Обратная задача теории вероятностей

[BorisK]

epros в сообщении #1649851 писал(а):

Причём тут какие-то полиномы? Это элементарная теория вероятностей: $P(A \land B) = P(A) P(B)$ только если $A$ и $B$ независимы, но не в общем случае. Декларируя независимость $A$ и $B$, Вы добавляете ещё одно условие в задачу.

Независимость $A$ и $B$ не новое условие. Здесь применима урновая модель с возвращением, в которой каждой переменной соответствует урна с определенным соотношением черных и белых шаров. Элементарное событие – это одновременное взятие по одному шару из каждой урны. А зависимость между переменными обусловлена тем, что каждая логическая формула – это определенный набор выполняющих подстановок. А выполняющая подстановка соответствует определенной $n$-ке независимых событий в урновой модели. Для этой модели справедливы все законы исчисления высказываний.

[epros]

BorisK в сообщении #1649911 писал(а):

Независимость $A$ и $B$ не новое условие. Здесь применима урновая модель с возвращением, в которой каждой переменной соответствует урна с определенным соотношением черных и белых шаров.

Какая ещё урновая модель? Мы имеем право произвольным образом определять элементарные исходы или нет? Если да, то я определю, что $P(A \land B)=0$, и $A$ с $B$ у Вас не будут независимыми. Например, утверждение $A$: "На игральной кости выпадет не более двойки", а утверждение $B$: "На игральной кости выпадет не менее пятёрки". $P(A)=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{1}{3}$, но $P(A \land B)=0$.

[BorisK]

epros в сообщении #1649943 писал(а):

Какая ещё урновая модель? Мы имеем право произвольным образом определять элементарные исходы или нет? Если да, то я определю, что $P(A \land B)=0$, и $A$ с $B$ у Вас не будут независимыми. Например, утверждение $A$: "На игральной кости выпадет не более двойки", а утверждение $B$: "На игральной кости выпадет не менее пятёрки". $P(A)=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{1}{3}$, но $P(A \land B)=0$.

Вы, видимо, невнимательно читали постановку задачи. Повторяю, речь идет об $n$-ках независимых событий, гле $n$ – число переменных. Для Ваших событий формула $A \land B в моей постановке задачи означает, что бросаются 2 кубика. Для первого ожидается событие $A$: "На игральной кости выпадет не более двойки", а для второго – событие $B$: "На игральной кости выпадет не менее пятёрки". Тогда вероятность наступления события $A \land B равна $P(A \land B)=\frac{1}{9}$, а не 0.

[epros]

BorisK в сообщении #1649972 писал(а):

Повторяю, речь идет об $n$-ках независимых событий, гле $n$ – число переменных.

Ну а я Вам повторю, что каждое утверждение о независимости событий является дополнительным условием. Если Вы его примете, то не сможете уже как угодно определять элементарные исходы. В частности, для элементарного исхода $A \land B$ вероятность придётся определять исходя из вероятностей $A$ и $B$. И неудивительно тогда, если условий хватило для однозначного решения (а то и стало слишком много).

-- Ср авг 14, 2024 16:16:12 --

Кстати, если игральных костей две, то формулировки:

BorisK в сообщении #1649972 писал(а):

Для первого ожидается событие $A$: "На игральной кости выпадет не более двойки", а для второго – событие $B$: "На игральной кости выпадет не менее пятёрки".

не точны. Нужно сказать о какой из костей идёт речь.

[BorisK]

epros в сообщении #1649979 писал(а):

BorisK в сообщении #1649972 писал(а):

Кстати, если игральных костей две, то формулировки:

BorisK в сообщении #1649972 писал(а):

Для первого ожидается событие $A$: "На игральной кости выпадет не более двойки", а для второго – событие $B$: "На игральной кости выпадет не менее пятёрки".

не точны. Нужно сказать о какой из костей идёт речь.

