Обратная задача теории вероятностей

[epros]

Чтобы Вам было понятнее, проиллюстрирую на Вашем же примере с урнами, в которых находятся белые и чёрные шары. Если высказывание $A$: "Из первой урны вынули белый шар", а высказывание $B$: "Из второй урны вынули белый шар", то мы никак не можем из различия номеров урн сделать вывод, что события $A$ и $B$ независимы, потому что между первой и второй урнами может быть какая угодно связь. Например, на самом деле это может быть одна и та же урна, просто с одной стороны у неё написана единица, а с другой стороны - двойка.

-- Пт авг 16, 2024 11:22:41 --

BorisK в сообщении #1650247 писал(а):

Тогда получается, что теорию функций действительного переменного нельзя использовать в задачах, в которых присутствуют массы, скорости и т.д. Но это возражение по аналогии.
А без аналогий получается, что теория переключательных схем, которая основана на законах исчисления высказываний, не имеет права на существование. Не имеют права на существование также многочисленные публикации по вероятностной логике и логико-вероятностному моделированию, в которых предприняты попытки совместить в одной математической модели законы исчисления высказываний и законы теории вероятностей.

Всё, о чём Вы сейчас говорили, формализуется в исчислении предикатов, но не в исчисления высказываний. В том числе это относится к "кортежам чисел" и к "независимости событий".

А "совместить законы исчисления высказываний и теории вероятностей" - это сколько угодно. Нужно всего лишь приписать высказываниям вероятности, с которыми они могут оказаться истинными. Но чтобы определить в этой модели, что события $A$ и $B$ независимы, Вам придётся в явной форме добавить в задачу условие, что $P(A \land B) = P(A) P(B)$. И, кстати, это совсем не означает, что независимыми окажутся и $\neg A$ с $\neg B$, и $\neg A$ с $B$, и $A$ с $\neg B$. Хм, пардон, вообще-то означает. Ну да суть не в этом.

[BorisK]

epros в сообщении #1650248 писал(а):

Чтобы Вам было понятнее, проиллюстрирую на Вашем же примере с урнами, в которых находятся белые и чёрные шары. Если высказывание $A$: "Из первой урны вынули белый шар", а высказывание $B$: "Из второй урны вынули белый шар", то мы никак не можем из различия номеров урн сделать вывод, что события $A$ и $B$ независимы, потому что между первой и второй урнами может быть какая угодно связь. Например, на самом деле это может быть одна и та же урна, просто с одной стороны у неё написана единица, а с другой стороны - двойка.

Значит, Вы согласны с тем, что с помощью исчисления высказываний можно моделировать события, пусть даже (иду на компромисс) в форме высказываний об этих событиях.
Тогда соответственно мы не будем возражать против возможности совместить в одной модели законы исчисления высказываний (в узком смысле - законы булевой алгебры) и законы теории вероятностей. До этого мной была предпринята попытка определить пространство событий для этой модели. Но остались неясные вопросы.
В исчислений высказываний, как мне известно, нет определения независимости. Но поскольку мы пытаемся (если Вы не возражаете) использовать законы математической логики в вероятностных моделях, то определение независимости требуется сформулировать.
Вот мое определение: Независимыми являются события, определенные в разных переменных.
Обоснование: Разные варианты события в одной переменной зависимы, так как если произошел один из вариантов событий, то в этом же испытании невозможно существование другого варианта. Если же события заданы в разных переменных, то изначально (т.е. пока не задана логическая формула) равновозможны все $2^n$ вариантов этих событий.
Есть возражения?

[Mikhail_K]

BorisK в сообщении #1650256 писал(а):

Вот мое определение: Независимыми являются события, определенные в разных переменных.
Обоснование: Разные варианты события в одной переменной зависимы, так как если произошел один из вариантов событий, то в этом же испытании невозможно существование другого варианта. Если же события заданы в разных переменных, то изначально (т.е. пока не задана логическая формула) равновозможны все $2^n$ вариантов этих событий.
Есть возражения?

Возражения есть.
Начать с того, что это вообще не строгое математическое определение. В математике определения так не выглядят.
И такого в математике не бывает, что "изначально" какие-то варианты равновозможны, а когда мы зададим какую-то формулу - перестают быть равновозможными.

