По-моему, ограничивать себя силовскими подгруппами в произведении не стоит. Во всяком случае, для ответа на мой вопрос выше о представлении элементов виде степеней образующих в фиксированном порядке. Учитывая проблемный случай дициклических групп, мой вопрос можно переформулировать следующим образом. Это будет не эквивалентная формулировка, а достаточная.
Вопрос. Всегда ли в группе
G можно выбрать максимальную подгруппу
H и некоторую циклическую подгруппу
C так, чтобы любой элемент группы был представим в виде
где
I — нейтральный элемент. Желательно чтобы при этом ещё выполнялось
Последнее будет автоматически выполнено, если
Если же это не так, то разложение элементов группы в произведение будет неоднозначным, если не ограничить множество допустимых множителей циклической группы до количества
штук.
Если ответ положительный, то образующую
c можно взять как самую правую образующую
выше. Какие бы образующие бы мы не взяли в подгруппе
H, по построению для них всех можно записать обменные соотношения с образующей
c: элемент
ch будет принадлежать группе
G, следовательно, будет иметь разложение выше, что и даст искомое соотношение. В результате задача свелась к записи соотношений для подгруппы
H. Если это циклическая подгруппа, то решение найдено, а если нет — применяем положительный ответ на вопрос, но уже к подгруппе H. Повторяем до победного.