Сохранение энергии в ОТО, гравитационные волны и черные дыры

[epros]

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

$e^{\underline{0}}_i e^{\underline{0}}^i = \eta^{\underline{0}}^{\underline{0}} = \operatorname{const}$

А у вас норма вашего нулевого репера не постоянна. Ваши часы сломаны.

Где Вы здесь увидели "норму нулевого репера"? Здесь произведение разных объектов, нормы у обоих "не постоянны". И это означает не "сломанность часов", а известную зависимость хода времени от гравитационного потенциала в статической синхронной СО. В поле Земли проверялось экспериментально посредством атомных часов.

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

Глобальной трёхмерной гиперповерхности, по которой можно было бы проинтегрировать объём, нет. В общем случае.

Угу, типа: "Объёмов в мире нет, суммарных энергий тоже, даже суммарных количеств молекул нет, да и вообще ничего нет". Замечательно.

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

Например, считать объём разрезанного тора. Разрезанный тонкий тор вполне синхронизируем.

Вы считаете не то, что просили. У Вас объёмы элементов тора зависят от системного времени. Вас спрашивают, каков суммарный объём тора в заданный момент системного времени, а Вы в ответ даёте сумму объёмов, посчитанных в какие-то разные моменты времени.

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

Расстояние по формуле (84.7) из ЛЛ2 и есть интервал. До точки на мировой линии B с временной координатой $x^0+\frac{dx^{0(1)}+dx^{0(2)}}2$

Ещё раз: У нас есть заданная 3-мерная гиперповерхность. Мы хотим определить "расстояния" между её точками. Нам не нужны расстояния между точкой $A$ этой гиперповерхности и какой-то точкой $B$, которая не лежит на этой гиперповерхности.

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

После выбора мировой линии все расстояния определяются метрикой четрырехмерия интервалами в пространстве одновремённости, синхронизированном с рассматриваемым событием и, значит, ортогональном выбранной проходящей через это событие мировой линии.

Не так. После выбора семейства не пересекающихся временно подобных мировых линий (это называется "телом отсчёта") локальные расстояния между ними определяются радарным методом, что выражается формулой (84,7) из ЛЛ2. Глобальное расстояние, т.е. длина некоторой конечной кривой, определяется интегрированием локальных расстояний по этой прямой. Когда мы выбираем 3-мерную гиперповерхность (она совсем не обязана быть ортогональной к указанным мировым линиям), то длина любой лежащей на этой гиперповерхности кривой определяется точно так же.

Понятие "системы отсчёта" включает ещё кое-что, поэтому оно содержательнее понятия "тела отсчёта", т.е. для одного тела отсчёта можно определить разные системы отсчёта.

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

Но что любопытно: если умножить увеличившуюся энергию пыли на правку гравитационного красного смещения, опять получится $M$.

Это бессмысленные вычисления.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Хаотическое манипулирование символами редко приводит к существенным результатам.

[realeugene]

epros в сообщении #1649737 писал(а):

Где Вы здесь увидели "норму нулевого репера"? Здесь произведение разных объектов, нормы у обоих "не постоянны".

Может так будет понятнее?

$e^{\underline{0}}_i e^{\underline{0}}^i = g^{ij} e^{\underline{0}}_i e^{\underline{0}}_j$

epros в сообщении #1649737 писал(а):

Угу, типа: "Объёмов в мире нет, суммарных энергий тоже, даже суммарных количеств молекул нет, да и вообще ничего нет". Замечательно.

В общем случае примерно так, да. Вы про космологическое расширение Вселенной что-нибудь слышали? Но там хотя бы глобальное время выделено, глобально расширяющееся пространство ему ортогонально, и время в нём синхронизируемо почти точно почти везде. Но рассмотреть из системы отсчёта летящей Земли, и приехали.

epros в сообщении #1649737 писал(а):

У Вас объёмы элементов тора зависят от системного времени.

О, ускоряемый тор ещё круче. Там и пространство-время кривое, а не только в спираль завитое. Чёрт знает, что такое его "объём". Видимо, вы режете тор на малые куски и сшиваете их пространства с несовпадающими краями. Какова площадь лопастей вентилятора?