Фактически, Вы просто сказали, что если события разные, то они независимые (никакого другого смысла в формулировке "определены в разных переменных" я не вижу). Но это просто неверно - события могут быть разными (и обозначаться разными буквами), но при этом не быть независимыми.

BorisK в сообщении #1650256 писал(а):

Значит, Вы согласны с тем, что с помощью исчисления высказываний можно моделировать события, пусть даже (иду на компромисс) в форме высказываний об этих событиях.

Зачем вообще придумывать этот велосипед с квадратными колёсами? Когда есть хорошо работающий математический аппарат теории вероятностей, основанный на теории множеств с мерой.

[epros]

BorisK в сообщении #1650256 писал(а):

Вот мое определение: Независимыми являются события, определенные в разных переменных.

Так не получится.

BorisK в сообщении #1650256 писал(а):

равновозможны все $2^n$ вариантов этих событий.
Есть возражения?

Да, есть. Утверждение о равновозможности всех $2^n$ вариантов событий - это тоже новое условие. Принимая его, Вы фактически определяете уже все вероятности. Зачем Вам тогда задавать какие-то вероятности событий, заданных формулами исчисления высказываний? Все их можно посчитать из одного этого условия.

Весь смысл исчисления высказываний в том, что вместо любой пропозициональной переменной любой формулы можно подставить любое высказывание. Т.е. в формулу с переменными $A$ и $B$ вместо $B$ можно подставить $A$ или $\neg A$. Какая же тогда между ними независимость?

[BorisK]

Mikhail_K в сообщении #1650257 писал(а):

BorisK в сообщении #1650256 писал(а):

Вот мое определение: Независимыми являются события, определенные в разных переменных.
Есть возражения?

Возражения есть.
Начать с того, что это вообще не строгое математическое определение. В математике определения так не выглядят.

Начнем с того, что я не должен доказывать свою правоту в данном случае. Если бы уважаемый Оппонент привел определение математического определения или хотя бы сослался на оное и показал бы, в чем моя ошибка, тогда я бы попытался оправдаться. А тут мне делать нечего.
Хотя из уважения к Оппоненту могу дать такое определение: «Предположим, что события, обозначенные разными переменными, независимы». Но мне оно не очень нравится.

Mikhail_K в сообщении #1650257 писал(а):

И такого в математике не бывает, что "изначально" какие-то варианты равновозможны, а когда мы зададим какую-то формулу - перестают быть равновозможными.

Ой, еще как бывает! Возьмем координатную плоскость, зададим на ней значение неизвестной аналитической функции от двух переменных и значение одной координаты (допустим, $X$. Тогда значение другой координаты может быть любым (т.е. их значения независимы). Если же у нас задана аналитическая функция от двух переменных в виде формулы, то тут наша свобода в выборе значения другой координаты сильно ограничена. Определили формулу, и появилась зависимость между значениями координат.

Mikhail_K в сообщении #1650257 писал(а):

Зачем вообще придумывать этот велосипед с квадратными колёсами? Когда есть хорошо работающий математический аппарат теории вероятностей, основанный на теории множеств с мерой.

Ой, опять что-то не так! Для предлагаемого уважаемым Оппонентом математического аппарата можно поставить такую задачу. Даны два измеримых множества $A$ и $B$. Будем считать, что значения мер этих множеств независимы. Пусть даны меры множеств $A$ и $A \cup B$ (для простоты, если не возражаете, ограничимся мерой в интервале $[0,1]$ или хотя бы конечной мерой). Можно ли однозначно определить меру множества $B$? Здесь ясно, что ответ отрицательный.
А теперь другая задача. Дана пара независимых событий $A$ и $B$, которые могут происходить, либо не происходить. Даны вероятности событий $P(A)$ и $P(A \vee B)$. Можно ли однозначно определить вероятность события $B$?
Задачи, казалось бы, похожие, но во второй задаче ответ положительный, если ее решать методами логико-вероятностного анализа. Так что здесь байка про велосипед не проходит.
Уважаемые Оппоненты! Большая просьба: пожалуйста, проверяйте свои возражения на предмет отсутствия всякого рода … неточностей. А то у меня много времени занимает их выявление. А еще тут у меня другие неотложные дела есть. Заранее благодарен.

[Geen]

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Будем считать, что значения мер этих множеств независимы.

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

событий $A$ и $B$, которые могут происходить, либо не происходить.

