Обратная задача теории вероятностей

[BorisK]

epros в сообщении #1650467 писал(а):

BorisK в сообщении #1650408 писал(а):

$P(\neg Q)=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))$

Это означает независимость $A$, $B$ и $C$, о чём в условиях ничего не было сказано.

Спасибо за замечание. Оно помогло мне найти решение (как мне кажется) поставленной Вами проблемы. Далее мой ответ.
В качестве интерпретации логико-вероятностной модели принимается урновая модель (аксиома 1), каждой урне соответствует одна и только одна пропозициональная переменная (аксиома 2).
Почему урновая? Потому что с помощью урны в отличие от кубика или монеты можно выразить любую выраженную рациональным числом вероятность. Если же вероятность задана иррациональным числом (оно может получиться при решении некоторых обратных задач), то для применения урновой модели придется воспользоваться методами приближения. В урновой модели события в каждой урне не зависят от событий в других урнах. Поэтому пропозициональные переменные в данной модели независимы.

-- 18.08.2024, 09:02 --

В качестве добавления могу дать пояснение аксиоме 1. В исчислении высказываний тождественно-истинная формула имеет $2^n$ выполняющих подстановок. Если в урне обозначить успешное событие как true, а неудачу как false, то мы получим тот же самый состав всех возможных событий. Любая логическая формула – это множество выполняющих подстановок. В урновой модели это множество можно считать успешyыми событиями.

-- 18.08.2024, 09:07 --

[epros]

BorisK в сообщении #1650541 писал(а):

каждой урне соответствует одна и только одна пропозициональная переменная

Каждой пропозициональной переменной $A$ может соответствовать только событие, смысл которого в том, что утверждаемое высказыванием $A$ осуществилось. А событие никак не может являться урной, оно может только произойти с урной.

До чего же меня удивляет странный факт, что примерно 80% людей не отличают события от объектов или от действий.

BorisK в сообщении #1650541 писал(а):

Потому что с помощью урны в отличие от кубика или монеты можно выразить любую выраженную рациональным числом вероятность.

Совершенно неважно какое событие моделирует высказывание (пропозициональная переменная), его вероятность может быть любым действительным числом от нуля до единицы, хоть рациональным, хоть иррациональным. Можете спокойно предположить, что вероятность выпадения орлом несимметричной монеты равна $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Колмогоровское определение вероятности это позволяет.

BorisK в сообщении #1650541 писал(а):

Поэтому пропозициональные переменные в данной модели независимы.

Пропозициональные переменные не могут быть независимыми ни в какой модели, потому что они принадлежат к модели исчисления высказываний, в которой нет независимости. А вот события в вероятностной модели могут быть независимыми, если мы это явно заложим в постановку задачи.

[BorisK]

epros в сообщении #1650546 писал(а):

А событие никак не может являться урной, оно может только произойти с урной.

Вы опять начали руководствоваться принципом «В полемике все средства хороши!»!!!
В моей цитате не сказано, что событие является урной. это Вы переиначили мое высказывание. В нем говорится «…каждой урне соответствует одна и только одна пропозициональная переменная». Что тут неправильного? Переменная имеет два значения true или false, в урне тоже могут быть два события, которые можно обозначить как true (успешное) или false (неудача). Убедительно прошу Вас еще раз, давайте не будем тратить время на обсуждение мнимых клопов!!!

epros в сообщении #1650546 писал(а):

Совершенно неважно какое событие моделирует высказывание (пропозициональная переменная), его вероятность может быть любым действительным числом от нуля до единицы, хоть рациональным, хоть иррациональным.

Опять словили мнимого клопа! В моей цитате говорится о вероятностях в урновой модели, а не о вероятностях вообще.

epros в сообщении #1650546 писал(а):

Пропозициональные переменные не могут быть независимыми ни в какой модели, потому что они принадлежат к модели исчисления высказываний, в которой нет независимости. А вот события в вероятностной модели могут быть независимыми, если мы это явно заложим в постановку задачи.

Здесь я признаю свою оговорку. Мне надо было сказать не «пропозициональные переменные в данной модели независимы», а «пропозициональные переменные в интерпретации данной модели независимы». И для решения задач используется интерпретация, что не запрещено в математической логике.

