2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение16.08.2024, 12:47 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
B@R5uk, наверное, вас заинтересует вот этот препринт. Там строятся две группы с одинаковыми порядками элементов, одна из которых разрешима, а вторая — нет, причём даже вменяемого порядка $227\,598\,336$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение27.08.2024, 11:01 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Вопрос. Для любой ли конечной группы можно выбрать образующие $s_k$ и соотношения между ними так, чтобы все элементы $g_n$ группы можно было выразить в виде $$g_n=\prod\limits_{k=1}^{r}s_k^{t_{k,n}},\quad 0\le t_{k,n}\le\mathrm{Ord}\left(s_k\right)-1,\quad 0\le n\le|\langle g_k\rangle|-1$$
Желательно, чтобы при этом ещё выполнялось $$|\langle s_k\rangle|=\prod\limits_{k=1}^{r}\left|\left\{t_{k,n}\right\}\right|$$ Смысл в том, чтобы взглянув на задание группы сразу был бы виден её порядок. А так же, возможно, некоторые её подгруппы. Во многих случаях такое задание будет не единственно, но если придумать какой-то способ стандартизировать его, то получится как раз искомая мной однозначная идентификация.

Например, группу $A_5$ можно задать так: $$\left\langle\;a,\;b,\;c,\;d\;\left|\;a^2=b^2=c^3=d^5=[a,\;b]=(ad)^2=(cd)^2=I,\right{}\right{}$$ $$\left{}\;abc=cb,\;bc=ca,\;bcd^3=db\;\right\rangle$$ Первые три образующие задают подгруппу (со всеми её подгруппами) $$A_4=\mathbb{Z}_2^2\rtimes\mathbb{Z}_3$$ а соотношения с четвёртой образующей можно переписать в виде обменных соотношений $$da=ad^4,\quad db=bcd^3,\quad dc=c^2d^4$$ откуда сразу видно, что в любом слове её можно будет прогнать в конец слова, по ходу сокращая степени, с помощью соотношения, задающего её порядок. С первыми тремя образующими всё так же, но заметно проще. Из задания видно, что образующие a и d задают подгруппу $\mathrm{D}_{10}$. В группе $A_5$ ещё есть подгруппа $\mathrm{D}_6$, но из этого задания она сходу не видна.

Я специально привёл пример с простой группой, поскольку представление выше для групп, которые факторизуются, как правило очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение27.08.2024, 12:20 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Для группы $\mathrm Q_8$ вы что хотите получить? Её легко разложить в произведение двух циклических групп, но это будут подгруппы порядка 4.

А ещё не любая группа раскладывается в произведение своих силовских подгрупп, в этой статье приводится контрпример $\mathrm U(3, 3)$ порядка 6048.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение27.08.2024, 13:05 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Да, дициклические группы доставляют определённое неудобство. Из канонического представления $$\mathrm{Q}_{4n}=\left\langle\;a,\;x\;|\;a^{2n}=I,\;a^n=x^2,\;x^{-1}ax=a^{-1}\;\right\rangle$$ можно получить обменное соотношение: $$axa=x$$ $$a^kxa^k=x$$ $$xa^k=a^{2n-k}x$$ и любой элемент факторизуется в виде $$g_l=a^{u_l}x^{v_l},\quad 0\le u_l\le 2n-1,\quad v_l\in\{0,\;1\}$$ Как только степень образующей x больше 4 используется соотношение $$x^4=I$$ для сокращения, а затем второе групповое соотношение для дальнейшего уменьшения степени до значений 0 или 1. В результате получается: $$\left|\mathrm{Q}_{4n}\right|=\left|\left\{u_l\right\}\right|\cdot\left|\left\{v_l\right\}\right|=2n\cdot 2=4n$$ За счёт второго соотношения можно использовать и другую факторизацию элементов: $$g_l=a^{u_l}x^{v_l},\quad 0\le u_l\le n-1,\quad 0\le v_l\le 3$$ $$\left|\mathrm{Q}_{4n}\right|=\left|\left\{u_l\right\}\right|\cdot\left|\left\{v_l\right\}\right|=n\cdot 4=4n$$

Надо заметить, что дициклические группы, порядок которых не является степенью двойки, как правило имеют факторизацию в виде полупрямого произведения (экспериментальное наблюдение, не знаю, как это строго доказать) и эта проблема не встаёт вообще. Интересно, есть ли группы с этой проблемой, отличные от дициклических?

