Однозначная идентификация конечной группы

[dgwuqtj]

Во всей группе, конечно.

[B@R5uk]

Тогда каждый смежный класс ядра N в группе G содержит элементы g, которые все порождают одно и то же действие G на множестве смежных классов $G/H$, другими словами одну и ту же перестановку этого множества. Это верно, потому что элементы самого ядра порождают тривиальную перестановку. Так как таких перестановок не может быть больше факториала, и элементы g, принадлежащие разным смежным классам N, порождают разные перестановки, то таких классов не может быть больше факториала. Другими словами индекс N в G не больше $|G:H|!$. Я всё правильно понял?

[dgwuqtj]

Да, всё верно. Это вы так переформулировали то, что если $f \colon G \to S$ гомоморфизм групп, то $(G : \operatorname{Ker}(f)) = |f(G)| \leq |S|$?

[B@R5uk]

А что, индекс ядра должен делить факториал нацело? Образ группы G в подгруппе перестановок S же сам является группой и, более того, подгруппой S. Это будет ещё более сильное утверждение, чем неравенство, не?

-- 28.08.2024, 19:27 --

О! Так это задачка для студентов на тему "Гомоморфный образ группы, до победы коммунизма..." чтоль?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1652166 писал(а):

А что, индекс ядра должен делить факториал нацело?

Разумеется!

[B@R5uk]

ОК, хорошо. Теперь понятно, почему все подгруппы индекса 2 нормальные: порождаемая такой подгруппой нормальная подгруппа внутри неё тоже имеет индекс 2 и "распирает" подгруппу изнутри так, что ей не остаётся ничего другого, как быть этой самой нормальной подгруппой. Мои умственные способности скудны, на осознание этого примитивного факта ушёл целый день. Наверное, поэтому я прибегаю к численным экспериментам с обилием "грубой силы", вместо того, чтобы осваивать теорию.

Большое СПАСИБО за терпеливое объяснение.

Тем не менее, с точки зрения теории, приведённый вами факт, может быть, тривиален, но он, на мой взгляд, весьма интересен, так как содержит конкретные цифры. Надеюсь, где-нибудь в вычислениях да пригодится.

Теперь всё-таки давайте вернёмся к наибольшим максимальным подгруппам. Их индекс не может быть минимальным простым делителем порядка, но является ли он простым числом всё равно? Или есть контр-примеры?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1652169 писал(а):

Теперь всё-таки давайте вернёмся к наибольшим максимальным подгруппам. Их индекс не может быть минимальным простым делителем порядка, но является ли он простым числом всё равно? Или есть контр-примеры?

У группы $\mathrm A_6$ порядка 360 максимальные подгруппы имеют индексы 6, 10 и 15, вот ссылка на groupprops.

[B@R5uk]

О. Спасибо. Опять контр-пример — простая группа. Интересно, где-то есть список неабелевых простых групп в порядке возрастания порядка? Не из серии знакопеременных групп я знаю только $PSL(2,7)$ и то только потому что она является группой автоморфизмов группы $\mathbb{Z}_2^3$. При этом толком не понимаю, что "PSL" в этом обозначении означает.

Я так же где-то натыкался на утверждение, что существует не более двух простых групп одного порядка. Интересно, каков минимальный порядок такой пары?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1652177 писал(а):

Интересно, где-то есть список неабелевых простых групп в порядке возрастания порядка?

Вообще всех? Вряд ли, надо же учесть и знакопеременные группы порядка $\frac{n!}2$, и хотя бы $\mathrm{PSL}(2, q)$ порядка $\frac{(q + 1) q (q - 1)}{\mathrm{gcd}(2, q - 1)}$, где $q$ — степень простого. Для маленьких порядков список есть в википедии. В частности, первый порядок, встречающийся дважды, — это 20160 у $\mathrm{PSL}(4, 2) \cong \mathrm A_8$ и $\mathrm{PSL}(3, 4)$. Вообще там написано, что кроме этого случая все другие совпадения порядков только у $\Omega(2 n + 1, q)$ с $\mathrm{PSp}(2 n, q)$, где $q$ — степень нечётного простого, $n \geq 3$ (начиная с порядка $4\,585\,351\,680$ при $q = n = 3$).

