Однозначная идентификация конечной группы

[mathematician123]

В одной книге есть такой пример:

$$G = \langle x, y | x^2 = y^8 = 1, xy = yx \rangle$$

$$M = \langle u, v | u^2 = v^8 = 1, vu = uv^5 \rangle$$

Если правильно понял, там утверждается, что у этих групп идентичные решётки подгрупп.

[B@R5uk]

mathematician123, спасибо, это похоже на то, что я спрашивал. Вторая группа имеет такую решётку подгрупп:



Цветом выделены орбиты относительно группы автоморфизмов. Белый фон имеют характеристические подгруппы. Жирная граница обозначает центральные подгруппы, штрихованные — не являющиеся нормальными. K4 означает группу $\mathbb{Z}_2^2$, а K8 — $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$.

Первая абелева группа имеет такую решётку:



Все подгруппы, разумеется, центральные и нормальные. Но это единственное отличие, даже фактор группы для общих нормальных подгрупп совпадают (там не много, что может получиться). В частности, две подгруппы $\mathbb{Z}_4$ отличаются не только тем, подгруппами каких других подгрупп они являются, но и своими фактор-группами: $\mathbb{Z}_2^2$ для левой и $\mathbb{Z}_4$ для правой. И это одинаково для обеих групп.

Интереснее, конечно, было бы найти (если они существуют) две не абелевы группы с одинаковой решёткой и подгруппами с одинаковыми свойствами. У меня есть подозрение, что центральность и нормальность всегда будут дифференцирующими характеристиками. Иначе, что толку от классификации групп?

mathematician123 в сообщении #1649967 писал(а):

В одной книге есть такой пример:

А что за книга (автор, название)? Может почитаю.

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1650010 писал(а):

Жирная граница обозначает центральные подгруппы

Если не секрет, что такое центральные подгруппы? Я привык понимать этот термин как подгруппу, содержащуюся в центре...

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1650014 писал(а):

подгруппа, содержащаяся в центре

Вот это. У этого термина есть более короткое устоявшееся название?

[dgwuqtj]

Нет, просто у вас неабелева группа, а в решётке почему-то верхний элемент с жирной границей. Вообще то, что с жирной границей, должно быть замкнуто вниз и иметь наибольший элемент (центр).

[B@R5uk]

dgwuqtj, извиняюсь, поправил.

[mathematician123]

B@R5uk в сообщении #1650010 писал(а):

А что за книга (автор, название)? Может почитаю

Dummit, Foote, "Abstract algebra". Там ещё пишут, что можно посмотреть интересные примеры решёток в книге Hall, Macmillan "Groups of order $2^n$, $n \le 6$", но я не смог найти её в свободном доступе.

[dgwuqtj]

Книжка Groups of order $2^n$ ($n \leq 6$) есть тут, только авторы — M. Hall jr. и J. K. Senior, издательства Macmillan.

[B@R5uk]

Спасибо за книги.

Забыл написать, что у групп выше даже группа автоморфизмов одна и та же:

$$\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_8\times\mathbb{Z}_2\right)\simeq\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_8\overset{5}{\rtimes}\mathbb{Z}_2\right)\simeq\mathrm{D}_8\times\mathbb{Z}_2$$

[B@R5uk]

B@R5uk в сообщении #1649376 писал(а):

Наконец, для групп 54-го порядка (возможно, что это же случается и для групп порядка 32 или 48, но я их не "осваивал") я наткнулся таки на полные "группы-двойники":

$${}^8\mathrm{G}_{54}=\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathrm{D}_6=\left(\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathbb{Z}_3\right)\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b,\;d\;|\;a^3=b^3=(ab)^3=(a^2b)^3=d^2=(ad)^2=(bd)^2=I\;\right\rangle$$

$${}^{13}\mathrm{G}_{54}=\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathrm{D}_6=\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathbb{Z}_6=\mathbb{Z}_3^3\rtimes\mathbb{Z}_2=\left(\mathbb{Z}_3\rtimes\mathrm{D}_6\right)\times\mathbb{Z}_3=$$

$$=\left\langle\;a,\;b,\;c,\;d\;|\;a^3=b^3=c^3=d^2=[a,\;b]=[a,\;c]=[b,\;c]=[c,\;d]=(ad)^2=(bd)^2=I\;\right\rangle$$

Обе они имеют ранк 3, их "вектор порядков" 1-9-26-18-0-0-0-0 (для порядков 1-2-3-6-9-18-27-54), и обе они не абелевы. Единственное отличие сразу бросающееся в глаза (и легко считающееся, что не мало важно), — вторая имеет нетривиальный центр.

Я был не прав. Эти группы не отличаются цетром, он у них одинаковый: подгруппа $\mathbb{Z}_3$. Это особенно хорошо видно, если соотношения для первой группы записать так:

$${}^8\mathrm{G}_{54}=\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathrm{D}_6=\left(\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathbb{Z}_3\right)\rtimes\mathbb{Z}_2=$$ $$=\left\langle\;a,\;b,\;c,\;d\;|\;a^3=b^3=c^3=d^2=[a,\;b]=[a,\;c]=[a,\;d]=(bd)^2=(cd)^2=I,\;bc=cab\;\right\rangle$$

Образующие a и b дают подгруппу $\mathbb{Z}_3^2$, c и d — $\mathrm{D}_6$, a, b и c — $\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathbb{Z}_3$. Из соотношений видно, что образующая a коммутирует со всеми остальными, поэтому задаёт центр группы.

Как всё сложно. Без нахождения списка подгрупп эти две группы не различить.

[B@R5uk]

Хорошо. Изучая лишь порядки элементов группы, а так же зная её ранк, во всех случаях распознать группу не получится.