-- 27.08.2024, 13:11 --

dgwuqtj в сообщении #1651914 писал(а):
А ещё не любая группа раскладывается в произведение своих силовских подгрупп...

Не совсем понимаю, что это значит.

dgwuqtj в сообщении #1651914 писал(а):
... в этой статье приводится контрпример $\mathrm U(3, 3)$ порядка 6048.

Там доказывается (или хотя бы упоминается), что это минимальный контрпример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение27.08.2024, 13:24 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Не всегда можно выбрать силовские подгруппы $P_i \leq G$ (по одной для каждого простого делителя $p \mid |G|$) так, что $G$ является их произведением в некотором порядке. Для разрешимых групп такое разложение есть, кстати (так в статье говорят). А $\mathrm U(3, 3)$ - это простая группа наименьшего порядка, где такого разложения нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение27.08.2024, 14:15 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
По-моему, ограничивать себя силовскими подгруппами в произведении не стоит. Во всяком случае, для ответа на мой вопрос выше о представлении элементов виде степеней образующих в фиксированном порядке. Учитывая проблемный случай дициклических групп, мой вопрос можно переформулировать следующим образом. Это будет не эквивалентная формулировка, а достаточная.

Вопрос. Всегда ли в группе G можно выбрать максимальную подгруппу H и некоторую циклическую подгруппу C так, чтобы любой элемент группы был представим в виде $$g_k=h_kc_k,\quad h_k\in H,\quad c_k\in\{I\}\cup\left(\;C\setminus H\;\right)$$ где I — нейтральный элемент. Желательно чтобы при этом ещё выполнялось $$\left\{\;c_k\;\right\}=\left\{\left{}\;c^l\;\right|\;l=0\ldots\right|G:H\left|-1\;\right\}$$ Последнее будет автоматически выполнено, если $$C\cap H=\{I\}$$ Если же это не так, то разложение элементов группы в произведение будет неоднозначным, если не ограничить множество допустимых множителей циклической группы до количества $|G:H|$ штук.

Если ответ положительный, то образующую c можно взять как самую правую образующую $s_r$ выше. Какие бы образующие бы мы не взяли в подгруппе H, по построению для них всех можно записать обменные соотношения с образующей c: элемент ch будет принадлежать группе G, следовательно, будет иметь разложение выше, что и даст искомое соотношение. В результате задача свелась к записи соотношений для подгруппы H. Если это циклическая подгруппа, то решение найдено, а если нет — применяем положительный ответ на вопрос, но уже к подгруппе H. Повторяем до победного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 11:16 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
А есть какая-нибудь теорема, объясняющая, почему $|G:H|$ (где H — максимальная подгруппа наибольшего порядка конечной группы G ) является наименьшим простым делителем $|G|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 11:28 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Это неверно. Если $G$ простая неабелева, то её порядок чётный, а подгрупп индекса 2 нет. Потому что такие подгруппы обязательно были бы нормальными. Вообще у простой группы порядка $n$ не может быть подгрупп индекса $k$ с $k! < n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 13:09 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
dgwuqtj, спасибо! Действительно, у группы $A_5$, приведённой мной выше, наибольшая максимальная подгруппа $A_4$ имеет порядок всего 12, а не 30 и даже не 20. Я как-то это пропустил. Наверное, потому что не вбил ещё подгруппы 60-го порядка в мою табличку групп малого порядка.

