Обратная задача теории вероятностей

[BorisK]

epros в сообщении #1651419 писал(а):

Добавляем условие, что сумма номеров двух извлечённых из двух урн шаров всегда равна шести. Т.е. возможны только такие пары: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$. Первые три шара в первой урне белые, остальные - чёрные. Первые два шара во второй урне белые, остальные - чёрные. Так что при извлечении из первой урны, например, шара $2$ из второй урны автоматически извлекается шар $4$ (даже если мы этого не видим). Все условия соблюдены: Вероятности извлечения всех шаров в урне равны. При этом из двух урн всегда извлекаются шары разных цветов, никакой "независимости" событий $A$ и $B$ нет, так как $P(A \land B)=0$.

epros в сообщении #1651351 писал(а):

Помедитируйте над моим контрпримером, в котором было $P(J_i)=\frac{1}{N_i}$ для всех $i$, но $P(J_1, J_2, \dots , J_n) \ne \frac{1}{N_1N_2 \dots N_n}$.

Помедитировал. Вот что получилось.
Вы не потрудились сформулировать высказывания для пропозициональных переменных $A$ и $B$, в результате чего у Вас получилась очередная ошибка. Попробую за Вас это сделать.
Для первой урны такое высказывание очевидно: «успешны все номера $J_1$ кроме 6».
А вот для второй мы не можем непосредственно указать успешные номера, но можем определить один номер с помощью функции $f(J_1)=6-J_1$. Тогда вероятности событий в каждой урне очевидны: $\frac 56$ и $\frac 16$. В результате получим
$P(A \wedge B)= \frac 5 {36}$
Этот же результат подтверждается при другом варианте объяснения. Всего имеется 36 вариантов размещений двух номеров из шести. Среди них успешными являются только 5. Отсюда вероятность успешного события $\frac 5 {36}$.
Так что в этом Вашем возражении явная ошибка и равенство $P(J_1, J_2, \dots , J_n) = \frac{1}{N_1N_2 \dots N_n}$ не опровергнуто.

epros в сообщении #1651351 писал(а):

BorisK в сообщении #1651289 писал(а):

Если вероятности элементарных событий одинаковы

$P(J_i)=\frac{1}{N_i}$ не означает, что вероятности элементарных исходов одинаковы.

Вы вырвали фразу из контекста и исказили ее смысл. Напомню, что было сказано перед этим в моем ответе:
«Речь идет о формуле
$P(J_1, J_2, \dots , J_n) = \frac 1{N_1N_2 \dots N_n} \qquad (1)$,
основанием для применения которой было предположение об одинаковости вероятностей элементарных событий $(J_1,J_2, \dots , J_n)$.»
Из него ясно, что вероятности элементарных событий БЕЗУСЛОВНО предполагаются одинаковыми.
Некорректный аргумент: искажение смысла высказывания оппонента.

epros в сообщении #1651351 писал(а):

Сколько элементарных исходов в пространстве событий, столько и переменных для их вероятностей.

Ваши «переменные», как я уже показал, можно вычислять, исходя из предположения о равновероятности элементарных событий. Кстати, Вы так и не ответили на мое возражение, в котором я обосновал то, что «переменные» $p_i$ можно легко вычислить, если заданы вероятности событий, относящихся к пропозициональным переменным.
Тем самым выявляется замалчивание неподходящих для Вашей точки зрения результатов.

epros в сообщении #1651351 писал(а):

Потому что вероятностное пространство определено, если определены вероятности всех элементарных исходов.

Как я уже говорил ранее, вероятности всех элементарных событий вычисляются исходя из предположения об их равновероятности.
Это и предыдущее Ваше замечание свидетельствует о непонимании Вами сути модели.

epros в сообщении #1651351 писал(а):

Это была Ваша ошибка. Из-за непонимания того, что такое вероятностное пространство и, в частности, что такое элементарные исходы.

