Алгебра множеств

[ihq.pl]

У Ширяева в параграфе "Алгебры и $\sigma$-алгебры" определяется множество

$$\prod_{t\in T}\Omega_t,\quad\quad (1)$$

и $\sigma$-алгебра его подмножеств, которая обозначается символом

.

В параграфе "Интеграл Лебега" теорема Фубини начинается со слов: Пусть $\xi(\omega_1,\omega_2)$ - $\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2$-измеримая функция.

Разница только в том, что $t$ в (1) меняется непрерывно?

[mihaild]

Не обязательно непрерывно, просто семейство индексов может быть произвольным, не обязательно двухэлементным.

[ihq.pl]

mihaild
то есть не стоит особо заострять внимание на этой необычной (для меня) комбинации символов $\otimes$ и $\prod$. Обозначил так автор и обозначил. Можно, в принципе, обозначить и так

$$\bigotimes_{t\in T}\mathcal{F}_t,$$

смысл не поменяется...?

[mihaild]

Поменяется. Просто $\otimes$ - это прямое произведение (совокупность цилиндрических множеств), а значок из Ширяева - это порождённая этим семейством сигма-алгебра.

[ihq.pl]

Не знаю $\TeX$-команды для символа на картинке, обозначу $\mathcal{P}$. У Ширяева $\sigma$-алгебра $\mathcal{P}$ порождается цилиндрами с основаниями из $\mathcal{F}_{t_1}\otimes...\otimes\mathcal{F}_{t_n}$, где $t_1,...,t_n$ - любое конечное множество точек из $T$.

Про общую структуру множеств из $\mathcal{P}$ в учебнике нет, но можно, думаю, провести аналогию с измеримым пространством $(R^T, \mathcal{B}(R^T))$, т.е. для любого $A\in\mathcal{P}$ найдутся не более чем счетное множество точек $t_1,t_2,...$ из $T$ и множество $B\in \mathcal{F}_{t_1}\otimes\mathcal{F}_{t_2}\otimes...$ такие, что

$$A=\{\omega: (\omega_{t_1},\omega_{t_2},...)\in B\}$$

[ihq.pl]

В упомянутой выше теореме Фубини рассматривается специальный случай измеримых пространств $(\Omega, \mathcal{F})$, где $\Omega = \Omega_1\times\Omega_2$, $\mathcal{F} = \mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2$. В доказательстве теоремы вводится множество $F\in\mathcal{F}$ и определяется его сечение в точке $\omega_1$:

$$F_{\omega_1} = \{\omega_2: (\omega_1,\omega_2)\in F\}$$

Дальше утверждается, что если $F\in\mathcal{F}$, то

$$(\bar{F})_{\omega_1} = \overline{F_{\omega_1}}$$

Но это ж не так. Допустим, плоскость $R\times R$ и $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}$, порожденная прямоугольниками. Прямоугольник принадлежит этой алгебре и очевидно, что дополнение к сечению прямоугольника не совпадает с сечением дополнения. На опечатку вроде не тянет. Как так?

-- 28.10.2023, 17:30 --

Понял. Под $\overline{F_{\omega_1}}$ подразумевается дополнение в $\Omega_2$ а не в $\Omega$

[ihq.pl]

Либо ускользает что-то важное, либо формулировку теоремы Фубини в учебнике Ширяева можно без ущерба для читателя сократить до:

На $\mathcal{F}=\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2$ cуществует единственная ($\sigma$-конечная) мера $\mu$ со свойством $\mu(A\times B) = \mu_1(A)\mu_2(B), \quad A\in\mathcal{F}_1, B\in\mathcal{F}_2$
($\mathcal{F}$ - наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая прямоугольники $A\times B, A\in\mathcal{F}_1, B\in\mathcal{F}_2$).

(Оффтоп)

Хотя, идеально было бы сразу родиться Ширяевым и сократить весь учебник

[mihaild]

Каким образом? Теорема Фубини - о переходе от двойного интеграла к повторному, а Ваша формулировка - её частный случай, когда под интегралом индикатор прямоугольника. Чтобы от них перейти к произвольной функции, еще нужно довольно много поработать.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1616822 писал(а):

Каким образом?