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Если же у нас задана аналитическая функция от двух переменных в виде формулы, то тут наша свобода в выборе значения другой координаты сильно ограничена.

-- 16.08.2024, 19:27 --

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Начнем с того, что я не должен доказывать свою правоту в данном случае.

Должны.

[Mikhail_K]

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Начнем с того, что я не должен доказывать свою правоту в данном случае.

Верно, не должны. Нельзя доказать то, чего нет (Вашу правоту).

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Ой, еще как бывает! Возьмем координатную плоскость, зададим на ней значение неизвестной аналитической функции от двух переменных и значение одной координаты (допустим, $X$. Тогда значение другой координаты может быть любым (т.е. их значения независимы). Если же у нас задана аналитическая функция от двух переменных в виде формулы, то тут наша свобода в выборе значения другой координаты сильно ограничена. Определили формулу, и появилась зависимость между значениями координат.

Как рассуждение "на пальцах", это можно понять. Но если переводить это на строгий математический язык, то фактически Вы сказали просто, что если заданы функция $f:\,\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ и числа $x_0,z_0\in\mathbb{R}$, то $\mathbb{R}$ и $\{y\in\mathbb{R}\,|\,f(x_0,y)=z_0\}$ - это, вообще говоря, разные множества. Ну да, разные - и чтобы об этом сказать, вовсе не нужны нестрогие представления типа "определили формулу, и появилась зависимость".

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Для предлагаемого уважаемым Оппонентом математического аппарата можно поставить такую задачу. Даны два измеримых множества $A$ и $B$. Будем считать, что значения мер этих множеств независимы. Пусть даны меры множеств $A$ и $A \cup B$ (для простоты, если не возражаете, ограничимся мерой в интервале $[0,1]$ или хотя бы конечной мерой). Можно ли однозначно определить меру множества $B$? Здесь ясно, что ответ отрицательный.
А теперь другая задача. Дана пара независимых событий $A$ и $B$, которые могут происходить, либо не происходить. Даны вероятности событий $P(A)$ и $P(A \vee B)$. Можно ли однозначно определить вероятность события $B$?
Задачи, казалось бы, похожие, но во второй задаче ответ положительный, если ее решать методами логико-вероятностного анализа. Так что здесь байка про велосипед не проходит.

Важность понятия независимости событий для теории вероятностей я нигде не отрицал. Конечно, понятие независимых событий - одно из ключевых в этой теории и обойтись без него не получится. Но суть в том, что вполне можно и во второй задаче писать $P(A\cup B)$, как и в первой. Желание использовать здесь символы логических операций вместо символов операций над множествами по-своему понятно, но это всё равно не будут те же самые операции, что в логике высказываний.

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

Если бы уважаемый Оппонент

А я вовсе не хочу вступать с Вами в спор. Вижу, что содержательного спора тут всё равно не получится. Ваши рассуждения далеки от современных стандартов математической строгости.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1650321 писал(а):

числа $x_0,z_0\in\mathbb{R}$,

А откуда Вы второе число взяли? - ТС про него не упоминал

[Mikhail_K]

Geen

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1650322 писал(а):

А откуда Вы второе число взяли? - ТС про него не упоминал

Насколько я его понял, он это имеет в виду здесь:

BorisK в сообщении #1650313 писал(а):

зададим на ней значение неизвестной аналитической функции от двух переменных

[Geen]

Mikhail_K

(Оффтоп)

похоже Вы правы

[BorisK]

Geen в сообщении #1650343 писал(а):

Mikhail_K

(Оффтоп)

похоже Вы правы

Хотел бы в качестве возражения уточнить свои слова «Возьмем координатную плоскость, зададим на ней значение неизвестной аналитической функции от двух переменных и значение одной координаты (допустим, $X$). Тогда значение другой координаты может быть любым (т.е. их значения независимы). Если же у нас задана аналитическая функция от двух переменных в виде формулы, то тут наша свобода в выборе значения другой координаты сильно ограничена.»
Уточняю: пусть $z=f(x,y)$ . Тогда слова «зададим на координатной плоскости значение неизвестной аналитической функции от двух переменных и значение одной координаты (допустим, $X$)» означают, что заданы числа $x,z$, но при этом функция $f(x,y)$ может быть любой и соответственно число $y$ тоже может быть любым. Если же функция $f(x,y)$ задана и заданы числа $x,z$, то число $y$ уже не может быть произвольным.