$n$-ка - это упорядоченный набор, так что здесь дополнительного уточнения не требуется.
Ну, хорошо, пусть независимость единичных событий будет дополнительным условием. Только в этой задаче не надо КАК УГОДНО определять «элементарные исходы». Тот, вариант, что Вы предложили в предыдущем письме, для данной задачи не подходит. Данная задача подходит для событий, заданных произвольными формулами исчисления высказываний, в которых «элементарными исходами» являются $n$-ки независимых событий. Поясню это на примерах задачи для 2-х переменных. Формула $A \land B означает, что мы ожидаем появление события $(A,B), формула $A \lor B означает, что мы ожидаем появление одного из трех возможных событий $(A,B), (\neg A,B) или $(A, \neg B), формула $A$ означает, что мы ожидаем появления хотя бы одного из двух событий или $(A,B) или $(A, \neg B) и т.д. Только и всего. Логические формулы просто отображают в сжатом виде наборы ожидаемых «элементарных исходов».
Добавлю также, что эту задачу можно распространить на случай, когда единичные события в $n$-ках имеют более двух состояний. Эта задача уже выходит за рамки формул исчисления высказываний.

[epros]

BorisK в сообщении #1649987 писал(а):

Данная задача подходит для событий, заданных произвольными формулами исчисления высказываний, в которых «элементарными исходами» являются $n$-ки независимых событий.

Я не знаю, что такое $n$-ки независимых событий. В теории вероятностей события могут быть какими угодно, хоть зависимыми, хоть независимыми. Если они независимые, это надо дополнительно оговаривать. А, то что у Вас в логической формуле может быть только $2$ пропозициональные переменные (или $n$ пропозициональных переменных), ничего о их независимости (в смысле теории вероятностей) не говорит. Мы можем рассмотреть все возможные конъюнкции из этих событий и их отрицаний (которых окажется $2^n$ штук) и посчитать их за "элементарные исходы" (потому что для более мелкого разбиения у нас нет дополнительных пропозициональных переменных). "Элементарные исходы" - это термин теории вероятностей, означающий несовместные события, объединениями которых можно составить любое (не элементарное) событие, а не то, что Вы сейчас сказали.

BorisK в сообщении #1649987 писал(а):

Формула $A \land B означает, что мы ожидаем появление события $(A,B), формула $A \lor B означает, что мы ожидаем появление одного из трех возможных событий $(A,B), (\neg A,B) или $(A, \neg B), формула $A$ означает, что мы ожидаем появления хотя бы одного из двух событий или $(A,B) или $(A, \neg B) и т.д. Только и всего. Логические формулы просто отображают в сжатом виде наборы ожидаемых «элементарных исходов».

Ничто из этого не говорит о независимости событий.

BorisK в сообщении #1649987 писал(а):

Добавлю также, что эту задачу можно распространить на случай, когда единичные события в $n$-ках имеют более двух состояний. Эта задача уже выходит за рамки формул исчисления высказываний.

С какой стати? Исчисление высказываний не ограничено никаким конечным количеством пропозициональных переменных.

[BorisK]

epros в сообщении #1649996 писал(а):

Я не знаю, что такое $n$-ки независимых событий.

Это события, которые происходят одновременно, например, бросание $n$ кубиков, или вынимание шаров из $n$ урн, при этом вероятность $n$-ки равна произведению вероятностей единичных событий (т.е. бросаний или выниманий). А $n$-ка - это кортеж, упорядоченный набор.

epros в сообщении #1649996 писал(а):

BorisK в сообщении #1649987 писал(а):

Добавлю также, что эту задачу можно распространить на случай, когда единичные события в $n$-ках имеют более двух состояний. Эта задача уже выходит за рамки формул исчисления высказываний.

С какой стати? Исчисление высказываний не ограничено никаким конечным количеством пропозициональных переменных.

В моих словах речь идет не о количестве переменных (их число не ограничивается), а количестве возможных значений этих переменных (их может быть более двух).
Извините, но мне кажется, что иногда Вы приписываете мне то, чего я не говорил.

[epros]

BorisK в сообщении #1650084 писал(а):

Это события, которые происходят одновременно, например, бросание $n$ кубиков, или вынимание шаров из $n$ урн

В формулах исчисления высказываний об этом не написано.