Допустим, утверждение доказано. Из его доказательства следует, что для любого $F\in\mathcal{F}$

$$\mu(F) = \int_\Omega I_F(\omega_1,\omega_1)d\mu= \int_{\Omega_1}\Bigl[\int_{\Omega_2}I_F(\omega_1,\omega_1)\mu_2(d\omega_2)\Bigl]\mu_1(d\omega_1),\quad (1) $$

где $\Omega = \Omega_1\times\Omega_2$. Но тогда интегралы в (1) совпадают и для любой простой случайной величины (не только для $I_F$).
Пусть теперь $\xi(\omega_1,\omega_2)$ - неотрицательная абсолютно интегрируемая случайная величина на $(\Omega, \mathcal{F})$. Существует последовательность простых случайных величин $\xi_1, \xi_2,...$ такая, что $\xi_n\uparrow\xi$, и для любого $n\geqslant 1$ определены

$$a_n = \int_{\Omega}\xi_n(\omega_1,\omega_2)d\mu, \quad b_n = \int_{\Omega_1}\Bigl[\int_{\Omega_2}\xi_n(\omega_1,\omega_2)\mu_2(d\omega_2)\Bigl]\mu_1(d\omega_1) .$$

Последовательности $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ монотонные. По определению математического ожидания неотрицательной случайной величины

$$\lim a_n = \int_\Omega \xi(\omega_1,\omega_1)d\mu.$$

А то, что

$$\lim b_n = \int_{\Omega_1}\Bigl[\int_{\Omega_2}\xi(\omega_1,\omega_1)\mu_2(d\omega_2)\Bigl]\mu_1(d\omega_1),$$

следует из теоремы о монотонной сходимости. Поскольку $a_n=b_n$ для любого $n$, пределы этих последовательностей равны. Но это и есть главное утверждение теоремы Фубини.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1616844 писал(а):

Но тогда интегралы в (1) совпадают и для любой простой случайной величины (не только для $I_F$)

Это надо доказывать, и не так уж просто - простая функция двух переменных не обязана быть суммой индикаторов прямоугольников.

[ihq.pl]

Разве равенство

$$\int \sum_{I=1}^n x_iI_{F_i}(\omega)d\mu = \sum_{I=1}^nx_i \int I_{F_i}d\mu$$

не верно?

Не так просто доказывается, что правый интеграл в (1) определен для индикаторов, т.е. что a) $I_F(\omega_1,\omega_2)$ - $\mathcal{F}_2$-измерима при фиксированном $\omega_1$ и любом $F\in\mathcal{F}$, b) интеграл $\int I_F(\omega_1,\omega_2)\mu_2(d\omega_2)$ является $\mathcal{F}_1$-измеримым. Но доказывать это предполагается в утверждении существования единственной меры $\mu$ с рассматриваемым свойством.

[mihaild]

Это равенство верно. Но оно не позволяет доказать нужный результат для произвольной простой функции.
Представьте, что Ваша простая функция - индикатор единичного круга. Она не представляется суммой индикаторов прямоугольников.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1616872 писал(а):

Это равенство верно. Но оно не позволяет доказать нужный результат для произвольной простой функции

Видимо, что-то упускаю. Хочу разобраться. Итак, (1) верно для любого $F\in\mathcal{F}$, неважно, прямоугольник это или круг, Поскольку "это равенство" верно, то просто продолжу его:

$$... = \sum_{i=1}^n x_i\int_{\Omega_i}\int_{\Omega_2} I_{F_i}(\omega_1,\omega_2)d\mu_2 d\mu_1 = \int_{\Omega_1}\int_{\Omega_2} \sum_{I=1}^n x_iI_{F_i}(\omega_1,\omega_2)d\mu_2 d\mu_1.$$

Если это верно, то разве не любую простую величину $\eta$ на $(\Omega,\mathcal{F})$ можно представить в виде

$$\eta(\omega_1,\omega_2) = \sum_{i=1}^nx_iI_{F_i}(\omega_1,\omega_2),$$

где множества $F_i\in\mathcal{F}$ (неважно, прямоугольники или нет)?

[mihaild]

А, простите, я невнимательно прочитал, проблема раньше - как получить (1) для произвольного множества?

[ihq.pl]

mihaild
А, ну вот. Как раз это и является содержанием утверждения, которым я бы ограничил формулировку теоремы Фубини. Доказывается сначала для прямоугольников, вернее, для алгебры из конечных сумм прямоугольников. Потом теорема Каратеодори