Пока уважаемые Оппоненты не добили меня окончательно и бесповоротно с помощью своих безупречных (как они сами считают) аргументов, предлагаю разрешить нашу дискуссию с помощью вычислительного эксперимента.
Предлагаю такую задачу: одновременно происходят 3 события
![$A, B$ $A, B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/e/b9ebfc5473fcab62450e73397e4d098b82.png)
и
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
с вероятностями соответственно
![$\frac 23$ $\frac 23$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/4/da419eb01f83034ab97e6b29d30baffc82.png)
,
![$\frac 16$ $\frac 16$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/d/26d92bbfafdd2e5d3a677b3205bd78aa82.png)
и
![$\frac 37$ $\frac 37$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/0/c70d12c46dcf36fcaba56c6c8c870a6382.png)
. Сложное событие выражено логической формулой
![$Q=A \vee B \vee C$ $Q=A \vee B \vee C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/d/d3d32248eddd1102ddf55fba21b4f5b082.png)
. Необходимо вычислить вероятность события
![$P(Q)$ $P(Q)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/c/62c5de02f0e44945e0fa108cb72feb7b82.png)
.
Можно преобразовать формулу
![$A \vee B \vee C$ $A \vee B \vee C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/a/04a5801dedf829020bb32d2ae98dd1ea82.png)
в ортогональную ДНФ, но мы поступим проще: найдем отрицание этой формулы
![$\neg Q= \neg A \wedge \neg B \wedge \neg C$ $\neg Q= \neg A \wedge \neg B \wedge \neg C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/3/1f3545c059019c2a42c78144145ea90d82.png)
.
![$\neg Q$ $\neg Q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/4/a2495aa3fa3e3464bae7f2fc161647c882.png)
легко преобразуется в вероятностный полином
![$P(\neg Q)=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))= \frac {20}{126} = \frac {10}{63}$ $P(\neg Q)=(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))= \frac {20}{126} = \frac {10}{63}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/e/2fe36b175bad79f4e48b9a6f7b7028bf82.png)
.
Соответственно вероятность события
![$P(Q)=1-P(Q) = \frac {53}{63}$ $P(Q)=1-P(Q) = \frac {53}{63}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/0/ab0e675f69428e64d687e679dc47bbf982.png)
.
Остается только проверить правильность наших расчетов не с точки зрения ошибки в вычислениях, а с точки зрения аналитики.
А правильность проверяется следующим образом. Пусть события
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
- это бросание игрального кубика. В первом событии успешным считается появление чисел, не превышающих 4, а во втором – числа 5. Третье событие
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
– это вынимание шара из урны, в которой находится 7 шаров с номерами от 1 до 7. Шар вынимается из урны, затем узнается записанное на нем число и шар кладется обратно в урну. Успешными считаются результаты, когда из урны вынимается шар с номерами, не превышающими 3.
Общее число возможных исходов в таком пространстве – это произведение чисел 6, 6, и 7, т.е. 252. Каждый элементарный исход – это тройка чисел (например, (2, 6, 7)). Все элементарные исходы в данном эксперименте имеют одинаковую вероятность появления, равную
![$\frac {1}{252}$ $\frac {1}{252}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/7/fc7f3395badd297e14b448976b8754d582.png)
.
Найдем множество неблагоприятных исходов. Неблагоприятным является исход, в котором каждый элемент в тройке неблагоприятный. Оно вычисляется с помощью декартова произведения
![$K= \{5,6\} \times \{1,2,3,4,6\} \times \{4,5,6,7\}$ $K= \{5,6\} \times \{1,2,3,4,6\} \times \{4,5,6,7\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/2/b42ed839ba78931c73486354d2180ae582.png)
.
Общее количество неблагоприятных исходов равно 40, а вероятность неблагоприятного исхода равна
![$\frac {40}{252} = \frac {10}{63}$ $\frac {40}{252} = \frac {10}{63}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcf92448b7f19762bf943b6861508a1582.png)
. Соответственно вероятность успешного исхода равна
![$1- \frac {10}{63} = \frac {53}{63}$ $1- \frac {10}{63} = \frac {53}{63}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/3/00358ecd0411b05211f1cdf5be60b65d82.png)
.
Результаты совпали. Здесь могут быть возражения, мол, совпадение случайное или ТС специально подобрал пример, в котором результаты совпадают.
Предлагаю участникам форума найти опровергающий пример. Если такой пример будет найден, то я публично признаю свою ошибку и извинюсь перед оппонентами, а первого участника форума, нашедшего опровергающий пример, ожидает приз 25 000 рублей.
Примечание: при решении обратной задачи возможны исходные данные, которые не имеют решения. Такие примеры нельзя считать опровергающими, потому, что неразрешимость примера можно доказать аналитически с помощью вероятностных полиномов.