[dgwuqtj]

BorisK в сообщении #1650348 писал(а):

Уточняю: пусть $z=f(x,y)$ . Тогда слова «зададим на координатной плоскости значение неизвестной аналитической функции от двух переменных и значение одной координаты (допустим, $X$)» означают, что заданы числа $x,z$, но при этом функция $f(x,y)$ может быть любой и соответственно число $y$ тоже может быть любым. Если же функция $f(x,y)$ задана и заданы числа $x,z$, то число $y$ уже не может быть произвольным.

В каком смысле $f$ может быть любой, если она уже есть, просто мы её не знаем? Попробуйте всё это формализовать в логике первого порядка, может, что-то прояснится.

[BorisK]

Пока уважаемые Оппоненты не добили меня окончательно и бесповоротно с помощью своих безупречных (как они сами считают) аргументов, предлагаю разрешить нашу дискуссию с помощью вычислительного эксперимента.
Предлагаю такую задачу: одновременно происходят 3 события $A, B$ и $C$ с вероятностями соответственно $\frac 23$, $\frac 16$ и $\frac 37$. Сложное событие выражено логической формулой $Q=A \vee B \vee C$. Необходимо вычислить вероятность события $P(Q)$.
Можно преобразовать формулу $A \vee B \vee C$ в ортогональную ДНФ, но мы поступим проще: найдем отрицание этой формулы
$\neg Q= \neg A \wedge \neg B \wedge \neg C$.
$\neg Q$ легко преобразуется в вероятностный полином
$P(\neg Q)=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))= \frac {20}{126} = \frac {10}{63}$.
Соответственно вероятность события $P(Q)=1-P(Q) = \frac {53}{63}$.
Остается только проверить правильность наших расчетов не с точки зрения ошибки в вычислениях, а с точки зрения аналитики.
А правильность проверяется следующим образом. Пусть события $A$ и $B$ - это бросание игрального кубика. В первом событии успешным считается появление чисел, не превышающих 4, а во втором – числа 5. Третье событие $C$ – это вынимание шара из урны, в которой находится 7 шаров с номерами от 1 до 7. Шар вынимается из урны, затем узнается записанное на нем число и шар кладется обратно в урну. Успешными считаются результаты, когда из урны вынимается шар с номерами, не превышающими 3.
Общее число возможных исходов в таком пространстве – это произведение чисел 6, 6, и 7, т.е. 252. Каждый элементарный исход – это тройка чисел (например, (2, 6, 7)). Все элементарные исходы в данном эксперименте имеют одинаковую вероятность появления, равную $\frac {1}{252}$.
Найдем множество неблагоприятных исходов. Неблагоприятным является исход, в котором каждый элемент в тройке неблагоприятный. Оно вычисляется с помощью декартова произведения
$K= \{5,6\} \times \{1,2,3,4,6\} \times \{4,5,6,7\}$.
Общее количество неблагоприятных исходов равно 40, а вероятность неблагоприятного исхода равна $\frac {40}{252} = \frac {10}{63}$. Соответственно вероятность успешного исхода равна
$1- \frac {10}{63} = \frac {53}{63}$.
Результаты совпали. Здесь могут быть возражения, мол, совпадение случайное или ТС специально подобрал пример, в котором результаты совпадают.
Предлагаю участникам форума найти опровергающий пример. Если такой пример будет найден, то я публично признаю свою ошибку и извинюсь перед оппонентами, а первого участника форума, нашедшего опровергающий пример, ожидает приз 25 000 рублей.
Примечание: при решении обратной задачи возможны исходные данные, которые не имеют решения. Такие примеры нельзя считать опровергающими, потому, что неразрешимость примера можно доказать аналитически с помощью вероятностных полиномов.

[BorisK]

Обратите внимание: во втором примере нет необходимости предполагать независимость событий в разных переменных. Но там нужно одно вполне естественное предположение о равной вероятности элементарных исходов.
Предполагаю, что можно доказать равносильность этих утверждений.

[epros]

BorisK в сообщении #1650408 писал(а):

$P(\neg Q)=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))$

Это означает независимость $A$, $B$ и $C$, о чём в условиях ничего не было сказано.