 и вычтем из результата (4.10), получим:
$18(z-y)=18x-3(b-1)+(d-27)$ и далее $x-(z-y)=1/6(b-d/3+8)$ (5.2);
Умножим (5.2) на 2 и вычтем из результата (5.1), получим:
$x-(z-y)=1/6(c-2d/3+10)$ (5.3);
В равенствах (5.1), (5.2), (5.3) левая часть это широко известное число $a$, $(a=x+y-z)$. Следовательно, обе части равенств имеют форму $6n$.
Поскольку число $d$ нечетно, оно имеет форму $6n+3$.
Как было показано выше, число $b-1$ делится на 6.
Следовательно число $b$ имеет форму $6n+1$.
Что бы выполнялось (5.1) должно быть: $c=6n+2$.
Но тогда не выполняются (5.2) и (5.3).
Следовательно, (1) не выполняется.

[dick]

Mikhail_K
Кажется Вы хотели увидеть продолжение рассуждения № 2. Что скажите?

[dick]

mihaild

Заключение о невыполнимости (1), в предпоследнем сообщении, справедливо. Но только в том случае, когда $d$ делится на 3, но не делится на 9.
Продолжим.
Как показано выше, любой куб натурального числа больше 3, может быть разложен в сумму:
$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ (2);
Разложение (2), является наиболее кратким из возможных разложений куба в сумму соседних(последовательных) кубов, что было показано выше, в этой теме.
Поскольку кубы равенства Ферма различны, тройки кубов разложения для $z^3, y^3, x^3$, также различны.
Но мы можем сдвигать эти тройки кубов разложения.
Так, например, что будет выполняться:
$z^3=A_1(x-1)^3-A_2(x-2)^3+A_3(x-3)^3+A_4$;
$ y^3=B_1(x-1)^3-B_2(x-2)^3+B_3(x-3)^3+B_4$;
И, в случае выполнения (1), будет выполняться:
$A_1-B_1=3; A_2-B_2=3; A_3-B_3=1; A_4-B_4=6$ (3);
Ниже показаны коэффициенты краткого разложения (2). Верхняя четверка-без сдвига, четыре нижних со сдвигом соответственно на 1, 2, 3, 4 единицы.
3 3 1 6
6 8 3 24
10 15 6 60
15 24 10 120
21 35 15 210

Кажется, сколько бы строк мы не взяли, не найдется двух таких, разница которых дала бы коэффициенты первой строки.