BorisK в сообщении #1650084 писал(а):

В моих словах речь идет не о количестве переменных (их число не ограничивается), а количестве возможных значений этих переменных (их может быть более двух).

Извините, но мне кажется, что Вы говорите какую-то чушь. У каждой пропозициональной переменной может быть только два значения: истина или ложь. Именно поэтому количество вариантов, которые нужно проверить, равняется $2^n$, где $n$ - количество пропозициональных переменных.

[BorisK]

epros в сообщении #1650089 писал(а):

BorisK в сообщении #1650084 писал(а):

Это события, которые происходят одновременно, например, бросание $n$ кубиков, или вынимание шаров из $n$ урн

В формулах исчисления высказываний об этом не написано.

В формулах исчисления высказываний говорится о выполняющих подстановках, а их можно представить как кортежи значений пропозициональных переменных.

epros в сообщении #1650089 писал(а):

BorisK в сообщении #1650084 писал(а):

BorisK в сообщении #1650084 писал(а):

В моих словах речь идет не о количестве переменных (их число не ограничивается), а количестве возможных значений этих переменных (их может быть более двух).

Извините, но мне кажется, что Вы говорите какую-то чушь. У каждой пропозициональной переменной может быть только два значения: истина или ложь. Именно поэтому количество вариантов, которые нужно проверить, равняется $2^n$, где $n$ - количество пропозициональных переменных.

Вы опять приписываете мне то, что я не говорил. Я ранее говорил об этой модели как о выходе за рамки исчисления высказываний.
В Ваших ответах больше эмоций, чем убедительных аргументов. Интересно, чем это я Вас так разгневал?

[epros]

BorisK в сообщении #1650095 писал(а):

В формулах исчисления высказываний говорится о выполняющих подстановках, а их можно представить как кортежи значений пропозициональных переменных.

Нет, в формулах исчисления высказываний говорится о логических связках между пропозициональными переменными.

BorisK в сообщении #1650095 писал(а):

Вы опять приписываете мне то, что я не говорил.

Вы опять говорите о приписывании мной того, что я не приписывал. Это была Ваша постановка задачи:

BorisK в сообщении #1649122 писал(а):

известна вероятность событий, выраженных формулами исчисления высказываний с пропозициональными переменными $A, B, C, \dots $

Слова "формулы исчисления высказываний" и "пропозициональные переменные" имеют вполне определённый смысл. Как выразить формулами исчисления высказываний "события" (термин теории вероятностей) и что означают "вероятности" этих событий тоже невозможно понять двояко.

Тем не менее, при решении этой задачи Вы заговорили о какой-то "независимости" этих событий, а потом о каких-то "кортежах", которые формулами исчисления высказываний не выражаются, а значит это всё относится к постановке какой-то другой задачи.

[BorisK]

epros в сообщении #1650099 писал(а):

BorisK в сообщении #1650095 писал(а):

В формулах исчисления высказываний говорится о выполняющих подстановках, а их можно представить как кортежи значений пропозициональных переменных.

Нет, в формулах исчисления высказываний говорится о логических связках между пропозициональными переменными.
-------------
Тем не менее, при решении этой задачи Вы заговорили о какой-то "независимости" этих событий, а потом о каких-то "кортежах", которые формулами исчисления высказываний не выражаются, а значит это всё относится к постановке какой-то другой задачи.

Прошу прощения, неточно выразился. О выполняющих подстановках говорится не в формулах исчисления высказываний, а в самом исчислении высказываний. А логическую формулу можно представить как сжатое множество выполняющих подстановок, выраженных в виде кортежей. Причем это можно сделать не только для формул исчисления высказываний, но и для формул исчисления предикатов, если в формуле конечное число переменных, а каждая переменная имеет конечное число значений.
Тогда почему выполняющую подстановку формулы нельзя представить как $n$-ку независимых событий? Или нельзя?
И почему нельзя представить пространство событий как множество выраженных $n$-ками выполняющих подстановок логической формулы и ее отрицания?
Если все это можно и если события в кортежах характеризуются вероятностью, то почему эту модель нельзя применить для вероятностного анализа событий, выраженных логическими формулами?