[epros]

BorisK в сообщении #1650553 писал(а):

в урне тоже могут быть два события, которые можно обозначить как true (успешное) или false (неудача)

С урной может произойти огромное множество всевозможных событий. Чтобы было понятно, о каком именно из возможных событий с урной Вы ведёте речь, говоря о "true (успешное) или false (неудача)", нужно сформулировать это грамматически законченным утвердительным предложением, например, вот так: "Из урны вынули белый шар". В этом суть исчисления высказываний: Оно не различает "урны", "вынимания" и "шары" с их цветами, а понимает только грамматически законченные высказывания.

BorisK в сообщении #1650553 писал(а):

В моей цитате говорится о вероятностях в урновой модели, а не о вероятностях вообще.

Вы не описали в своей постановке задачи никакой "урновой модели". Вы только сказали, что формулам исчисления высказываний приписываются вероятности. Ещё раз повторяю, что исчисление высказываний не может различать какие-то "урновые модели", поскольку имеет дело только с высказываниями.

BorisK в сообщении #1650553 писал(а):

«пропозициональные переменные в интерпретации данной модели независимы»

Пропозициональные переменные в интерпретации вероятностной модели - это и есть события. Как я уже говорил, вероятностная модель Колмогорова включает "пространство событий". В данном случае под "событием" понимается то, что некое высказывание оказалось истинным (или "осуществилось в реальности", если Вам так больше нравится). Поэтому когда мы в этой модели говорим о "независимости", то речь идёт о независимости событий, которая выражается известной формулой теории вероятностей.

И я Вам уже неоднократно говорил, что данная формула в качестве условия нигде в постановке Вашей задачи не прозвучала.

[BorisK]

Ладно, постараюсь пояснить свою точку зрения поточнее.
Вероятность успешного события в урне $\frac {k_i}{m_i}$ задана количеством белых $k_i$ и черных $m_i-k_i$ шаров. Успешное событие (true) означает «вынут белый шар». Каждой урне в интерпретации соответствует одна логическая переменная в формуле исчисления высказываний.

epros в сообщении #1650555 писал(а):

Ещё раз повторяю, что исчисление высказываний не может различать какие-то "урновые модели", поскольку имеет дело только с высказываниями.

Еще раз повторяю, что у меня речь идет не об урновых моделях в исчислении высказываний, а об урновых моделях в интерпретации формул исчисления высказываний.

epros в сообщении #1650555 писал(а):

И я Вам уже неоднократно говорил, что данная формула в качестве условия нигде в постановке Вашей задачи не прозвучала.

Понятно, что событие в каждой урне не зависит от событий в других урнах. Но почему вероятность элементарного исхода в $n$ урнах должна выражаться в виде произведения вероятностей событий в отдельных урнах? Именно это говорит о независимомти событий с точки зрения теории вероятностей.
Для упрощения ограничимся $n=3$. Вероятности событий true в урнах равны соответственно $\frac {k_1}{m_1}, \frac {k_2}{m_2}, \frac {k_3}{m_3}$. Соответственно в урнах содержится множества $S_1,S_2,S_3$ шаров, при этом меры этих множеств $\mu$ равны соответственно $\mu(S_1)=m_1,\mu(S_2)=m_2, \mu(S_3)=m_3$. А количество всех возможных сочетаний шаров в тройках испытаний равно декартову произведению (ДП)
$C=S_1 \times S_2 \times S_3$. Соответственно
$\mu (C) = \mu (S_1) \bullet \mu (S_2) \bullet \mu(S_3) =m_1 \bullet m_2 \bullet m_3$.
Рассмотрим, сколько элементов из ДП $C$ соответствует определенному элементарному исходу, например, $C_1$=(true, true, false). Ясно, что их количество равно произведению $\mu(C_1)= k_1 \bullet k_2 \bullet (m_3-k_3)$. Тогда можно рассчитать вероятность элементарного исхода
$P(C_1)= \frac { \mu(C_1)}{\mu (C)} = \frac { k_1 \bullet k_2 \bullet (m_3-k_3)}{ m_1 \bullet m_2 \bullet m_3} = \frac {k_1}{m_1} \bullet \frac {k_2}{m_2} \bullet \frac {m_3-k_3}{m_3}$.
Отсюда ясно, что вероятность элементарного исхода равна произведению вероятностей соответствующих событий в урнах. Все это можно изложить и для общего случая.

[epros]

BorisK в сообщении #1650600 писал(а):

Вероятность успешного события в урне $\frac {k_i}{m_i}$ задана количеством белых $k_i$ и черных $m_i-k_i$ шаров. Успешное событие (true) означает «вынут белый шар». Каждой урне в интерпретации соответствует одна логическая переменная в формуле исчисления высказываний.

