Алгебра множеств

[ihq.pl]

Пусть $\Omega=R^T$ (прямое произведение множеств действительных чисел), где $T$ - несчетное множество. И пусть

$$\mathcal{I}_{t_1...t_n}(I_1\times...\times I_n) = \{x: x_{t_1}\in I_1,...,x_{t_n}\in I_n\},\eqno(0)$$

$$\mathcal{I}_{t_1...t_n}(B_1\times...\times B_n) = \{x: x_{t_1}\in B_1,...,x_{t_n}\in B_n\},\eqno(1)$$

$$\mathcal{I}_{t_1...t_n}(B^n) = \{x: (x_{t_1},...,x_{t_n})\in B^n\}\eqno(2)$$

три типа цилиндрических множеств, где $t_1,...,t_n\in T$; $I_1\times...\times I_n$ - прямоугольник со сторонами $I_1=(a_1,b_1],...,I_n=(a_n,b_n]$; $B_1\times...\times B_n$ - прямоугольник с борелевскими сторонами $B_1,...,B_n$; и $B^n$ - множество из борелевской $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}(R^n)$. Пусть через $\mathcal{B}(R^T)$, $\mathcal{B}_1(R^T)$ и $\mathcal{B}_2(R^T)$ обозначены наименьшие $\sigma$-алгебры, содержащие множества (0), (1) и (2) соответственно.

Теорема. 1) $\mathcal{B}(R^T) = \mathcal{B}_1(R^T) =\mathcal{B}_2(R^T)$; 2) любое множество $A\in\mathcal{B}(R^T)$ имеет следующую структуру: найдутся не более чем счетное множество $t_1,t_2,...$ из $T$ и множество $B\in\mathcal{B}(R^\infty)$ такие, что $A = \{x: (x_{t_1},x_{t_2},...)\in B\}.$

Это теорема из §2 гл.2 Вероятность-I, Ширяев. Мне непонятно её доказательство в учебнике. Пока разбирался, придумал другое, вроде тоже верное и не менее строгое, чем в учебнике. Но, может, кто-нибудь посмотрит и увидит ошибки. Заранее спасибо)

Доказательство. При фиксированных $t_1,...,t_n$ наименьшие $\sigma$-алгебры, содержащие множества вида (0), (1) и (2), совпадают и состоят из цилиндров с основаниями в $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}(R^n)$. Обозначим эту $\sigma$-алгебру через $\mathcal{B}_{t_1...t_n}$. Тогда $\mathcal{B}(R^T) = \sigma(\mathcal{B}_{t_1...t_n}, t_1,...,t_n\in T)$, и то же самое представление верно для $\mathcal{B}_{1}(R^T)$ и $\mathcal{B}_{2}(R^T)$. Тем самым доказано первое утверждение теоремы.

Далее, любое множество $A\in\mathcal{B}(R^T)$ есть не более чем счетное объединение множеств из $\sigma(\mathcal{B}_{t_1...t_n}, t_1,...,t_n\in T)$, то есть является цилиндром с основанием в $\mathcal{B}(R^\infty)$.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1640921 писал(а):

Далее, любое множество $A\in\mathcal{B}(R^T)$ есть не более чем счетное объединение множеств из $\sigma(\mathcal{B}_{t_1...t_n}, t_1,...,t_n\in T)$, то есть является цилиндром с основанием в $\mathcal{B}(R^\infty)$

А как у вас определяется цилиндр? На каждую координату свое ограничение?
Тогда объединение цилиндров не обязательно является цилиндром. Даже на плоскости - два отрезка, параллельных разным осям - цилиндры, а их объединение - нет.

[ihq.pl]

mihaild, да, кажется, понял вас. Я называю цилиндром всякое множество, в котором хотя бы одна координата не ограничена. В этом смысле объединение полос на плоскости в вашем примере будет цилиндром в $R^3$ (основание - бесконечный крест). Но $A$ всё-таки наверное лучше не называть цилиндром... ?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1640925 писал(а):

Я называю цилиндром всякое множество, в котором хотя бы одна координата не ограничена

Это слишком слабо. По Ширяеву нужно чтобы все координаты, кроме координат основания, принимали произвольные значения.
Но да, по определению Ширяева, объединение цилиндров это цилиндр.

ihq.pl в сообщении #1640921 писал(а):

Далее, любое множество $A\in\mathcal{B}(R^T)$ есть не более чем счетное объединение множеств из $\sigma(\mathcal{B}_{t_1...t_n}, t_1,...,t_n\in T)$

А это почему? Все такие объединения понятно принадлежат, а почему пересечения и дополнения представляются в таком же виде?