Предыдущие мои ответы на Ваши замечания показывают, что Ваша критика моего определения вероятностного пространства необоснованна. Найдите конкретные ошибки в моем определении вероятностного пространства, тогда это будет обоснованное возражение.
В противном случае это всего лишь демагогия.

epros в сообщении #1651351 писал(а):

Покажу на Вашем же примере:
$p_{AB\overline{C}}+p_{A\overline{BC}}+p_{\overline{A}B\overline{C}}=p_i$ - одно из линейных уравнений определяет вероятность того одного события, которую Вы заложили в условия.

Давайте придерживаться общепринятых обозначений! Здесь ведь речь не об алгебре множеств, а об исчислении высказываний! Тем более, что Вы раньше не искажали написание логических формул. Потому Ваше непонятно что $p_{AB \overline{C}$ предлагаю обозначать как $p(A \wedge B \wedge \neg C)$.
Просто невозможно понять, где в предложенной Вами формуле
$p(A \wedge B \wedge \neg C)+ p(A \wedge \neg B \wedge \neg C)+ p(A \wedge B \wedge \neg C)$ линейное уравнение? Откуда Вам известна вероятность, допустим, подформулы $A \wedge B \wedge \neg C$, если по условиям задачи она нам не задана, но заданы только переменные $p(A),p(B)$ и $p(C)$?
Тогда придется принять, что
$p(A \wedge B \wedge \neg C)=p(A)p(B)(1-p(C))$.
А из этого равенства получается, что в правой части выражение, которое содержит произведение трех переменных. А тогда что это, как не часть полинома третей степени?
Опять ошибка!

epros в сообщении #1651351 писал(а):

$A_1 \land A_2 \land \ldots \land A_n$ - это не "множество событий", а один из элементарных исходов, каковых всего $2^n$ штук.

Вы забыли (или «забыли» - не знаю), что основное вероятностное пространство $(\Omega, \mathfrak{U}, \mathbb{P})$ определено не для успешных или безуспешных событий, а просто для множеств номеров элементов в множествах $S_i$. Поэтому элементарными исходами (ладно, перейду на Вашу терминологию - в определении вероятностного пространства это синонимы) в этой модели являются $n$-ки номеров. А в Вашей фразе термин «элементарный исход» используется в другом смысле и поэтому должен быть назван иначе (например, «логический исход», если не возражаете).
Поэтому Ваше возражение некорректно: здесь явная «подмена термина.

Получается вот что. В Вашем ответе 9 возражений из них в двух речь идет не о модели, а обсуждаются наши с Вами персоны – их можно не учитывать. Тогда получается, что 100% Ваших возражений в этом эпизоде не выдерживают критики. Поэтому в дальнейшем я позволю себе на некоторые Ваши замечания отвечать кратко:
Опять (варианты: подмена термина, искажение высказываний оппонента, демагогия и пр.)!
А объяснения будут предоставлены по просьбе других участников обсуждения.
Разумеется, Вы можете поступать аналогично. Тем самым мы существенно сэкономим драгоценное наше с Вами время и время других участников дискуссии.
И еще скажу Вам «Спасибо!» за первое замечание. Благодаря ему мы с Вами открыли новое свойство предложенной модели:
$n$-мерное вероятностное пространство $(\Omega, \mathfrak{U}, \mathbb{P})$ сохраняет независимость событий в переменных в тех случаях, когда заданы определенные с помощью аналитических функций зависимости между переменными.

[epros]

BorisK, Ваше непонимание просто восхитительно! Если всё же желаете хоть что-то понять, то предлагаю поменьше писать возражений и побольше слушать, задавать вопросы.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Вы не потрудились сформулировать высказывания для пропозициональных переменных $A$ и $B$, в результате чего у Вас получилась очередная ошибка.