Можете даже добавить в урну красных, синих, жёлтых и зелёных шаров и сделать их количество бесконечным. Ваша постановка задачи от этого никак не изменится, раз в качестве высказывания $A$ Вы рассматриваете: "Из урны вынули белый шар". Потому что в общем случае вероятность этого события может быть любой в пределах от 0 до 1 и событие может находиться в любых отношениях зависимости или независимости с другими событиями.

BorisK в сообщении #1650600 писал(а):

Еще раз повторяю, что у меня речь идет не об урновых моделях в исчислении высказываний, а об урновых моделях в интерпретации формул исчисления высказываний.

Нет никаких "урновых моделей" в интерпретации формул исчисления высказываний, пока Вы явно не определите в каких отношениях зависимости или независимости находятся те или иные события. Но Вы об этом в постановке задачи ничего не говорите.

BorisK в сообщении #1650600 писал(а):

Понятно, что событие в каждой урне не зависит от событий в других урнах.

Это не может быть понятно, пока явно не сформулировано как условие. Потому что сколько бы Вы ни разводили философию на тему того, что урны разные, может оказаться, например, так, что в момент доставания белого шара из первой урны шары во второй урне магически перемешиваются таким образом, что белые оказываются наверху.

Ёлы палы, просто примите независимость определённых событий как отдельное условие в задаче и не выносите мозг.

[nnosipov]

epros в сообщении #1650607 писал(а):

Ёлы палы, просто примите независимость определённых событий как отдельное условие в задаче и не выносите мозг.

Присоединяюсь. Пожалейте окружающих!

[BorisK]

nnosipov в сообщении #1650608 писал(а):

epros в сообщении #1650607 писал(а):

Ёлы палы, просто примите независимость определённых событий как отдельное условие в задаче и не выносите мозг.

Присоединяюсь. Пожалейте окружающих!

Разумеется, я принимаю «независимость определенных событий» как условие задачи. Я только хотел показать, что это условие равносильно свойству, которое, как мне представляется, присутствует в урновой модели по умолчанию:
В любом эксперименте, в каждой урне, содержащей $m$ шаров, вероятность извлечения любого шара равна $\frac 1m$.
Каюсь в том, что не сформулировал четко это условие раньше. Но в свое оправдание скажу, что когда речь идет о чем-то новом (в данном случае имеется в виду интерпретация формул исчисления высказываний с помощью урновой модели), то трудно все предусмотреть сразу.

[epros]

Ну вот просто имейте в виду, что по умолчанию независимость не возникнет. Даже если бы Вы описали "урновую модель" на языке исчисления предикатов, независимость событий Вам пришлось бы декларировать отдельно.

[BorisK]

epros в сообщении #1650655 писал(а):

Ну вот просто имейте в виду, что по умолчанию независимость не возникнет. Даже если бы Вы описали "урновую модель" на языке исчисления предикатов, независимость событий Вам пришлось бы декларировать отдельно.

Простите, но я не понимаю, что Вы этим хотите сказать!!!!
Давайте я сформулирую другими словами то, что сказал ранее.
В урновой модели, предназначенной для интерпретации формул исчисления высказываний, принимается следующее условие:
В любом эксперименте, в каждой урне, содержащей $m$ шаров, вероятность извлечения любого шара равна $\frac 1m$.
Предполагается, что это условие равносильно свойству независимости событий в разных урнах.

[epros]

BorisK в сообщении #1650656 писал(а):

Предполагается, что это условие равносильно свойству независимости событий в разных урнах.

Свойство независимости $A$ и $B$ означает $P(A \land B) = P(A) P(B)$. Как бы ни были определены $P(A)$ и $P(B)$, автоматически нужное $P(A \land B)$ из них не возникнет, ибо его всегда можно определить отдельно. Ну, за исключением случая, когда вероятность одного из событий равна нулю или единице.

-- Пн авг 19, 2024 11:30:43 --

Ну и есть один специальный случай, называемый классическое вероятностное пространство, это когда все элементарные исходы равновероятны. Т.е. $P(A \land B)=P(\neg A \land B)=P(A \land \neg B)=P(\neg A \land \neg B)$. Но этот случай для Вашей задачи мало интересен, ибо хотя он и означает $P(A \land B) = P(A) P(B)$, но там вероятности всех событий уже определены и дополнительными условиями определять нечего.

