Ширяев, Вероятность-I, гл.3, §3
Лемма 3. Пусть
- функция распределения на числовой прямой и
- её характеристическая функция. Тогда существует константа
такая, что для всякого
Теорема 1: Пусть
- последовательность функций распределения
, и
- соответствующая последовательность характеристических функций. Если при каждом
существует предел
и функция
непрерывна в точке
, то она является характеристической функцией некоторого распределения
и
В доказательстве сначала доказывается плотность семейства
, где
- вероятностная мера, соответствующая
. Семейство
называется плотным, если для любого
существует компакт
такой, что
Цитата из учебника:
В силу (1) и теоремы о мажорируемой сходимости при . Поскольу по предположению функция непрерывна в нуле и , то для всякого можно найти такое , что для Непонятно, как из того, что
следует (3)? По-хорошему, константа
должна зависеть от
, то есть для каждого
Попытки. Если бы множество функций
было равностепенно непрерывным на отрезке
при некотором малом
, можно было бы сделать так: для любого
полагаем
. Cуществует
такое, что
для всех
и всех
. Тогда для любого
Множество
ограничено сверху и, значит,
. Равностепенная непрерывность почти не вызывает сомнения. Может, надо как то так?