Необходимость производной и понимание её полезности

[mihaild]

strimax в сообщении #1649052 писал(а):

По Вашему случаю с метром по земле будет всего 5 секунд

Неправильно. Напишите сначала точную формулу, а потом найдите получившееся значение с точностью до двух цифр после запятой (можно на калькуляторе).

[stalvoron]

mihaild в сообщении #1649096 писал(а):

Неправильно. Напишите сначала точную формулу, а потом найдите получившееся значение с точностью до двух цифр после запятой

. Уважаемый,mihaild, поскольку ТС несколько замешкался , Вы не возражаете, если я попробую решить задачу про крокодила- математика и зебру- тормоза, потому что мне хочется задать вопрос по теме ТС ну и для морального права т.с. Also? $t(x)=\frac x 5+ \frac{20-\sqrt{x^2-36}} 4$. Находим производную и приравниваем к 0. $ t \prime(x) =\frac 1 5-\frac 1 4 \frac{x} {\sqrt{x^2-36}} $, тогда $ x=8 $, ну а дальше, вроде получил минимальное время - 4.1 секунда. Правильно- неправильно решил, Вы меня покритикуйте, в любом случае мне понравилось решать,но! Вот есть такая задача, а какова логика (или предпосылка) выбора метода решения?Это же Вы, прямо, указали как решать.

(Оффтоп)

Я решаю инженерную задачу- соединить детали. Могу выбрать сварку , склейку, заклепки , болты и т.д. Но эти методы я знаю - специально для узкого спектра задач.

Т.е. правильно ли я понимаю, что оперирование методом дифференциации требует уже специфического багажа знаний? Т.е. Если преподаватель говорит : - " А теперь продифференцируем", то либо студент должен! знать, "почему", либо преподаватель должен объяснить - "почему"? Ситуация описанная ТС мне знакома, когда на лекциях преподаватель "шпарит", а ты, как попугай, это всё запоминаешь, и только на пенсии через n- времени задумываешься - а почему собственно? А в школе было ещё смешней, когда ставили не "4", нет, а " 3" с формулировкой :"Ты правильно решил, но сложно, надо было короче". А вот как выбирать оптимум, и по какому критерию, вот этому ( по крайней мере на моём пути), не встречались такие лекции. Или как выше заметили, я тоже не там где надо учился, гм-гм? Вспомнилось из "За миллиард лет до конца..." АБС, "... Может конформные отображения попробовать..."( лень искать дословно, если что). Как математики выбирают( ищут методы) Наитием, помноженным на знания? Извините за много букв, если что.

[dgwuqtj]

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

Как математики выбирают( ищут методы) Наитием, помноженным на знания?

Давайте на это я попробую ответить, всё равно у каждого математика будет своё мнение и можно будет сравнить. Для стандартных задач типа минимизации гладкой функции есть стандартные же методы, на них буквально дрессируют в школе и вузе. Это не обязательно самые эффективные методы, но достаточные для практики. И, конечно, они часто автоматизированы.

В нестандартных случаях приходится придумывать решение, это творческий процесс, основанный на опыте доказательств разных теорем (в том числе учебных) и на известных результатах конкретной области. Бывает так, что одну и ту же задачу решают по много раз, постоянно оптимизируя решение. В качестве примера можно глянуть теорию алгоритмов, типа задач сортировки или поиска кратчайшего пути в графе.

[miflin]

Хотя и не ко мне обращались...

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

$t(x)=\frac x 5+ \frac{20-\sqrt{x^2-36}} 4$.

Уравнение составлено неверно.

[Mikhail_K]

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

Вот есть такая задача, а какова логика (или предпосылка) выбора метода решения?

Ну, производная нужна прежде всего там, где:
- речь идёт про скорость какого-нибудь неравномерного процесса (потому что скорость изменения величины и есть её производная), или про быстроту изменения какой-нибудь величины в разных точках пространства;
- или нужно что-то минимизировать или максимизировать (как в этой задаче);
- или речь идёт про касательную, кривизну, отклонение от чего-то известного с каким-нибудь малым параметром, или другие понятия, связанные с производной.

Когда изучается производная, изучаются и примеры её применения. Что производную можно применять для нахождения точек экстремума (т.е. для максимизации или минимизации интересующих нас величин), изучается даже в школе.

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

$t(x)=\frac x 5+ \frac{20-\sqrt{x^2-36}} 4$

Вот как у Вас $\frac{x}{5}$ получилось, например? Это слагаемое - время движения по первому участку траектории или что? Тогда какова длина этого участка? А $\sqrt{x^2-36}$ это что?

[mihaild]

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

$t(x)=\frac x 5+ \frac{20-\sqrt{x^2-36}} 4$

Как Вы это получили?
Лучше такие вещи сразу спрашивать с рассуждением. Если есть ошибка, то можно будет указать где, и заодно исключается вариант что Вы случайно неправильными в общем случае рассуждениями получили правильный ответ.

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

Как математики выбирают( ищут методы) Наитием, помноженным на знания?