Меня тут ещё интересуют частные случаи. Вот есть абелевы группы. Если ранк группы 2, то можно посмотреть на максимальный порядок элемента (пусть будет m) и на порядок группы n и сразу станет понятно, что это группа

$$\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_{n/m}$$

Доказательство: теорема Лагранжа и абелевость. Это покрывает все абелевы группы, имеющие ранк 2.

Теперь пусть группа имеет ранк 3. Если её порядок 16, то это

$$\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2^2$$

Если её порядок $8(2n+1)$, то это

$$\mathbb{Z}_{4n+2}\times\mathbb{Z}_2^2$$

Есть ли ещё случаи, когда сразу по порядку группы можно сказать что это за группа? Я так понимаю, когда порядок — это число

$$n=p^3q$$

где p и q — простые, то группа будет

$$\mathbb{Z}_{pq}\times\mathbb{Z}_p^2$$

Я правильно рассуждаю?

[dgwuqtj]

Если уж говорить про абелевы или даже нильпотентные группы, то по идее надо делать примарное разложение на $p$-группы. Абелева группа данного порядка $p^k$ и ранга $r \geq 2$ единственна ровно при $k \in \{r, r + 1\}$. Соответственно, произвольная абелева группа ранга 2 единственна ровно когда $n = p_1^2 p_2 p_3 \ldots$ или $n = p_1^3 p_2 p_3 \ldots$, а ранга 3 — ровно когда $n = p_1^3 p_2 p_3 \ldots$ или $n = p_1^4 p_2 p_3 \ldots$.

[B@R5uk]

Как такой случай идентифицировать. Смотрим на порядки элементов, находим минимальный, больший единицы. По необходимости это будет простое число, обозначим его p. Теперь смотрим на следующий порядок элемента. Возможны два случая:

• это новое простое число, обозначим его q;
• это квадрат первого найденного простого числа.

Варианта с произведением двух разных простых чисел здесь быть не может, потому что тогда частное от деления второго на первое должно быть простым, меньше произведения и должно было встретиться раньше произведения. Только квадрат может удовлетворять таким требованиям, но он уже есть в списке.

Эти два случая идентифицируются, сравнивая второе число с квадратом первого. Теперь, в первом случае возможны варианты:

• порядок группы $n=pq^3$, группа
  $$\mathbb{Z}_{pq}\times\mathbb{Z}_q^2$$
• порядок группы $n=p^3q$, группа
  $$\mathbb{Z}_{pq}\times\mathbb{Z}_p^2$$
• порядок группы не равен ни одному из предыдущих. Группа не входит в класс рассматриваемых.

Во втором случае можно поступать по разному. Можно поделить порядок группы на куб найденного простого и проверить результат на простоту. Если проходит проверку, то группа распознана, если нет, то группа не входит в рассматриваемый класс. Мне кажется более логичным найти следующее простое число в списке порядков элементов. Правда, может получиться не сразу, так как следующим после квадрата в списке может быть не второе простое, а куб первого. Это можно проверить и взять следующее из списка. Если и оно не является новым простым, то группа не входит в рассматриваемый класс. В противном случае второе найдено и возвращаемся к уже описанной проверке порядка и результатам. Класс групп распознан.

Интересно, можно ли ещё что-то придумать используя максимальный порядок элемента (в случае когда он достаточно мал в сравнении с порядком всей группы)?

-- 15.08.2024, 19:29 --

dgwuqtj в сообщении #1650175 писал(а):

произвольная абелева группа ранга 2 единственна ровно когда $n = p_1^2 p_2 p_3 \ldots$ или $n = p_1^3 p_2 p_3 \ldots$

В первом случае это будет

$$\mathbb{Z}_{n/p_1}\times\mathbb{Z}_{p_1}$$

а во втором

$$\mathbb{Z}_{n/p_1}\times\mathbb{Z}_{p_1}=\mathbb{Z}_{n/p_1^2}\times\mathbb{Z}_{p_1^2}$$

Я правильно вас понимаю?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1650180 писал(а):

В первом случае это будет

$$\mathbb{Z}_{n/p_1}\times\mathbb{Z}_{p_1}$$

а во втором

$$\mathbb{Z}_{n/p_1}\times\mathbb{Z}_{p_1}=\mathbb{Z}_{n/p_1^2}\times\mathbb{Z}_{p_1^2}$$

Я правильно вас понимаю?

Да, именно так.

А вы умеете искать силовские подгруппы? Просто согласно моей интуиции странно смотреть на порядки элементов вообще, а в $p$-группах это что-то может дать. Особенно если силовские подгруппы абелевы.

[B@R5uk]

dgwuqtj, я умею находить список всех подгрупп группы и вычислять их свойства. Поэтому я как-то с силовских подгруппах не задумывался вообще. Как теоретический результат теоремы Силова — весьма сильные утверждения, особенно, когда не знаешь заранее строение группы. У меня список подгрупп есть, так что всё сводится просто к указанию, какая подгруппа является искомой по какому простому множителю. В этом плане какая-нибудь подгруппа Фраттини более интересна. Она тоже входит в список, её просто надо указать.

На порядки элементов я смотрю, потому что они, с одной стороны, легко вычисляются, а с другой — несут достаточно полезной информации. Вон, максимальный порядок элемента позволяет сходу идентифицировать абелеву группу ранка 2. Более того, я их использую для идентификации диэдральных и дициклических групп. Диэдральная группа имеет чётный порядок, максимальный порядок элемента равен половину порядка, а количество элементов второго порядка тоже считается по хитрой формуле с остатком и всегда нечётно.

За метод распознавания абелевых групп выше спасибо, попробую взять на вооружение. Не то, что бы мне такие большие порядки и ранки попадаются по ходу дела.