Алгебра множеств

[mihaild]

Всё равно потом придется еще доказывать сводимость двойного интеграла от произвольной функции к повторному (что вы вроде бы здесь и сделали). Вы просто предлагаете теорему Фубини ограничить случаем индикатора, а для произвольной функции вынести в отдельное утверждение?

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1616888 писал(а):

Вы просто предлагаете теорему Фубини ограничить случаем индикатора, а для произвольной функции вынести в отдельное утверждение?

Ну или в отдельную задачу, причем, несложную. На самом деле, я ничего не предлагаю. Просто показалось, что немного путанное доказательство в учебнике.

[ihq.pl]

Всё-таки много мелких неточностей в учебнике Ширяева. Прям обидно, чесслово

[ihq.pl]

Очередная опечатка в учебнике Ширяева Вероятность-I, 2017, стр. 289.
$\xi$ - случайная величина с функцией распределения $F=F(x)$ и $\mathsf{E}|\xi|^n<\infty$. Нужно доказать, что

$$\lim_{b\to\infty}b^n(1-F(b)) = 0.$$

Из учебника: покажем, что

$$b^n(1-F(b)-F(-b))\leqslant b^n\mathsf{P}\{|\xi|\geqslant b\}\to 0, b\to\infty.$$

Перед $F(-b)$ должен быть плюс.

[ihq.pl]

Пусть $\xi=\xi(\omega)$ - $\mathcal{F}$-измеримая случайная величина, $D\in\mathcal{F}$, и

$$c = \sup [x: D\cap\{\xi(\omega)< x\}=\varnothing].\quad\quad (1)$$

Только на основании (1) я бы сказал, что $D\cap \{\xi(\omega)<c\} = \varnothing$. Но в учебнике так: поскольку $\{\omega:\xi(\omega)<c\} = \bigcup \{\omega:\xi(\omega)<r\}$, где объединение берется по всем рациональным $r<c$, то $D\cap \{\xi<c\} = \varnothing$.
В этом должен быть смысл. Какой?

[Mikhail_K]

ihq.pl в сообщении #1620168 писал(а):

В этом должен быть смысл. Какой?

Смысл в том, что супремум множества не обязательно принадлежит этому множеству. Число $c$ не обязано быть одним из $x$-ов, супремумом множества которых оно является. Если бы вместо ${\rm{sup}}$ стояло $\max$, можно было напрямую сделать нужный вывод. А так он тоже получается, конечно, но требуется какое-то объяснение, хотя бы одной фразой. Один из вариантов - как раз через рациональные числа.

[ihq.pl]

Mikhail_K
Ну, вообще, да. Тем более, что это из теоремы про вид случайной величины, измеримой на $\sigma(\mathcal{D})$-алгебре, где $\mathcal{D}$ - конечное или счетное разбиение. В этой теореме доказывается, что такая случайная величина принимает постоянные значения на ядрах разбиения.

[ihq.pl]

"Одномерная модель Изинга" - задача из задачника Ширяева с опечаткой. Частицы двух типов произвольно расположены в $n$ пронумерованных ячейках. Надо найти вероятность события $A_n(m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22})$, где $m_{ij}$ - число частиц типа $i$, следующих за частицами типа $j$. Из решения становится понятно, что $m_{ij}$ - это число частиц типа $j$, следующих за частицами типа $i$.

[ihq.pl]

Опечатки в Ширяев, Вероятность-I, 2017
стр. 264, уверен, что вместо знака равенства в $...\varliminf\mathsf{E}\xi_n=\varlimsup\mathsf{E}\xi_n...$ в доказательстве теоремы "Лебега о мажорируемой сходимости" должен быть знак $\leqslant$;
стр. 303, в пункте e) условия теоремы 2 вместо нижнего предела должен быть верхний.

[ihq.pl]

стр. 304 (3-я строка сверху) в доказательстве пункта b) теоремы 2 вместо $\xi=\zeta$ должно быть $\mathsf{E}(\xi|\mathcal{G}) = \zeta$.

В доказательстве теоремы 2 из §7 есть и ошибки. Понятно, что по недоглядке. Впрочем, может это я чего недоглядел?

Теорема 2 (о сходимости под знаком условных математических ожиданий).
Пусть $\{\xi_n\}_{n\geqslant 1}$ - последовательность (расширенных) случайных величин.

a) Если $|\xi_n| \leqslant \eta$, $\mathsf{E}\eta < \infty$ и $\xi_n\to \xi \,(\text{п.н.})$, то

$$\mathsf{E}(\xi_n|\mathcal{G}) \to \mathsf{E}(\xi|\mathcal{G}) \quad (\text{п.н.}).$$

b) Если $\xi_n \geqslant \eta$, $\E\eta>-\infty$ и $\xi_n\uparrow \xi \, (\text{п.н.})$, то

$$\mathsf{E}(\xi_n|\mathcal{G})\uparrow \mathsf{E}(\xi|\mathcal{G}) \quad (\text{п.н.})$$