Если бы существовал известный всегда работающий метод выбора, то в математике не было бы открытых вопросов :)
Да, для многих задач методы уже придумали. Потом постепенно придумывают методы для новых задач, либо с нуля, либо, чаще, комбинацией и на основе имеющихся.
Например (исторически где-то могу провраться, но на идейном уровне сойдет) Архимед для вычисления объемов каждый раз проводил рассуждения про исчерпания, подбирал конкретное исчерпание и т.д. И для него вычисление объема каждого тела было творческой задачей. А потом появилось интегральное исчисление, и для вычисления объема никакого творчества уже не нужно, это чисто техническая задача.

[waxtep]

Кажется, не очень удачный пример, с крокодилом, - без производной ясно, что ему выгодно до самого конца оставаться в родной стихии. Вот если бы его скорость в воде была меньше, чем на суше, тут бы мы ох как подифференцировали!

-- 10.08.2024, 22:07 --

А, ой, тут так и предполагается, что на суше он быстрее, чем в воде. Странно, но тогда миль пардон. Можно дифференцировать!

[sergey zhukov]

stalvoron в сообщении #1649255 писал(а):

Ситуация описанная ТС мне знакома, когда на лекциях преподаватель "шпарит", а ты, как попугай, это всё запоминаешь

Ну это совершенно нормально. Он все знает заранее, а ты - нет. И производная тут вообще ничем особенным не выделяется. Такой же математический прием, как и все остальные. Чем чаще пользуешься, тем меньше вопросов. Понимание и привычка - это, по моему, одно и то же.

[ozheredov]

sergey zhukov в сообщении #1649304 писал(а):

Понимание и привычка - это, по моему, одно и то же.

При условии, что множество "привыкнутых" ситуаций почти полностью накрывает множество всех взможных.

[stalvoron]

dgwuqtj, спасибо.

Mikhail_K в сообщении #1649270 писал(а):

stalvoron в сообщении #1649255

писал(а):
$t(x)=\frac x 5+ \frac{20-\sqrt{x^2-36}} 4$ Вот как у Вас $\frac{x}{5}$ получилось, например? Это слагаемое - время движения по первому участку траектории или что? Тогда какова длина этого участка? А $\sqrt{x^2-36}$ это что?

. Попробую словами про свои рассуждения. Как было посоветовано выше надо прописать функцию времени которая зависит от переменной ( путём по реке, до выхода на берег). Мне представляется ,что это сумма из времени для пути по воде ( собственно-х) -со скоростью 5, и времени ползения по суше, параллельно реке т.е для остатка от 20 минус (из теоремы Пифагора для которого путь по воде (х)- гипотенуза, а ширина реки катет-6 со скоростью 4. Я правильно интерпретирую условие задачи? Тут надо остановится и послушать. Я правильно рассуждаю?

[Mikhail_K]

stalvoron в сообщении #1649307 писал(а):

Мне представляется ,что это сумма из времени для пути по воде <...> - со скоростью 5, и времени ползания по суше, параллельно реке

Это верно.

stalvoron в сообщении #1649307 писал(а):

из времени для пути по воде ( собственно-х)

Почему путь по воде равен $x$? Посмотрите внимательно на картинку. $x$ - это катет, а путь по воде - гипотенуза.

[waxtep]

Mikhail_K в сообщении #1649310 писал(а):

Это верно

Тоже не совсем: по условию, скорость в воде 4, а на суше - 5. Сам об это споткнулся

[Mikhail_K]

waxtep в сообщении #1649313 писал(а):

Тоже не совсем: по условию, скорость в воде 4, а на суше - 5.

Ага, точно.

[sergey zhukov]

(Оффтоп)

stalvoron в сообщении #1649307 писал(а):

времени ползения по суше...

Цитата:

Кроме того, напомнил я, в случае утонутия коменданта задача все равно останется невыполненной...

[stalvoron]

mihaild в сообщении #1649285 писал(а):

Например (исторически где-то могу провраться, но на идейном уровне сойдет) Архимед для вычисления объемов каждый раз проводил рассуждения про исчерпания, подбирал конкретное исчерпание и т.д.

Вот тут то и отличие и проблема для "не архимедов". То что одарённый человек (с высокими способностями) в творчестве творит - это одно, но в преподавании, без объяснения , массе "средних умов" (сами понимаете ВУЗов много, "индиго" на всех не хватает) получается, что выпускник не поняв "почему так", запомнит " само это" но быстро забудет. В общем,спасибо за комментарий всем . Я представил себе.

sergey zhukov в сообщении #1649304 писал(а):

Ну это совершенно нормально. Он все знает заранее, а ты - нет.

. Студенты такое положение вещей давно подозревали Сейчас буду в задаче разбираться.

-- 10.08.2024, 23:40 --

Mikhail_K в сообщении #1649310 писал(а):

из времени для пути по воде ( собственно-х) Почему путь по воде равен $x$? Посмотрите внимательно на картинку. $x$ - это катет, а путь по воде - гипотенуза.

А-а! Ну тогда это всё меняет и как по мне, упрощает даже. Но я, почему то, всё таки, картинку по другому воспринимаю (не спорю, автору виднее). Ну да не важно. Принцип то понятен, а условия могут быть и разными , в том числе и скорости. Крокодил в воде чешет проворней, чем по суше. Я не пригляделся, принял, что 5, по воде , а 4, по суше. Извините. Условие ещё посмотрю.