Группа $\mathrm{PSL}(n, q)$ — это фактор-группа $\mathrm{SL}(n, q)$ (группы обратимых матриц $n \times n$ над $\mathbb F_q$ с единичным определителем) по своему центру (подгруппе из скалярных матриц, где на диагонали корень $n$-й степени из 1 в поле $\mathbb F_q$). Это простая группа при $n \geq 2$, кроме случаев $\mathrm{PSL}(2, 2) \cong \mathrm S_3$ и $\mathrm{PSL}(2, 3) \cong \mathrm A_4$. Тут $q$ является ненулевой степенью простого числа.

[B@R5uk]

Спасибо за подробное объяснение. А группы $A_n(q)$ как устроены? С матрицами ещё понятно, как можно забрутфорсить таблицу умножения, а про эти что-то простого описания не видно. Группы типа Ли, но ведь $\mathrm{PSL}(n, q)$ — это тоже группы типа Ли, разве нет?

[dgwuqtj]

Как раз $A_n(q) = \mathrm{PSL}(n + 1, q)$, $n \geq 1$. Это не буквально матрицы, а фактор-группа по центру, если что. Все группы типа Ли (кроме трёх исключительных семейств) устроены так: берётся некая группа $G(\mathbb F_q)$, задаваемая полиномиальными уравнениями в $\mathrm{GL}(N, \mathbb F_q)$. Это самое $G$, то есть набор уравнений, берётся достаточно хорошим (технически — простой аффинной групповой схемой над $\mathbb F_q$). Оказывается, что у фактор-группы $G(\mathbb F_q)$ по центру есть простая нормальная подгруппа, фактор по которой абелев. Вот эта простая группа и называется группой типа Ли. Можно даже выбрать $G$ так, чтобы не надо было факторизовать, но размерность представления (число $N$) при этом может вырасти. Например, $\mathrm{SL}(n + 1, q)$ имеет $(n + 1)$-мерное представление и нетривиальный центр, но $\mathrm{PSL}(n + 1, q)$ можно рассматривать и как подгруппу в $\mathrm{PGL}(n + 1, q)$, которая имеет представление размерности аж $(N + 1)^2 - 1$. Кроме вычислений в каком-то представлении можно ещё работать с элементами групп типа Ли через разложение Брюа, например.

Исключительные семейства — это группы Судзуки и Ри, они получаются почти так же, только уравнения не совсем полиномиальные и $q$ не любая степень простого, а степень 2 или 3.

[B@R5uk]

Понятно в общих чертах. Это я на будущее спрашиваю. GAP мне выдал такое представление для 4-й простой группы:

$$\mathrm{PSL}(2,\,8)=\left\langle\;a,\;b\;\left|\;a^3=(ab)^7=(a^2bab)^2=(ab^2a^2b^2)^2=I\right{}\right\rangle$$

Моя программка переваривает это и находит все обещанные здесь 386 подгрупп. Но это уже близко к грани. Чуть больше подгрупп, чуть выше ранк, или неудачно большое число автоморфизмов, и я только на таблицу умножения смогу посмотреть. Надо придумать что-то более продвинутое.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1652093 писал(а):

Ну и есть такое упражнение для студентов: если $H \leq G$ группа конечного индекса (в произвольной группе, не обязательно конечной), то существует нормальная подгруппа $N \leq G$ конечного индекса такая, что $N \leq H$. Действительно, посмотрим на действие $G$ на множестве $G / H$ мощности $(G : H)$. У этого действия есть ядро $N = \bigcap_{g \in G} H^g$, оно обязательно нормальное (как ядро гомоморфизма), содержится в $H$, и его индекс не больше $(G : H)!$. В частности, любая подгруппа индекса 2 уже нормальная.

