2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение25.06.2024, 23:50 


18/05/15
729
mihaild, вы имеете в виду функцию $P(s,x;t,B)$ в следствии 2? Здесь $s,t$ - индексы. То есть $\{P(s,x;t,B)\}$ является (по Ширяеву) семейством различных функций.

Я так пытался доказать следствие 3. Пусть $$\int\limits_{-\infty}^{x_0}\pi(dy_0)\int\limits_{-\infty}^{x_1}P_1(y_0;dy_1)...\int\limits_{-\infty}^{x_n}P_n(y_{n-1};dy_{n}) =: F_{0,...,n}(x_0,...,x_n).$$ Надо показать, что 1) $F_{0,...,n}(x_0,...,x_n)$ есть конечномерная функция распределения для любого $n\geqslant 1$ и 2) семейство функций $\{F_{0,...,n}(x_0,...,x_n)\}$ является согласованным, т.е. $$F_{0,...,k,..,n}(x_0,...,\infty,...,x_n) = F_{0,...,k-1,k+1..,n}(x_0,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_n).$$
Пусть 1) доказано. Покажем 2). Обозначим $$f(y_{k+1}) := \int\limits_{-\infty}^{x_{k+2}}P_{k+2}(y_{k+1};dy_{k+2})...\int\limits_{-\infty}^{x_n}P_n(y_{n-1};dy_{n}).$$ Тогда $$F_{0,...,k,..,n}(x_0,...,\infty,...,x_n) = \int\limits_{-\infty}^{x_0}\pi(dy_0)...\int\limits_{-\infty}^{x_{k+1}}f(y_{k+1})\int\limits_{-\infty}^{\infty}P_k(y_{k-1};dy_{k})P_{k+1}(y_{k};dy_{k+1}).$$
В последнем интеграле интегрируется по $P_k(y_{k-1}; dy_k)$. И теперь не помешало бы условие Колмогорова-Чепмена (пункт с в следствии 2). Как доказать без него, не понимаю. Здесь бы оно могло быть таким: $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}P_{k}(y_{k-1};dy_{k})P_{k+1}(y_{k};B) = P_{k+1}(y_{k-1};B),$$ для любого борелевского множества $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1644149 писал(а):
$$F_{0,...,k,..,n}(x_0,...,\infty,...,x_n) = F_{0,...,k-1,k+1..,n}(x_0,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_n).$$
Вы пока что не определили функцию в правой части, поэтому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 01:38 


18/05/15
729
Это $$F_\tau(x_1,...,x_{k-1},x_{k+1},...x_n)  =  \int\limits_{-\infty}^{x_0}\pi(dy_0) ... \int\limits_{-\infty}^{x_{k-1}}P_{k-1}(y_{k-2};dy_{k-1})\int\limits_{-\infty}^{x_{k+1}}P_{k+1}(y_{k-1};dy_{k+1})...\int\limits_{-\infty}^{\infty}P_{n}(y_{n-1};dy_n)$$?

Функцию $P_k(y_m;B)$, $k>m$, можно видимо считать переходной вероятностью из $m$ в $k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Нет, это что-то странное, какой смысл в $P_{k+1}$ подставляеть $y_{k-1}$?
ihq.pl в сообщении #1644170 писал(а):
Функцию $P_k(y_m;B)$, $k>m$, можно видимо считать переходной вероятностью из $m$ в $k$
Не очень понятно, что это значит.
$P_k(x, B)$ - это $P(\xi_k \in B | \xi_{k - 1} = x)$ (если к этому моменту уже были условные ожидания относительно величин).