У вас попытка объяснить непонятное ещё более непонятным.

epros в сообщении #1649737 писал(а):

Ещё раз: У нас есть заданная 3-мерная гиперповерхность.

Нет. В параграфе 84 задана метрика 4-мерия и выделенный пучок мировых линий вдоль координаты $x^0$. Считается пространственная метрика пространства тела, движущегося вдоль этих мировых линий, при этом, в качестве пространственных координат выбраны координаты $x^\alpha$. Гиперповерхность не задана, она вычисляется в ходе вычисления пространственной метрики. Как ортогональная $x^0$.

epros в сообщении #1649737 писал(а):

Ещё раз: У нас есть заданная 3-мерная гиперповерхность. Мы хотим определить "расстояния" между её точками. Нам не нужны расстояния между точкой $A$ этой гиперповерхности и какой-то точкой $B$, которая не лежит на этой гиперповерхности.

Линейки ортогональны часам. В тетрадах с галилеевой матрицей. Вы не можете выбирать реперные орты в одной тетраде полностью независимо.

Если у вас задана трёхмерная гиперповерхность, а не мировая линия, то все расстояния на гиперповерхности равны интервалу. А вот ось времени перпендикулярна этой пространственной гиперповерхности. И в недиагональной метрике наклонена относительно $x^0$.

Метрика - это скалярное произведение. Она для каждой гиперповерхности фиксирует её нормаль. Вы не можете произвольный 4-вектор объявить нормалью.

epros в сообщении #1649737 писал(а):

локальные расстояния между ними определяются радарным методом, что выражается формулой (84,7) из ЛЛ2

Вы так и не посчитали и не убедились, что "радарный метод" даёт просто интервал в гиперповерхности одновременности. Иначе и быть не может, потому что "радарный метод" это то же самое, что "эйнштейновская процедура синхронизации".

epros в сообщении #1649737 писал(а):

Понятие "системы отсчёта" включает ещё кое-что, поэтому оно содержательнее понятия "тела отсчёта", т.е. для одного тела отсчёта можно определить разные системы отсчёта.

Кажется, вас кто-то сильно запутал. Что же она включает "ещё что-то"?

-- 13.08.2024, 14:24 --

epros в сообщении #1649737 писал(а):

realeugene в сообщении #1649725 писал(а):

Но что любопытно: если умножить увеличившуюся энергию пыли на правку гравитационного красного смещения, опять получится $M$.

Это бессмысленные вычисления.

Это совпадение не случайно.

Сбросим с космической станции электрон и позитрон. В лаборатории на поверхности Земли аннигилируем их с испусканием гамма-кванта. Этот гамма-квант направим обратно на космическую станцию, заставив там его распасться на электрон с позитроном. Энергия которых должна быть равна энергии исходных электрона с позитроном. Ничего не изменилось - энергия должна сохраниться.

Но энергия гамма-кванта изменилась из-за гравитационного красного смещения. Как и кинетическая энергия электрона и позитрона при падении на поверхность Земли. Уменьшение энергии гамма-кванта из-за гравитационного красного смещения равно возросшей кинетической энергии электрона с позитроном.

[realeugene]

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Это совпадение не случайно.

Вопрос: всегда ли при переносе любого тела по его геодезической в координатах Шварцшильда относительное изменение нулевой компоненты его энергии-импульса зависит только от гравитационных потенциалов в начальной и конечной точке, но не от летящего тела? Понятно, что это считается, но мне сейчас даже приступать к расчётам страшно.

Впрочем, если бы это было не так, то здравствуй вечный двигатель. Ввиду обратимости времени. И это касается любой энергии. Так что, пересчитывать энергию снизу в энергию сверху через красное смещение осмысленно. Таким образом пересчитанная, она во внешнем Шварцшильде сохраняется, несмотря на отсутствие энергии у гравитационного поля.

[Утундрий]

В общем, эта музыка будет вечной, поэтому я просто положу это здесь. Величина с которой так носится epros — правильная, но только считать её можно не во всяких координатах. А в каких можно, он никогда не догадается, потому что этот ответ (п.м.с.м.) далеко за пределами простого угадывания.

