Алгебра множеств

[ihq.pl]

mihaild, вы имеете в виду функцию $P(s,x;t,B)$ в следствии 2? Здесь $s,t$ - индексы. То есть $\{P(s,x;t,B)\}$ является (по Ширяеву) семейством различных функций.

Я так пытался доказать следствие 3. Пусть

$$\int\limits_{-\infty}^{x_0}\pi(dy_0)\int\limits_{-\infty}^{x_1}P_1(y_0;dy_1)...\int\limits_{-\infty}^{x_n}P_n(y_{n-1};dy_{n}) =: F_{0,...,n}(x_0,...,x_n).$$

Надо показать, что 1) $F_{0,...,n}(x_0,...,x_n)$ есть конечномерная функция распределения для любого $n\geqslant 1$ и 2) семейство функций $\{F_{0,...,n}(x_0,...,x_n)\}$ является согласованным, т.е.

$$F_{0,...,k,..,n}(x_0,...,\infty,...,x_n) = F_{0,...,k-1,k+1..,n}(x_0,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_n).$$

Пусть 1) доказано. Покажем 2). Обозначим

$$f(y_{k+1}) := \int\limits_{-\infty}^{x_{k+2}}P_{k+2}(y_{k+1};dy_{k+2})...\int\limits_{-\infty}^{x_n}P_n(y_{n-1};dy_{n}).$$

Тогда

$$F_{0,...,k,..,n}(x_0,...,\infty,...,x_n) = \int\limits_{-\infty}^{x_0}\pi(dy_0)...\int\limits_{-\infty}^{x_{k+1}}f(y_{k+1})\int\limits_{-\infty}^{\infty}P_k(y_{k-1};dy_{k})P_{k+1}(y_{k};dy_{k+1}).$$

В последнем интеграле интегрируется по $P_k(y_{k-1}; dy_k)$. И теперь не помешало бы условие Колмогорова-Чепмена (пункт с в следствии 2). Как доказать без него, не понимаю. Здесь бы оно могло быть таким:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}P_{k}(y_{k-1};dy_{k})P_{k+1}(y_{k};B) = P_{k+1}(y_{k-1};B),$$

для любого борелевского множества $B$.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1644149 писал(а):

$$F_{0,...,k,..,n}(x_0,...,\infty,...,x_n) = F_{0,...,k-1,k+1..,n}(x_0,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_n).$$

Вы пока что не определили функцию в правой части, поэтому.

[ihq.pl]

Это

$$F_\tau(x_1,...,x_{k-1},x_{k+1},...x_n) = \int\limits_{-\infty}^{x_0}\pi(dy_0) ... \int\limits_{-\infty}^{x_{k-1}}P_{k-1}(y_{k-2};dy_{k-1})\int\limits_{-\infty}^{x_{k+1}}P_{k+1}(y_{k-1};dy_{k+1})...\int\limits_{-\infty}^{\infty}P_{n}(y_{n-1};dy_n)$$

?

Функцию $P_k(y_m;B)$, $k>m$, можно видимо считать переходной вероятностью из $m$ в $k$

[mihaild]

Нет, это что-то странное, какой смысл в $P_{k+1}$ подставляеть $y_{k-1}$?

ihq.pl в сообщении #1644170 писал(а):

Функцию $P_k(y_m;B)$, $k>m$, можно видимо считать переходной вероятностью из $m$ в $k$

Не очень понятно, что это значит.
$P_k(x, B)$ - это $P(\xi_k \in B | \xi_{k - 1} = x)$ (если к этому моменту уже были условные ожидания относительно величин).

[ihq.pl]

Наверное, неправильно сформулировал условие согласованности. Если сформулировать так

$$F_{n+1}(x_0,..., x_n,\infty) = F_n(x_0,...,x_n),$$

то проблем вроде не должно быть.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1644172 писал(а):

Наверное, неправильно сформулировал условие согласованности

Проблема чуть раньше.
Теорема 1 требует задать все конечномерные распределения, а не только включающие ограничения ровно на первые переменные. И нужно еще чтобы эти распределения были согласованы.
Но да, если у нас есть последовательность конечномерных распределениях на начальных отрезках, удовлетворяющая Вашему условию, то из нее легко делаются все конечномерные распределения, причем согласованно. Как?

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1644174 писал(а):

если у нас есть последовательность конечномерных распределениях на начальных отрезках, удовлетворяющая Вашему условию, то из нее легко делаются все конечномерные распределения, причем согласованно. Как?

На пространствах $(R,\mathcal{B}(R)), (R^2,\mathcal{B}(R^2)),...$ существуют вероятностные меры $Q_0, Q_1,...$ такие, что

$$Q_n(I_0\times...\times I_{n-1}) = \Delta_0...\Delta_{n-1} F_{0...n-1}(x_0,...,x_{n-1}),$$

где $I_j=(a_j,b_j]$, а $\Delta_j$ - разностный оператор: $\Delta_j F = F(...b_j...)-F(...a_j...)$. Семейство $\{Q_n\}$ будет согласованным, т.е.

$$Q_{n}(B) = Q_{n+1}(B\times R),\quad B\in\mathcal{B}(R^n)$$

(по определению согласованности в Вероятность-I, §3, п. 4). Тогда

$$Q_{n+1}(I_0\times...\times R\times...\times I_{n}) = \Delta_0...\Delta_{k-1}\Delta_{k+1}...\Delta_{n} F_{0...k...n}(x_0,...,\infty,...,x_n),$$

то есть $F_{0...k...n}(x_0,...,\infty,...,x_n)$ - $n$-мерная функция распределения. Так?