А можно ли провернуть это всё в обратную сторону: найти истинную большую подгруппу H по малой нормальной подгруппе N? Не используя при этом полный перебор, а сделав это как-то более конструктивно. Просто находить малые нормальные подгруппы значительно проще, чем, к примеру, максимальные. Достаточно просто построить список циклов группы и проверить их между собой.

[dgwuqtj]

Кроме как посмотреть на подгруппы $G / N$, видимо, ничего нельзя сделать. Это вы всё хотите решать задачу об изоморфности двух групп, что ли?

И я не очень понял, зачем вам понадобилось задание $\mathrm{PSL}(2, 8)$ образующими и соотношениями. Проще же работать с всякими представлениями (перестановочными и линейными).

[B@R5uk]

Не совсем. Задачу идентификации группы, а так же подумываю, как бы по-эффективнее исследовать структуру больших групп. Изоморфность можно использовать для идентификации, но это ОЧЕНЬ нерационально. Нужно будет иметь список таблиц групп или их заготовок в каком-то виде, а процесс поиска будет поочерёдным сравниванием с каждым из образцов. Это жутко плохо. Набор векторов каких-нибудь производных величин можно упорядочить и использовать на таком списке бинарный поиск. Куда эффективнее.

И потом, результатом поиска будет "имя группы", чтобы под этим не подразумевалось. Например, строка "Z3 # (Z3 # D6)" у меня однозначно идентифицирует группу SmallGroup (54, 14) системы GAP:

$${}^{14}\mathrm{G}_{54}=\mathbb{Z}_3\rtimes\left(\mathbb{Z}_3\rtimes\mathrm{D}_6\right)=\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathrm{D}_6=\mathbb{Z}_3^3\rtimes\mathbb{Z}_2=$$

$$=\left\langle\;a,\,b,\,c,\,d\;\left|\;a^3=b^3=c^3=d^2=[a,\,b]=[a,\,c]=[b,\,c]=(ad)^2=(bd)^2=(cd)^2=I\;\right{}\right\rangle$$

Это единственная группа 54-го порядка, имеющая ранк IV. Вообще, забавно: группа

$$\mathbb{Z}_m\rtimes F,\quad m\in\{3,\,4,\,6\}$$

однозначно задаётся этой формулой, какая бы факторгруппа F чётного порядка в формуле не стояла, потому что в группу

$$\mathbb{Z}_2=\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_m\right),\quad m\in\{3,\,4,\,6\}$$

существует только один нетривиальный гомоморфизм. Это к вопросу о говорящих имёнах для групп: желательно, чтобы имя отражало структуру группы и было уникальным, что не всегда получается. Например, групп со структурой $\mathbb{Z}_3^3\rtimes\mathbb{Z}_2$ три штуки, а со структурой $\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathrm{D}_6$ — четыре. Хорошо, что простые группы уже все переименованы.

-- 29.08.2024, 12:21 --

dgwuqtj в сообщении #1652235 писал(а):

И я не очень понял, зачем вам понадобилось задание $\mathrm{PSL}(2, 8)$ образующими и соотношениями.

Во-первых, для галочки, чтобы было. Во-вторых, соотношениями мне куда более удобнее (универсально, человечно, компактно и наглядно) задавать группу, чем каким бы то ни было другим способом. Я отточил свою процедуру, которая строит по соотношениям группы таблицу умножения, до степени, когда практически все соотношения она переваривает за разумное время. Всё собираюсь отписаться. Плюс, если соотношения записаны удачно, то их них структура группы видна сходу. Пример выше.

-- 29.08.2024, 12:27 --

dgwuqtj в сообщении #1652235 писал(а):

Проще же работать с всякими представлениями (перестановочными и линейными).

Перестановочное представление — это с циклами в духе $a=(1,\,2),\;b=(1,\,2,\,3,\,4)$? А линейное представление что такое?