[epros]

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Может так будет понятнее?

$e^{\underline{0}}_i e^{\underline{0}}^i = g^{ij} e^{\underline{0}}_i e^{\underline{0}}_j$

И что? Каким образом указанный мной нулевой ковектор тетрады нарушает это условие?

Кстати, у ЛЛ2 $\eta_{\underline{a} \underline{b}}$ - это просто произвольная симметричная матрица с сигнатурой $+ - - -$, которую только "наиболее естественно" выбирать в галилеевой форме.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

В общем случае примерно так, да.

Жжжжесть. Т.е. количество молекул в атмосфере Земли уже не посчитать, ибо они - в гравитационном поле Земли? Да ещё и вращаются вместе с ней...

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Но рассмотреть из системы отсчёта летящей Земли, и приехали.

Куда приехали?

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

О, ускоряемый тор ещё круче. Там и пространство-время кривое, а не только в спираль завитое.

Чё Вы несёте? Пространство-время Минковского, по определению.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

В параграфе 84 задана метрика 4-мерия и выделенный пучок мировых линий вдоль координаты $x^0$.

Да.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Считается пространственная метрика пространства тела, движущегося вдоль этих мировых линий, при этом, в качестве пространственных координат выбраны координаты $x^\alpha$.

Да. Причём расстояния определяются радарным методом - читать об этом с начала страницы 300 до формулы (84,7).

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Гиперповерхность не задана, она вычисляется в ходе вычисления пространственной метрики. Как ортогональная $x^0$.

Гиперповерность не задана и не вычисляется. Про неё вообще ни слова не сказано. По простой причине: Её можно выбрать совершенно любой.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Линейки ортогональны часам. В тетрадах с галилеевой матрицей. Вы не можете выбирать реперные орты в одной тетраде полностью независимо.

Я что-то говорил о "полной независимости" векторов тетрады? Нет. Я говорил о том, чтобы выбирать тетраду таким образом, чтобы свёртка вектора $dx^i$ с нулевым ковектором тетрады давала промежуток времени по местным неподвижным часам, а свёртка его с остальными ковекторами тетрады давала расстояния в заданных направлениях, измеренные (радарным методом) относительно СО покоя этих часов.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

"радарный метод" даёт просто интервал в гиперповерхности одновременности

Вы так и не поняли, что никакой гиперповерхности, ортогональной всем мировым линиям точек тела отсчёта, в общем случае не существует. Даже Ваша попытка посчитать объём тора, выбрав "разорванную" гиперповерхность, не принесёт успеха. Знаете почему? Потому что не существует гиперповерхности конечного размера, которая была бы ортогональна всем проходящим через неё мировым линиям точек вращающегося тела отсчёта.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

"радарный метод" это то же самое, что "эйнштейновская процедура синхронизации".

Это родственные вещи, но нет. Эйнштейновская процедура синхронизации определяет только момент времени по местным часам, в который произошло отражение радарного сигнала. А радарный метод определяет ещё и расстояние до точки отражения, которое было в этот момент.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Что же она включает "ещё что-то"?

Пока воздержусь говорить. И так троллинга слишком много.

realeugene в сообщении #1649742 писал(а):

Это совпадение не случайно.

Конечно не случайно. Если бы Вы могли посчитать (или хотя бы могли без троллинга воспринять расчёт) в неинерциальной СО таких вещей, как "ускорение свободного падения" и "длина кривой", то могли бы продемонстрировать, что в синхронной статической системе отсчёта интеграл от оного ускорения свободного падения по длине траектории движущегося тела:
1) Зависит от начальной и конечной точек, но не от траектории и скорости движения тела по ней. Это значит, что этот интеграл имеет смысл "разности гравитационных потенциалов" начальной и конечной точек.
2) Выражается разностью логарифмов от нулевой компоненты метрики в начальной и конечной точках. А поскольку нулевая компонента метрики выражает отношение между местным и системным временем, нетрудно догадаться, что сия разность гравитационных потенциалов связана с отношением промежутков времени по местным часам в начальной и конечной точках (если "одновременность" понимать в смысле системного времени). Пресловутое "гравитационное красное смещение" как раз и есть результат того, что эти промежутки местного времени не равны.