Да, я не потрудился в пятнадцатый раз повторить то, что уже было сказано четырнадцать предыдущих раз, поскольку надеялся, что собеседник хоть что-то улавливает из ранее сказанного. Напоминаю, что смысл пропозициональных переменных $A$ и $B$ ранее озвучивался таким образом:

epros в сообщении #1650248 писал(а):

Чтобы Вам было понятнее, проиллюстрирую на Вашем же примере с урнами, в которых находятся белые и чёрные шары. Если высказывание $A$: "Из первой урны вынули белый шар", а высказывание $B$: "Из второй урны вынули белый шар", то мы никак не можем из различия номеров урн сделать вывод, что события $A$ и $B$ независимы, потому что между первой и второй урнами может быть какая угодно связь.

Также обращаю внимание, что из условия:

epros в сообщении #1650879 писал(а):

Т.е. возможны только такие пары: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$.

очевидно, что в каждой из двух урн по пять шаров, с номерами от 1 до 5. Так что никаких "номеров 6" условиями задачи не предусмотрено. Количества шаров в урнах и их цвета:

epros в сообщении #1650879 писал(а):

Первые три шара в первой урне белые, остальные - чёрные. Первые два шара во второй урне белые, остальные - чёрные.

вообще-то были подобраны таким образом, чтобы соответствовать вот этим ранее сформулированным условиям:

epros в сообщении #1650664 писал(а):

Допустим, что вероятность извлечения белого шара из первой урны (если не глядеть на вторую урну) равна 40%, а вероятность извлечения белого шара из второй урны (если не глядеть на первую урну) равна 60%.

Хотя номера урн тут поменялись, ну да всего не упомнишь. Так что $P(A)=\frac{3}{5}$, $P(B)=\frac{2}{5}$, но $P(A \land B)=0$. А не то, что Вы понаписали (у меня мозг сейчас взорвётся угадывать, откуда Вы там взяли 36 в знаменателе).

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Вы вырвали фразу из контекста и исказили ее смысл. Напомню, что было сказано перед этим в моем ответе:
«Речь идет о формуле
$P(J_1, J_2, \dots , J_n) = \frac 1{N_1N_2 \dots N_n} \qquad (1)$,
основанием для применения которой было предположение об одинаковости вероятностей элементарных событий $(J_1,J_2, \dots , J_n)$.»
Из него ясно, что вероятности элементарных событий БЕЗУСЛОВНО предполагаются одинаковыми.

Для начала давайте разберёмся с тем, что Вы называете "элементарными событиями". Ибо Вы периодически так называете пропозициональные переменные. Но эти события не могут быть элементарными, поскольку их конъюнкция - некоторое возможное событие, а конъюнкия элементарных исходов - всегда невозможное событие. Так вот, если Вы называете "элементарными событиями" выпадение пары шаров с заданными номерами, то требование их равновероятности, как я уже говорил ранее, является специальным случаем:

epros в сообщении #1650658 писал(а):

есть один специальный случай, называемый классическое вероятностное пространство, это когда все элементарные исходы равновероятны.

epros в сообщении #1650658 писал(а):

Но этот случай для Вашей задачи мало интересен, ибо хотя он и означает $P(A \land B) = P(A) P(B)$, но там вероятности всех событий уже определены и дополнительными условиями определять нечего.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Ваши «переменные», как я уже показал, можно вычислять, исходя из предположения о равновероятности элементарных событий.

У меня нет никакого предположения равновероятности элементарных исходов.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Кстати, Вы так и не ответили на мое возражение, в котором я обосновал то, что «переменные» $p_i$ можно легко вычислить, если заданы вероятности событий, относящихся к пропозициональным переменным.

В-первых, нет. А во-вторых, в Вашей задаче вероятности пропозициональных переменных не заданы, а должны быть найдены.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Как я уже говорил ранее, вероятности всех элементарных событий вычисляются исходя из предположения об их равновероятности.