Пункт b) доказывается сначала для $\eta\equiv 0$. Затем: для доказательство в общем случае заметим, что $0\leqslant\xi_n^+\uparrow\xi^+$, и по доказанному

$$\mathsf{E}(\xi_n^+|\mathcal{G})\uparrow\mathsf{E}(\xi^+|\mathcal{G})\, \text{(п.н.)}.\quad (1)$$

Но

$$0\leqslant\xi_n^-\leqslant\xi^-, \mathsf{E}\xi^-<\infty,\qquad (2) $$

поэтому в силу a)

$$\mathsf{E}(\xi_n^-|\mathcal{G})\to\E(\xi^-|\mathcal{G}),\qquad\qquad (3)$$

что вместе с (1) доказывает b).

Во-первых, в (2) вместо $\xi^-, \mathsf{E}\xi^-$ должно быть $\eta^-, \mathsf{E}\eta^-$. Во-вторых, из (1) и (3) не следует b).

[ihq.pl]

Теорема. Пусть $\xi$ - случайная величина, а $\mathcal{F}_\xi$ - $\sigma$-алгебра, индуцированная этой случайной величиной. Для любой $\mathcal{F}_\xi$-измеримой случайной величины $\eta=\eta(\omega)$ существует борелевская функция $\varphi = \varphi(x)$ такая, что $\eta(\omega) = \varphi(\xi(\omega))$.

Доказывается сначала для случая $\eta(\omega) = I_A(\omega), A\in\mathcal{F}_\xi$. Потом для случая, когда $\eta$ - простая $\mathcal{F}_\xi$-измеримая с.в. Наконец, для произвольной $\mathcal{F}_\xi$-измеримой с.в. $\eta$ существует последовательность простых $\mathcal{F}_\xi$-измеримых с.в. $\eta_1,\eta_2,...$ такая, что $\eta_n(\omega)\to\eta(\omega)$. По доказанному для любого $n$ существует борелевская функция $\varphi_n = \varphi_n(x)$ такая, что $\eta_n(\omega) = \varphi_n(\xi(\omega))$, поэтому

$$\eta(\omega) = \lim_{n\to\infty}\varphi_n(\xi(\omega)), \omega\in\Omega.$$

Искомая борелевская функция есть

$$\varphi(x) = \begin{cases} \lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n(x), &x\in B,\\ 0, &x\in B \end{cases}$$

где $B = \{x: \lim \varphi_n(x) \text{ существует}\}$.

Вопрос. Если правильно понимаю, $B$ - это множество значений с.в. $\xi$. Если да, то не важно, как определить $\varphi(x)$ для $x\notin B$. Вместо нуля может быть любое другое число. Это так?

[ihq.pl]

Очередная неточность?

В §7, пример 2, показывается, что

$$\mathsf{P}(\xi\in C|\eta=y) = \int\limits_Cf_{\xi|\eta}(x|y)dx, \quad C\in\mathcal{B}(\bar R).$$

Но равенство выполняется $P_\eta\text{-почти наверное}$.

Здесь $\mathsf{P}(\xi\in C|\eta=y)$ - условная вероятность события $\{\xi\in C\}$ при условии $\eta=y$;

$$f_{\xi|\eta}(x|y) = \frac{f_{\xi,\eta}(x,y)}{f_\eta(y)},$$

где $f_{\xi,\eta}(x,y)$ - плотность распределения пары случайных величин $(\xi,\eta)$;

[ihq.pl]

Очень похоже на то, что в учебнике Ширяева в теореме 1 параграфа "Характеристические функции" есть ошибка. Перепроверял несколько раз, всё вроде бы делаю правильно.

Утверждается, что если все моменты случайной величины $\xi$ конечны, и

$$\varlimsup_n\frac{(\mathsf{E}|\xi|^n)^{1/n}}{n} = \frac{1}{T}<\infty,\qquad (1)$$

то при всех $|t|<T$ характеристическая функция этой случайной величины

$$\varphi(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{(it)^n}{n!}\mathsf{E}\xi^n. \qquad (2)$$

Хочу показать, что в (1) вместо $T$ должно быть $eT$.

Из формулы Стирлинга

$$n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left(\frac{\theta_n}{12n}\right), \quad 0<\theta_n<1,$$

следует, что

$$\frac{(n!)^{1/n}}{n} = (2\pi n)^{1/2n}\exp\left(\frac{\theta_n}{12n^2}-1\right) \to e^{-1},\quad n\to\infty.$$

По условию верхний предел последовательности $\frac{(\mathsf{E}|\xi|^n)^{1/n}}{n}$ конечен. Поэтому для любого $0<T<\infty$

$$T\varlimsup_n\frac{(\mathsf{E}|\xi|^n)^{1/n}}{n} = \varlimsup_n\left(\frac{T^n\mathsf{E}|\xi|^n}{n!}\right)^{1/n}\frac{(n!)^{1/n}}{n} = \varlimsup_n\left(\frac{T^n\mathsf{E}|\xi|^n}{n!}\right)^{1/n}\frac{1}{e}.$$

Пусть $T$ такое, что

$$\varlimsup_n\left(\frac{T^n\mathsf{E}|\xi|^n}{n!}\right)^{1/n} =1.$$

Тогда по признаку Коши ряд

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n\mathsf{E}|\xi|^n}{n!}$$

сходится для любого $|t|<T$. Отсюда, используя свойства характеристических функций, можно получить (2).