Вы столько интересных утверждений привели одним махом:
  • Простая неабелева подгруппа имеет чётный порядок
  • Подгруппа индекса 2 нормальная
  • Утверждение с факториалом
Доказательство для какого-нибудь из них можно уложить в один абзац? Если нет, то где можно про это почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 13:17 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Так. Утверждение, что группы нечётного порядка разрешимы, — это теорема Фейта–Томпсона, доказательство занимает 2 книжки (не сильно большие, но всё же). К счастью, я его по сути не использую, вы же какие-то знакомые вам простые группы рассматриваете, а у них порядок чётный. Если интересно, сами книжки: H. Bender, G. Glauberman. Local analysis for the odd order theorem и Th. Peterfalvi. Character theory for the odd order theorem. Лично я их не читал, как-то времени не было.

Ну и есть такое упражнение для студентов: если $H \leq G$ группа конечного индекса (в произвольной группе, не обязательно конечной), то существует нормальная подгруппа $N \leq G$ конечного индекса такая, что $N \leq H$. Действительно, посмотрим на действие $G$ на множестве $G / H$ мощности $(G : H)$. У этого действия есть ядро $N = \bigcap_{g \in G} H^g$, оно обязательно нормальное (как ядро гомоморфизма), содержится в $H$, и его индекс не больше $(G : H)!$. В частности, любая подгруппа индекса 2 уже нормальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 15:12 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
dgwuqtj в сообщении #1652093 писал(а):
...посмотрим на действие $G$ на множестве $G / H$...

Не совсем понимаю, что это будет. Я так понимаю $G/H$ — это факторгруппа, но здесь рассматривается как множество, а не как группа. А действие получается применением гомоморфизма $$\varphi:G\to G/H=F$$ к групповой операции $$\ast:G\times G\to G$$ но не ко всем трём компонентам, а к одному из аргументов (пусть к первому) и к результату, что даёт операцию: $$\star:F\times G\to F$$ $$f_1\star\,g=f_2\;\Leftarrow\;g_1\ast\,g=g_2,\;f_1=\varphi(g_1),\;f_2=\varphi(g_2);\quad f_1,\;f_2\in F;\quad g,\;g_1,\;g_2\in G$$ Я правильно этот момент понял?

И что по определению будет ядром такого действия? Здесь два разнотипных аргумента, в отличие от гомоморфизма с одним аргументом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 16:31 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Нет, $G / H$ — это множество смежных классов, $G / H = \{x H \mid x \in G\} \subseteq 2^G$ (вот если $H$ нормальна, то на $G / H$ будет умножение). Действие имеет вид $g \cdot x H = g x H$. Ядром будет $\{g \in G \mid \forall x \in G \enskip g x H = x H\} = \{g \in G \mid \forall x \in G \enskip g \in x H x^{-1}\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 17:42 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Спасибо. То есть элементы ядра действия оставляют аргумент действия неизменным. Хорошо, с действием и его ядром понятно. (Только что значит $2^G$?) Теперь вот здесь не пойму:
dgwuqtj в сообщении #1652093 писал(а):
оно обязательно нормальное (как ядро гомоморфизма)

о каком гомоморфизме речь? Множество смежных классов же в данном случае не является группой, а гомоморфизм должен сохранять групповую операцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 17:51 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Гомоморфизм в группу перестановок множества $G / H$. Действия группы $G$ на множестве $X$ взаимно-однозначно соответствуют гомоморфизмам $G \to \Aut(X)$, где $\Aut(X)$ — группа всех перестановок $X$. А через $2^G$ я обозначил множество всех подмножеств $G$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однозначная идентификация конечной группы
Сообщение28.08.2024, 18:09 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
О. Так вот откуда факториал берётся: количество перестановок смежных классов равно $(G:H)!$.

Дальше, вы писали:
dgwuqtj в сообщении #1652093 писал(а):
У этого действия есть ядро $$N=\bigcap\limits_{g\in G}^{}H^g$$ Оно обязательно нормальное (как ядро гомоморфизма), содержится в $H$, и его индекс не больше $(G : H)!$.
Имеется в виду индекс ядра в подгруппе H или же во всей группе G?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group