Разумеется в классическом вероятностном пространстве все вероятности заданы, поэтому ставить таким образом задачу на вычисление вероятностей бессмысленно.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Найдите конкретные ошибки в моем определении вероятностного пространства,

Я не вижу никакого определения вероятностного пространства. Ваша задача была про то, чтобы найти вероятности для пропозициональных переменных. Потом Вы откуда-то вытащили условие их независимости, которого в постановке задачи не было. Потом Вы, чтобы не уточнять постановку задачи, начали рассуждать о том, что эта независимость сама по себе подразумевается из какой-то "урновой модели" (которая на самом деле не имеет никакого отношения к постановке исходной задачи). Потом Вы окончательно запутались в определении того, что должно считаться элементарными исходами, зато у Вас откуда-то стала выскакивать их равновероятность. Теперь я вообще не понимаю, о чём Вы говорите.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Давайте придерживаться общепринятых обозначений! Здесь ведь речь не об алгебре множеств, а об исчислении высказываний! Тем более, что Вы раньше не искажали написание логических формул. Потому Ваше непонятно что $p_{AB \overline{C}}$ предлагаю обозначать как $p(A \wedge B \wedge \neg C)$.

Это не "написание логических формул", а наименование переменной, у которой $AB \overline{C}$ - это индекс. Чтобы Вы понимали, что при наличии трёх пропозициональных переменных $A$, $B$ и $C$ таких индексов может быть $2^3=8$ штук, отличающихся тем, как мы расставим чёрточки над буквами индекса.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Просто невозможно понять, где в предложенной Вами формуле
$p(A \wedge B \wedge \neg C)+ p(A \wedge \neg B \wedge \neg C)+ p(A \wedge B \wedge \neg C)$ линейное уравнение?

В предложенной мной формуле слева от знака равенства - сумма трёх переменных, значения которых предстоит найти, а справа от знака равенства - константа, полученная из одного из условий Вашей задачи (заданная вероятность того события, которое Вы записали логической формулой). Когда сумма трёх переменных равна константе, это называется линейным уравнением.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Откуда Вам известна вероятность, допустим, подформулы $A \wedge B \wedge \neg C$, если по условиям задачи она нам не задана, но заданы только переменные $p(A),p(B)$ и $p(C)$?

Никакие $p(A),p(B)$ и $p(C)$ нам в условиях задачи не заданы.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

Поэтому элементарными исходами (ладно, перейду на Вашу терминологию - в определении вероятностного пространства это синонимы) в этой модели являются $n$-ки номеров.

Я не понимаю о каких $n$-ках каких номеров Вы говорите. У нас есть $n$ пропозициональных переменных. Чтобы не обозначать их разными буквами $A,B,\ldots$, я обозначил их одной буквой с номерными индексами: $A_1,A_2,\ldots, A_n$.

BorisK в сообщении #1651584 писал(а):

А в Вашей фразе термин «элементарный исход» используется в другом смысле и поэтому должен быть назван иначе (например, «логический исход», если не возражаете).

Возражаю. В моей фразе термин "элементарный исход" используется в том смысле, в котором он используется при определении вероятностного пространства: Одно из множества не пересекающихся событий, объединениями которых можно составить любое событие.

[BorisK]

О Вашей задаче поговорю с удовольствием. Сразу скажу, что условие, в котором сумма номеров шаров равна 6, и условия с черными и белыми шарами соответствуют разным задачам, и я это постараюсь обосновать. Но давайте сначала рассмотрим условие с суммой.

epros в сообщении #1651617 писал(а):

очевидно, что в каждой из двух урн по пять шаров, с номерами от 1 до 5. Так что никаких "номеров 6" условиями задачи не предусмотрено.

Перечитайте еще раз ранее заданные условия задачи. Там нигде не говорится о количестве шаров в урнах. Я предположил, что их 6, но могу предложить решение для любых $N_1$ и $N_2$ (количества шаров в разных урнах), при условии, что эти величины не меньше 5. По сути, это самостоятельная вполне определенная задача. В ней вовсе не нужно знать, в какие цвета раскрашены шары. Если кому-то непонятно, как это можно решить, напишите – я подробно расскажу.