Так что то, что кинетическая энергия, приобретённая падающей пылинкой (которая равна разности её гравитационных потенциалов), как-то соответствует величине красного смещения, не должно нас особо удивлять.

-- Вт авг 13, 2024 18:24:05 --

Утундрий в сообщении #1649753 писал(а):

Величина с которой так носится epros

Мммм, с какой величиной я ношусь?

[Утундрий]

epros в сообщении #1649776 писал(а):

с какой величиной я ношусь?

С $tt$-проекцией ТЭИ на монаду.

[realeugene]

epros в сообщении #1649416 писал(а):

realeugene в сообщении #1649391 писал(а):

А, кстати, в тетраде орты нормированы на метрические метры?

Каким образом $e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ может оказаться нормированным?

Вот эти ваши часы сломаны. Чтобы этот репер был нормированным, он должен быть $e^{\underline{0}}_i=(1/\sqrt{g^{00}},0,0,0)$

Но этот репер не ортогонален плоскости с постоянной координатой $x^0$. Так что, он не показывает собственной время частицы, покоящейся в этом пространстве.

-- 13.08.2024, 17:46 --

epros в сообщении #1649776 писал(а):

Вы так и не поняли, что никакой гиперповерхности, ортогональной всем мировым линиям точек тела отсчёта, в общем случае не существует.

Это вы забыли, что ОТО и протяженных жестких тел не существует.

-- 13.08.2024, 17:58 --

epros в сообщении #1649776 писал(а):

Это родственные вещи, но нет. Эйнштейновская процедура синхронизации определяет только момент времени по местным часам, в который произошло отражение радарного сигнала. А радарный метод определяет ещё и расстояние до точки отражения, которое было в этот момент.

Которое равно интервалу между событиями на мировых линиях локатора и отражателя в этот общий момент времени. То есть расстоянию на трёхмерной гиперплоскости, проведенной через эти два синхронизированных таким образом события.

$$dx^{0(s)}=\frac{-1}{g_{00}}g_{0\alpha}dx^\alpha$$

- это уравнение ортогональной к оси $x^0$ трёхмерной гиперплоскости, получаемой по процедуре синхронизации Эйнштейна. Индуцированная метрикой четырехмерия пространственная метрика в ней есть (84.7)

[Утундрий]

Кстати, заодно вопрос: epros, чего вы пытаетесь добиться от realeugene? Очевидно же, что пациент глубоко травмирован общедоступностью информации, непойми-разбери где оную вылавливает и практически в не переваренном виде сюда вываливает. Вам по вкусу блевотина?

[epros]

epros в сообщении #1649416 писал(а):

Каким образом $e^{\underline{0}}_i=(\sqrt{g_{00}},0,0,0)$ может оказаться нормированным?

realeugene в сообщении #1649783 писал(а):

Вот эти ваши часы сломаны. Чтобы этот репер был нормированным, он должен быть $e^{\underline{0}}_i=(1/\sqrt{g^{00}},0,0,0)$

С чего бы это? Поднятие тензорного индекса даст: $e^{\underline{0} i}=(\frac{1}{\sqrt{g_{00}}},0,0,0)$, так что свёртка $e^{\underline{0} i} e^{\underline{0}}_i=1$.

realeugene в сообщении #1649783 писал(а):

Но этот репер не ортогонален плоскости с постоянной координатой $x^0$.

А зачем ему быть ортогональным? Он направлен в направлении мировых линий точек тела отсчёта, этого достаточно.

realeugene в сообщении #1649783 писал(а):

Так что, он не показывает собственной время частицы, покоящейся в этом пространстве.

Не он, а свёртка его с вектором $dx^i$ показывает не собственное, а время по местным часам при перемещения частицы на этот $dx^i$. Если же частица неподвижна относительно данной СО, т.е. $dx^1=dx^2=dx^3=0$, то эта свёртка тоже окажется равной $\sqrt{g_{00}} dx^0$, что в данном случае как раз и является промежутком собственного времени частицы.

realeugene в сообщении #1649783 писал(а):

Это вы забыли, что ОТО и протяженных жестких тел не существует.