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 02:13 


18/05/15
729
Наверное, неправильно сформулировал условие согласованности. Если сформулировать так $$F_{n+1}(x_0,..., x_n,\infty) = F_n(x_0,...,x_n),$$ то проблем вроде не должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1644172 писал(а):
Наверное, неправильно сформулировал условие согласованности
Проблема чуть раньше.
Теорема 1 требует задать все конечномерные распределения, а не только включающие ограничения ровно на первые переменные. И нужно еще чтобы эти распределения были согласованы.
Но да, если у нас есть последовательность конечномерных распределениях на начальных отрезках, удовлетворяющая Вашему условию, то из нее легко делаются все конечномерные распределения, причем согласованно. Как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 12:10 


18/05/15
729
mihaild в сообщении #1644174 писал(а):
если у нас есть последовательность конечномерных распределениях на начальных отрезках, удовлетворяющая Вашему условию, то из нее легко делаются все конечномерные распределения, причем согласованно. Как?

На пространствах $(R,\mathcal{B}(R)), (R^2,\mathcal{B}(R^2)),...$ существуют вероятностные меры $Q_0, Q_1,...$ такие, что $$Q_n(I_0\times...\times I_{n-1}) = \Delta_0...\Delta_{n-1} F_{0...n-1}(x_0,...,x_{n-1}),$$ где $I_j=(a_j,b_j]$, а $\Delta_j$ - разностный оператор: $\Delta_j F = F(...b_j...)-F(...a_j...)$. Семейство $\{Q_n\}$ будет согласованным, т.е. $$Q_{n}(B) = Q_{n+1}(B\times R),\quad B\in\mathcal{B}(R^n)$$ (по определению согласованности в Вероятность-I, §3, п. 4). Тогда $$Q_{n+1}(I_0\times...\times R\times...\times I_{n}) = \Delta_0...\Delta_{k-1}\Delta_{k+1}...\Delta_{n} F_{0...k...n}(x_0,...,\infty,...,x_n),$$
то есть $F_{0...k...n}(x_0,...,\infty,...,x_n)$ - $n$-мерная функция распределения. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 16:04 


18/05/15
729
mihaild
Сейчас вдруг дошло что от меня требуется:)
Функцию $F_\tau(x_1,...,x_n)$, где $\tau$ - конечный упорядоченный набор индексов, определим как цепочку интегралов с верхними пределами $\infty$ (если интеграл на i-ом месте и $i\notin \tau$) и $x_j$ (если интеграл на k-ом месте и $k\in \tau$). Так определенное семейство является согласованным семейством конечномерных функций распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение26.06.2024, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Да, именно так.
Дискретный марковский процесс тут проще непрерывного, потому что у нас есть предыдущая величина - $\xi_n$ изолируется от всех предыдущих одной конкретной величиной $\xi_{n - 1}$. Соответственно нам достаточно задать условное распределение $\xi_n | \xi_{n - 1}$. И любое такое семейство условных распределений задает маровский процесс. Для непрерывного случая такой параметризации - что любой набор параметров допустим - сделать не получается, поэтому возникает еще условие Колмогорова-Чепмена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение29.08.2024, 08:33 


18/05/15
729
Ширяев, Вероятность-I, гл.3, §3

Лемма 3. Пусть $F=F(x)$ - функция распределения на числовой прямой и $\varphi=\varphi(t)$ - её характеристическая функция. Тогда существует константа $K>0$ такая, что для всякого $a>0$ $$\int\limits_{|x|\geqslant 1/a}dF(x) \leqslant \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] dt.\qquad (1)$$

Теорема 1: Пусть $(F_n)$ - последовательность функций распределения $F_n=F_n(x),\, x\in R$, и $(\varphi_n)$ - соответствующая последовательность характеристических функций. Если при каждом $t\in R$ существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ и функция $\varphi(t) = \lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ непрерывна в точке $t=0$, то она является характеристической функцией некоторого распределения $F=F(x)$ и $$F_n\xrightarrow{w} F.$$
В доказательстве сначала доказывается плотность семейства $\{\mathsf{P}_n\}$, где $\mathsf{P}_n$ - вероятностная мера, соответствующая $F_n$. Семейство $\{\mathsf{P}_n\}$ называется плотным, если для любого $\varepsilon>0$ существует компакт $T\subset R$ такой, что $$\sup_{n}\mathsf{P}_n\{R\setminus T\}\leqslant\varepsilon.$$ Цитата из учебника: В силу (1) и теоремы о мажорируемой сходимости $$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} = \int\limits_{|x|\geqslant 1/a} dF_n(x) \leqslant \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi_n(t)] dt \to \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] dt \qquad (2)$$ при $n\to\infty$. Поскольу по предположению функция $\varphi(t)$ непрерывна в нуле и $\varphi(0)=1$, то для всякого $\varepsilon>0$ можно найти такое $a>0$, что для $$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\}\leqslant\varepsilon\; \textit{для всех}\;n\geqslant 1.\qquad (3)$$

