Теорема. Пусть
- случайная величина, а
-
-алгебра, индуцированная этой случайной величиной. Для любой
-измеримой случайной величины
существует борелевская функция
такая, что
.
Доказывается сначала для случая
. Потом для случая, когда
- простая
-измеримая с.в. Наконец, для произвольной
-измеримой с.в.
существует последовательность простых
-измеримых с.в.
такая, что
. По доказанному для любого
существует борелевская функция
такая, что
, поэтому
Искомая борелевская функция есть
где
.
Вопрос. Если правильно понимаю,
- это множество значений с.в.
. Если да, то не важно, как определить
для
. Вместо нуля может быть любое другое число. Это так?