Разве я что-то говорил о жёсткости тел?

realeugene в сообщении #1649783 писал(а):

Которое равно интервалу между событиями на мировых линиях локатора и отражателя в этот общий момент времени. То есть расстоянию на трёхмерной гиперплоскости, проведенной через эти два синхронизированных таким образом события.

Ещё раз напоминаю, что трёхмерную гиперповерхность конечного размера, ортогональную всему семейству мировых линий, провести в общем случае нельзя. Так что это дополнительное построение имеет смысл только для бесконечно малого куска гиперповерхности. Поэтому лучше зря не напрягайтесь, а просто примите к сведению, что формула (84,7) из ЛЛ2 определяет пространственную метрику на любой выбранной Вами гиперповерхности.

-- Вт авг 13, 2024 19:54:05 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1649792 писал(а):

Кстати, заодно вопрос: epros, чего вы пытаетесь добиться от realeugene? Очевидно же, что пациент глубоко травмирован общедоступностью информации, непойми-разбери где оную вылавливает и практически в не переваренном виде сюда вываливает. Вам по вкусу блевотина?

Мне интересны люди со ... хм ... странными понятиями в голове. Мне любопытно, как они (понятия) там оказались и почему не были уничтожены здравым смыслом.

-- Вт авг 13, 2024 20:06:24 --

epros в сообщении #1649798 писал(а):

Поднятие тензорного индекса даст: $e^{\underline{0} i}=(\frac{1}{\sqrt{g_{00}}},0,0,0)$

А если и не даст из-за несинхронности координат, то что?

[realeugene]

epros в сообщении #1649798 писал(а):

А если и не даст из-за несинхронности координат, то что?

Часы сломаются.

Кажется, одну свою ошибку вы, наконец-то, поняли?

[Ende]

Утундрий, выбирайте выражения.

[realeugene]

epros в сообщении #1649798 писал(а):

Разве я что-то говорил о жёсткости тел?

Вы же не предлагаете измерять длину резиновым метром?

-- 13.08.2024, 23:54 --

epros в сообщении #1649798 писал(а):

Поэтому лучше зря не напрягайтесь, а просто примите к сведению, что формула (84,7) из ЛЛ2 определяет пространственную метрику на любой выбранной Вами гиперповерхности.

Не понимаю вас. Вы таки настаиваете на применимость этой метрики к конечной гиперповерхности? Я готов применять эту метрику только к бесконечно малой окрестности события.

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1649663 писал(а):

Запись, в которой множитель $\sqrt{-g}$ относят к форме объёма, обусловлена попытками сделать из формы объёма скаляр (или ковектор, если есть индекс). Такой подход имеет право на существование, но он плох тем, что не работает (по очевидным причинам) в неметрических пространствах.

Мы уважаемый живём в мире в котором таки существуют линейки, да и в названии темы имеется слово ОТО -теории построенной на псевдонимановом многообразии -тоьесть изначально с метрикой. А теперь я вам покажу не на абстрактном примере неведомых многообразий и гиперповерхностей в абсттрактном вакууме неметрическихмногообразй. Берём обыкновенную плоскость с декартовыми координатами x и y и по вашему рецепту строим форму объема $dx\wedge dy$.А у меня есть знакомые геодезисты которые мне говорят это вздор настоящие джедая меряют расстояние и углы. И я не могу им отказать в некоторой мере рациональности. Ну хорошо я говорю им. Давайте перейдем к кполярным координатам $r, \varphi$. И тогда мера объема по вашему рецепту $dr\wedge d\varphi$...Не находите ничего странного... У них даже физические размерности не совпадают. И чему нас там учит семья и школа...А учит она следующему что форма объема в полярных координатах $ r dr\wedge d\varphi$. Это уважаемый у вас от того что вы каждый раз рассматриваете самый простой случай из СТОс его псевдоевклидовым ПВ. А в ОТО с исправленными координатами все не так. Правда зачем-то вы постоянно тянет тетрады.

[Утундрий]

Ух ты, надо же! Оказывается, якобиан нужно добавлять в форму объёма при замене координат. Кто бы мог подумать...