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1640944 писал(а):

Все такие объединения понятно принадлежат, а почему пересечения и дополнения представляются в таком же виде?

Дополнение цилиндра тоже цилиндр. Например, дополнение цилиндра $\{x_t\in (a,b]\}$ есть объединение цилиндров $\{x_t\in (-\infty,a]\}$ и $\{x_t\in (b,\infty)\}$. Пересечение цилиндров есть дополнение объединений их дополнений. В общем, я исходил из того, что любое множество из $\sigma$-алгебры можно представить в виде не более чем счетного объединения других множеств из этой же $\sigma$-алгебры.

[mihaild]

Да, все работает.

ihq.pl в сообщении #1640959 писал(а):

любое множество из $\sigma$-алгебры можно представить в виде не более чем счетного объединения других множеств из этой же $\sigma$-алгебры

Это немного странная формулировка. Иногда нельзя, например одноэлементное множество нельзя.

[ihq.pl]

mihaild
Тогда просто "в виде не более счетного объединения множеств" (не обязательно других). Но это же не главное.

[mihaild]

А это тривиально - множество представляется как объединение себя с собой.

[ihq.pl]

mihaild, спасибо! Вроде разобрался. Но появился другой вопрос.

Ширяев Вероятность-I, гл.2, §9 "Построение процесса с заданными конечными распределениями", Замечание 2 к Теореме Колмогорова о существовании процесса (теорема 1):

Пусть $(E_\alpha, \mathcal{E}_\alpha)$ - полные сепарабельные метрические пространства, $\alpha$ принадлежит произвольному множеству индексов $U$. Пусть $\{P_\tau\}$ - набор согласованных конечномерных функций распределения $P_\tau, \tau = [t_1,...,t_n]$, на $(E_{\alpha_1}\times...\times E_{\alpha_n}, \mathcal{E}_{\alpha_1}\otimes...\otimes \mathcal{E}_{\alpha_n})$. Тогда существует вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathsf{P})$ и семейство $\mathcal{F}/\mathcal{E}_\alpha$-измеримых функций $(X_\alpha(\omega))_{\alpha\in U}$ такие, что

$$\mathsf{P}\{(X_{\alpha_1},...,X_{\alpha_n})\in B\} = P_\tau(B)$$

для любых $\tau=[t_1,...,t_n]$ и $B\in\mathcal{E}_{\alpha_1}\otimes...\otimes \mathcal{E}_{\alpha_n}$.

В этом замечании $P_\tau(B)$ - вероятностная мера, а не функция распределения. Опечатка?

[mihaild]

Да, там явно должны быть меры (и выше $P_\tau$ означало меру). Хотя поскольку меры однозначно соответствуют функциям распределения, то разница невелика.

[ihq.pl]

mihaild
Допустим, определено вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathsf{P})$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ - система борелевских множеств на $[0,1]$, $\mathsf{P}$ - мера Лебега на $[0,1]$. У Ширяева в условии задачи 1 из §9 говорится такое: для любой функции распределения $F(x)$ на $(\Omega, \mathcal{F}, \mathsf{P})$...

Не правильнее было бы сказать: для любой функции распределения на $[0,1]$?

[mihaild]

Лучше сказать "для любой функции распределения". У функции распределения в определении уже зафиксирован домен - $\overline{\mathbb R}$.

[ihq.pl]

mihaild
точно

[ihq.pl]

Ширяев, Вероятность-I, §9, Теорема 1 (Колмогорова о существовании процесса).
В следствии 2 этой теоремы для построения марковского процесса с системой переходных вероятностей $\{P(s,x;t,B)\}, s<t,$ требуется, чтобы выполнялось уравнение Колмогорова-Чепмена. А в следствии 3 для построения (дискретного) марковского процесса уже не требуется. Доказать без выполнения уравнение Колмогорова-Чепмена не получилось. Забыли?

[mihaild]

Нет. Обратите внимание, что в следствии 2 $p$ для каждого индекса одно и то же, а в следствии 3 - разные.