[epros]

BorisK в сообщении #1650109 писал(а):

О выполняющих подстановках говорится не в формулах исчисления высказываний, а в самом исчислении высказываний.

Ничего подобного. Пропозициональная переменная в формуле исчисления высказываний предполагает подстановку только высказывания, т.е. грамматически законченного предложения, без какого-либо разбиения его на части, которые не являются законченными предложениями. Т.е. в формулу $A \land B$ вместо переменной $A$ можно подставить $A \lor B$ (получится: $(A \lor B) \land B$) или "Волга впадает в Каспийское море", но нельзя подставить "Волга" или "Каспийское море".

Это значит, что утверждение о независимости $A$ и $B$ Вы на языке исчисления высказываний не выразите. Такие утверждения относятся к теории вероятностей, утверждения которой выражаются на языке исчисления предикатов, но никак на языке исчисления высказываний.

[BorisK]

epros в сообщении #1650112 писал(а):

BorisK в сообщении #1650109 писал(а):

О выполняющих подстановках говорится не в формулах исчисления высказываний, а в самом исчислении высказываний.

Ничего подобного. Пропозициональная переменная в формуле исчисления высказываний предполагает подстановку только высказывания, т.е. грамматически законченного предложения, без какого-либо разбиения его на части, которые не являются законченными предложениями. Т.е. в формулу $A \land B$ вместо переменной $A$ можно подставить $A \lor B$ (получится: $(A \lor B) \land B$) или "Волга впадает в Каспийское море", но нельзя подставить "Волга" или "Каспийское море".

Не вижу последовательности в Ваших возражениях. В моей фразе речь идет о выполняющих подстановках, а Вы говорите «ничего подобного». Ожидается, что Вы не согласны с тем, что в исчислении высказываний есть выполняющие подстановки. Но Вы почему-то в качестве возражения даете определение пропозициональной переменной, причем весьма узкое (только высказывания).
Мои возражения: в приложениях исчисления высказываний в качестве пропозициональной переменной можно использовать все, что имеет два несовместимых варианта значений: включено – выключено, исправно - не исправно, из урны вынут белый шар – вынут шар другого цвета и т.д. Из этого следует, что с помощью исчисления высказываний можно моделировать не только высказывания, но и определенные классы событий.
Вы согласны с этим?
В зависимости от Вашего ответа будем двигаться дальше, если Вы не будете возражать.

[epros]

BorisK в сообщении #1650172 писал(а):

Вы согласны с этим?

Нет, не согласен. Я уже объяснил почему: Вместо пропозициональной переменной подставляются только высказывания. Так определено исчисление высказываний, не придумывайте вместо него что-то своё. У высказываний могут быть только два значения истинности: истинно или ложно. Никаких "кортежей независимых величин" вместо пропозициональных переменных подставить нельзя, потому что это не высказывания.

[BorisK]

epros в сообщении #1650240 писал(а):

Нет, не согласен. Я уже объяснил почему: Вместо пропозициональной переменной подставляются только высказывания. Так определено исчисление высказываний, не придумывайте вместо него что-то своё. У высказываний могут быть только два значения истинности: истинно или ложно. Никаких "кортежей независимых величин" вместо пропозициональных переменных подставить нельзя, потому что это не высказывания.

Вот это интересно. Тогда получается, что теорию функций действительного переменного нельзя использовать в задачах, в которых присутствуют массы, скорости и т.д. Но это возражение по аналогии.
А без аналогий получается, что теория переключательных схем, которая основана на законах исчисления высказываний, не имеет права на существование. Не имеют права на существование также многочисленные публикации по вероятностной логике и логико-вероятностному моделированию, в которых предприняты попытки совместить в одной математической модели законы исчисления высказываний и законы теории вероятностей.
Вывод: мой Оппонент не прав, а его возражения, основанные на ошибочной точке зрения, не обоснованы.
Если меня после этого возражения не забанят, то я продолжу свое участие в этом форуме.