[mihaild]

Да, так. Если открыть доказательство, то там странный переход $\sqrt[n]{n!} \geqslant n$.

[ihq.pl]

Задача 3 из Ширяев, Вероятность - I, гл.2, §7 (Условные вероятность и матожидани).
Почему-то не включена в задачник Ширяев-Эрлих-Яськов. К тому же с опечатками.

Задача. Предположим, что случайные элементы $(X,Y)$ таковы, что существует регулярное распределение

$$P_x(B) = \mathsf{P}(Y\in B|X=x).$$

Показать, что если $\mathsf{E} |g(X,Y)|<\infty$, то

$$\mathsf{E}[g(X,Y)|X=x] = \int g(x,y)P_x(dy)\quad P_x\text{-п.н.} \qquad (1)$$

(опечатка: $P_x$-п.н в (1) надо скорее всего понимать как $P_X$-п.н.).

Решение. Переобозначу

$$\mathsf{P}(Y\in B|X=x) = Q(x;B)$$

и пусть $(\Omega, \mathcal{F}), (E_x,\mathcal{E}_x), (E_y,\mathcal{E}_y),(E_x\times E_y,\mathcal{E}_x\otimes\mathcal{E}_y)$ - измеримые пространства.
Случайные элементы $X$ и $Y$ являются соответственно $\mathcal{F}/\mathcal{E}_x$- и $\mathcal{F}/\mathcal{E}_y$-измеримыми и принимают значения в $E_x$ и $E_y$.
$\mathsf{P}$ - вероятностная мера на $(\Omega,\mathcal{F})$;
$P_X$ - распределение $X$: $P_X(A) = \mathsf{P}\{X\in A\}, A\in\mathcal{E}_x$;
$P_{XY}$ - распределение $(X,Y)$: $P_{XY}(C) = \mathsf{P}\{(X,Y)\in C\},$ где $C\in \mathcal{E}_x\otimes\mathcal{E}_y$. На "прямоугольниках" $A\times B, A\in \mathcal{E}_x, B\in\mathcal{E}_y$,

$$P_{XY}(A\times B) = P_X(A)P_Y(B).$$

Пусть $\mathcal{G}$ - $\sigma$-подалгебра $\mathcal{E}_x\otimes\mathcal{E}_y$,

$$\mathcal{G} = \{C: C = A\times E_y, A\in\mathcal{E}_x\}.$$

Для любого $C\in\mathcal{G}$ $P_{XY}(C) = P_X(A).$$

По определению $\mathsf{E}[g(X,Y)|X=x]$ есть такая $\marthcal{G}$-измеримая функция от $x\in E_x$, что для каждого $C\in\mathcal{G}$

$$\int\limits_{C}\mathsf{E}(g(X,Y)|X=x) P_{XY}(dxdy) = \int\limits_{C} g(x,y) P_{XY}(dxdy),$$

где существование правого интеграла для каждого $C\in\mathcal{G}$ гарантируется условием $\mathsf{E}|g(X,Y)|<\infty$, а существование $\mathsf{E}[g(X,Y)|X=x]$ - теоремой Радона-Никодима.
Поэтому утверждение задачи равносильно утверждению

$$\int\limits_{A\times E_y} g(x,y) P_{XY}(dxdy) = \int\limits_A\int\limits_{E_y} g(x,y)Q(x;dy)P_X(dx),\quad A\in\mathcal{E}_x.$$

Сначала проверяется для $g = I_D$, где $D$ - "прямоугольник" из $\mathcal{E}_x\otimes\mathcal{E}_y$. Если верно для $I_D$, то верно и для $I_{\sum D_i}$, т.к. $I_{\sum D_i} = \sum I_{D_i}$ (сумма конечная). Но тогда верно и для $I_B$, где $B$ - верхний или нижний предел последовательности "элементарных множеств", т.е. множеств, состоящих из конечных сумм прямоугольников. Элементарными множествами и пределами их последовательностей исчерпывается $\sigma$-алгебра $\mathcal{E}_x\otimes\mathcal{E}_y$ (что по-хорошему надо еще доказать). То есть утверждение верно для индикатора любого множества из $\mathcal{E}_x\otimes\mathcal{E}_y$ и, значит, для любой простой функции и функции, являющейся пределом последовательности простых.