[BorisK]

epros в сообщении #1650658 писал(а):

BorisK в сообщении #1650656 писал(а):

Предполагается, что это условие равносильно свойству независимости событий в разных урнах.

Как бы ни были определены $P(A)$ и $P(B)$, автоматически нужное $P(A \land B)$ из них не возникнет

А вот и нет! Что такое интерпретация формулы $A \wedge B$? Это когда в обеих урнах $U_A$ и $U_B$ появляются события true (например, извлечен белый шар). Тогда, если заданы определенные вероятности успешных событий, то мы, используя вторую формулировку задачи в предложенном мною ранее вычислительном эксперименте, получаем $P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ без каких-либо дополнительных условий (кроме равновероятности извлечения шаров из урн).

-- 19.08.2024, 10:42 --

Вообще-то я в своей формулировке использовал термин «предполагается», а Вам бы в своем возражении не помешало бы обосновать невозможность этого утверждения.

[epros]

BorisK в сообщении #1650663 писал(а):

получаем $P(A \wedge B)=P(A)P(B)$ без каких-либо дополнительных условий (кроме равновероятности извлечения шаров из урн).

Допустим, что вероятность извлечения белого шара из первой урны (если не глядеть на вторую урну) равна 40%, а вероятность извлечения белого шара из второй урны (если не глядеть на первую урну) равна 60%. Докажите, что вероятность одновременного извлечения белых шаров из двух этих урн равна 24%.

[BorisK]

epros в сообщении #1650664 писал(а):

Допустим, что вероятность извлечения белого шара из первой урны (если не глядеть на вторую урну) равна 40%, а вероятность извлечения белого шара из второй урны (если не глядеть на первую урну) равна 60%. Докажите, что вероятность одновременного извлечения белых шаров из двух этих урн равна 24%.

С Вами полезно было бы совместную работу сделать. Тогда точно статья получилась бы без огрехов!
Доказываю. Ваше условие означает, что в первой урне вероятность true равна $\frac 25$, а во второй - $\frac 35$. Для удобства шары пронумеруем 1,2,3,4,5. Тогда true в первой урне – извлечение шара с номером не более 2, (т.е. множество $S_1=\{1,2 \}$), во второй – не более 3 (т.е. множество $S_2=\{1,2, 3 \}$).
Множество всех возможных пар шаров в экспериментах равно декартову произведению (ДП)
$U=\{1,2,3,4,5 \} \times \{1,2,3,4,5 \}$,
а множество сочетаний всех успешных исходов в двух урнах равно ДП
$S_1 \times S_2 = \{1,2 \} \times \{1,2,3 \}$.
Итого получается, что всех возможных пар событий 25, а всех пар успешных событий 6. Чтобы получить вероятность события (true, true) (что соответствует формуле $A \wedge B$), нужно найти частное от деления мощности второго ДП на мощность первого (правомерность такой операции обусловлена предположением о равновероятности извлечений каждого шара в урнах). Получим $\frac 6{25}$. Осталось только доказать, что эта вероятность равносильна 24%.
И, по-моему, не надо доказывать, что вероятность любой пары в ДП $U$ равна $\frac 1{25}$. Или Вы можете это опровергнуть?

[epros]

BorisK в сообщении #1650670 писал(а):

(правомерность такой операции обусловлена предположением о равновероятности извлечений каждого шара в урнах)

Вам нужны равновероятности извлечения не шаров, а пар шаров из пары урн. Откуда Вы эту равновероятность взяли? Я Вам "забыл" сказать, но урны устроены так, что вторая является "зеркальным" отображением первой, т.е. когда из первой извлекается белый шар, то из второй извлекается чёрный, а когда из первой извлекается чёрный шар, то из второй извлекается белый. Это значит, что $P(A \land B)=0$.

Если Вы думаете, что такого не бывает, то зря. Почитайте про парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена. Если пара частиц образуются в результате распада одной частицы с нулевой проекцией спина, то суммарная проекция их спинов равна нулю, при этом проекция спина одной частицы может с равной вероятностью оказаться равной $+\frac{1}{2}$ или $-\frac{1}{2}$. Это значит, что если два удалённых друг от друга наблюдателя измеряют проекции спина каждый своей частицы, событие $A$: "Первый наблюдатель получил $+\frac{1}{2}$", а событие $B$: "Второй наблюдатель получил $+\frac{1}{2}$", то $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$, но $P(A \land B)=0$.