Теперь перейдем к задаче, в которыой урны содержат черные и белые шары.

epros в сообщении #1651419 писал(а):

Первые три шара в первой урне белые, остальные - чёрные. Первые два шара во второй урне белые, остальные - чёрные. Так что при извлечении из первой урны, например, шара $2$ из второй урны автоматически извлекается шар $4$ (даже если мы этого не видим). Все условия соблюдены: Вероятности извлечения всех шаров в урне равны. При этом из двух урн всегда извлекаются шары разных цветов, никакой "независимости" событий $A$ и $B$ нет, так как $P(A \land B)=0$.

Ограничимся предложенным Вами случаем, когда в обеих урнах по 5 шаров. И если цветам присвоить те номера, которые Вы предложили, то и в самом деле получается так, что при любом успешном событии извлекаются оба шара разного цвета. Но при этом вероятность события, при котором сумма номеров шаров из разных урн равна 6, не равна 0 (!!!).
Хотелось бы знать, на каком основании Вы решили, что $P(A \land B)=0$? Из Вашего текста ясно, что таким основанием является суждение «из двух урн всегда извлекаются шары разных цветов». Но это ПРОТИВОРЕЧИТ определению пространства событий, согласно которому при всяком испытании возможно извлечение пары одинакового цвета. Почему согласно Вашему утверждению невозможно, например, извлечение пары с номерами (1,2)?
Правильной формулировкой условия является суждение «при любом успешном событии извлекаются оба шара разного цвета». Но тогда $P(A \land B)=0$ ничто иное, как АБСУРД.
Теперь посмотрим, что получится, если в качестве событий рассматривать только цвета. Тогда вероятность извлечения белого шара в первой урне равна $\frac 35$, а во второй урне равна $\frac 25$.
Вероятность извлечения пары (белый, черный) равна $\frac 9{25}$, а пары (черный, белый) равна $\frac 6{25}$. Поскольку события несовместны, то их вероятности можно суммировать. В итоге получим
$P$(цвет1$\ne$цвет2)$=\frac 35$.
Если Вас не убедили эти результаты, то можете проверить их методом Монте-Карло.

[epros]

BorisK в сообщении #1651777 писал(а):

Но это ПРОТИВОРЕЧИТ определению пространства событий, согласно которому при всяком испытании возможно извлечение пары одинакового цвета.

Не было такого определения.

BorisK в сообщении #1651777 писал(а):

Почему согласно Вашему утверждению невозможно, например, извлечение пары с номерами (1,2)?

Так определено вероятностное пространство. Иначе говоря, так устроены урны с шарами.

BorisK в сообщении #1651777 писал(а):

Вероятность извлечения пары (белый, черный) равна $\frac 9{25}$, а пары (черный, белый) равна $\frac 6{25}$.

Нет такой арифметики.

-- Пн авг 26, 2024 21:44:12 --

BorisK в сообщении #1651777 писал(а):

Сразу скажу, что условие, в котором сумма номеров шаров равна 6, и условия с черными и белыми шарами соответствуют разным задачам

Нет, это одна задача.

[BorisK]

epros в сообщении #1651787 писал(а):

BorisK в сообщении #1651777 писал(а):

Вероятность извлечения пары (белый, черный) равна $\frac 9{25}$, а пары (черный, белый) равна $\frac 6{25}$.

Нет такой арифметики.

Теперь мне стала понятна Ваша точка зрения. В обсуждении этой темы с Вами не вижу смысла. Спасибо за критику.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: попытка изобретения велосипеда с квадратными колесами при упорном игнорировании азов теории вероятностей.

[Утундрий]

Мною была поручена мне задача просмотреть эту тему и сформировать относительно ея некое мнение. Каковая задача мною была успешно не выполнена, о чём я себе же и доклада́ю.