Непонятно, как из того, что$$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\}  \to \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] dt,$$ следует (3)? По-хорошему, константа $K$ должна зависеть от $n$, то есть для каждого $n$ $$\int\limits_{|x|\geqslant 1/a}dF_n(x) \leqslant \frac{K_n}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi_n(t)] dt.$$
Попытки. Если бы множество функций $\{\operatorname{Re}\varphi_n\}$ было равностепенно непрерывным на отрезке $[0,r]$ при некотором малом $r$, можно было бы сделать так: для любого $\varepsilon>0$ полагаем $\delta=\varepsilon/ \sup K_n$. Cуществует $a>0$ такое, что $1-\operatorname{Re}\varphi_n(t) < \delta $ для всех $t\in[0,a]$ и всех $n\geqslant 1$. Тогда для любого $n$ $$\int\limits_{|x|\geqslant 1/a}dF_n(x) \leqslant K_n\delta \leqslant \varepsilon.$$

Множество $\{K_n\}$ ограничено сверху и, значит, $\sup K_n < \infty$. Равностепенная непрерывность почти не вызывает сомнения. Может, надо как то так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение29.08.2024, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1652224 писал(а):
Равностепенная непрерывность почти не вызывает сомнения
Попробуйте подобрать контрпример, с помощью теоремы Титчмарша-Пойи это несложно.
ihq.pl в сообщении #1652224 писал(а):
Непонятно, как из того, что$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\}  \to \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1- \operatorname{Re} \varphi(t)] d,$ следует (3)?
Пусть дано $\varepsilon$. Сначала подберите $a$, чтобы правая часть была мала. Потом подберите $N$, чтобы левая часть была близка к правой при $n > N$. Потом увеличьте $a$, чтобы левая часть была близка к нулю при $n \leq N$.
Тут важно, что $\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} \to_a 0$ для каждого конкретного $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение29.08.2024, 17:42 


18/05/15
729
mihaild в сообщении #1652242 писал(а):
Пусть дано...

mihaild, спасибо! Примерно в этом направлении я и думал сначала. Пусть дано $\varepsilon>0$. Существует $a>0$ такое, что $$\frac{K}{a}\int\limits_0^a [1-\operatorname{Re}\varphi(t)]dt \leqslant \frac{\varepsilon}{2}.$$ Тогда существует такой номер $N=N(a)$, что $$\mathsf{P}_n\Bigl\{R\setminus \Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr)\Bigr\} \leqslant \frac{K}{a}\int\limits_0^a [1-\operatorname{Re}\varphi(t)]dt + \frac{\varepsilon}{2} \leqslant \varepsilon$$
для любого $n\geqslant N(a)$. При фиксированном $\varepsilon$ индекс $N(a)$ уменьшается при $a\to 0$ и при каком-то $a>0$ должен по идее достигнуть значения 1. Хотел представить это более формально. Но сейчас более менее ясно, что иначе и быть не может. И спасибо за теорему Титчмарша-Пойи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра множеств
Сообщение29.08.2024, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Кстати Вы правы, приведенной формулировки $\forall \F \exists K \forall a: \text{нужное неравенство}$ недостаточно. Нужно $\exists K \forall F \forall a$. Но доказывается в лемме на самом деле именно это, так что поправить несложно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group