[ihq.pl]

mihaild
Сейчас вдруг дошло что от меня требуется:)
Функцию $F_\tau(x_1,...,x_n)$, где $\tau$ - конечный упорядоченный набор индексов, определим как цепочку интегралов с верхними пределами $\infty$ (если интеграл на i-ом месте и $i\notin \tau$) и $x_j$ (если интеграл на k-ом месте и $k\in \tau$). Так определенное семейство является согласованным семейством конечномерных функций распределения.

[mihaild]

Да, именно так.
Дискретный марковский процесс тут проще непрерывного, потому что у нас есть предыдущая величина - $\xi_n$ изолируется от всех предыдущих одной конкретной величиной $\xi_{n - 1}$. Соответственно нам достаточно задать условное распределение $\xi_n | \xi_{n - 1}$. И любое такое семейство условных распределений задает маровский процесс. Для непрерывного случая такой параметризации - что любой набор параметров допустим - сделать не получается, поэтому возникает еще условие Колмогорова-Чепмена.

[ihq.pl]

Ширяев, Вероятность-I, гл.3, §3

Лемма 3. Пусть $F=F(x)$ - функция распределения на числовой прямой и $\varphi=\varphi(t)$ - её характеристическая функция. Тогда существует константа $K>0$ такая, что для всякого $a>0$

$$\int\limits_{|x|\geqslant 1/a}dF(x) \leqslant \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] dt.\qquad (1)$$

Теорема 1: Пусть $(F_n)$ - последовательность функций распределения $F_n=F_n(x),\, x\in R$, и $(\varphi_n)$ - соответствующая последовательность характеристических функций. Если при каждом $t\in R$ существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ и функция $\varphi(t) = \lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ непрерывна в точке $t=0$, то она является характеристической функцией некоторого распределения $F=F(x)$ и

$$F_n\xrightarrow{w} F.$$

В доказательстве сначала доказывается плотность семейства $\{\mathsf{P}_n\}$, где $\mathsf{P}_n$ - вероятностная мера, соответствующая $F_n$. Семейство $\{\mathsf{P}_n\}$ называется плотным, если для любого $\varepsilon>0$ существует компакт $T\subset R$ такой, что

$$\sup_{n}\mathsf{P}_n\{R\setminus T\}\leqslant\varepsilon.$$

Цитата из учебника: В силу (1) и теоремы о мажорируемой сходимости

$$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} = \int\limits_{|x|\geqslant 1/a} dF_n(x) \leqslant \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi_n(t)] dt \to \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] dt \qquad (2)$$

при $n\to\infty$. Поскольу по предположению функция $\varphi(t)$ непрерывна в нуле и $\varphi(0)=1$, то для всякого $\varepsilon>0$ можно найти такое $a>0$, что для

$$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\}\leqslant\varepsilon\; \textit{для всех}\;n\geqslant 1.\qquad (3)$$

Непонятно, как из того, что

$$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} \to \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] dt,$$

следует (3)? По-хорошему, константа $K$ должна зависеть от $n$, то есть для каждого $n$

$$\int\limits_{|x|\geqslant 1/a}dF_n(x) \leqslant \frac{K_n}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi_n(t)] dt.$$

Попытки. Если бы множество функций $\{\operatorname{Re}\varphi_n\}$ было равностепенно непрерывным на отрезке $[0,r]$ при некотором малом $r$, можно было бы сделать так: для любого $\varepsilon>0$ полагаем $\delta=\varepsilon/ \sup K_n$. Cуществует $a>0$ такое, что $1-\operatorname{Re}\varphi_n(t) < \delta $ для всех $t\in[0,a]$ и всех $n\geqslant 1$. Тогда для любого $n$

$$\int\limits_{|x|\geqslant 1/a}dF_n(x) \leqslant K_n\delta \leqslant \varepsilon.$$

Множество $\{K_n\}$ ограничено сверху и, значит, $\sup K_n < \infty$. Равностепенная непрерывность почти не вызывает сомнения. Может, надо как то так?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1652224 писал(а):

Равностепенная непрерывность почти не вызывает сомнения

Попробуйте подобрать контрпример, с помощью теоремы Титчмарша-Пойи это несложно.

ihq.pl в сообщении #1652224 писал(а):

Непонятно, как из того, что$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} \to \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] d,$ следует (3)?

Пусть дано $\varepsilon$. Сначала подберите $a$, чтобы правая часть была мала. Потом подберите $N$, чтобы левая часть была близка к правой при $n > N$. Потом увеличьте $a$, чтобы левая часть была близка к нулю при $n \leq N$.
Тут важно, что $\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} \to_a 0$ для каждого конкретного $n$.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1652242 писал(а):

Пусть дано...

mihaild, спасибо! Примерно в этом направлении я и думал сначала. Пусть дано $\varepsilon>0$. Существует $a>0$ такое, что

$$\frac{K}{a}\int\limits_0^a [1-\operatorname{Re}\varphi(t)]dt \leqslant \frac{\varepsilon}{2}.$$

Тогда существует такой номер $N=N(a)$, что

$$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} \leqslant \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1-\operatorname{Re}\varphi(t)]dt + \frac{\varepsilon}{2} \leqslant \varepsilon$$

для любого $n\geqslant N(a)$. При фиксированном $\varepsilon$ индекс $N(a)$ уменьшается при $a\to 0$ и при каком-то $a>0$ должен по идее достигнуть значения 1. Хотел представить это более формально. Но сейчас более менее ясно, что иначе и быть не может. И спасибо за теорему Титчмарша-Пойи)

[mihaild]

Кстати Вы правы, приведенной формулировки $\forall \F \exists K \forall a: \text{нужное неравенство}$ недостаточно. Нужно $\exists K \forall F \forall a$. Но доказывается в лемме на самом деле именно это, так что поправить несложно.