Корень из двух не от противного иррациональность

[dgwuqtj]

Gagarin1968 в сообщении #1647409 писал(а):

В любом элементарном доказательстве иррациональности $\sqrt {2}$ используется неявно основная теорема арифметики

В тех доказательствах, которые я видел, она вообще не используется. Нужны только элементарные свойства чётности и метод бесконечного спуска, он же математическая индукция (чтобы любое рациональное число можно было представить в виде дроби, у которой числитель или знаменатель нечётен). Даже для существования наибольшего общего делителя и его линейного представления эта теорема не нужна.

[Cnupm]

Утундрий в сообщении #1647404 писал(а):

Cnupm в сообщении #1647390 писал(а):

Бесконечная цепная дробь может сходиться к рациональному числу?

Бесконечная цепная дробь это одно число. Как число может куда-то сходиться или не сходиться? Число, если оно число, сидит на месте и никуда не ходит.

Процесс вычисления всё большего числа членов цепной дроби сходится к этому числу.
Не получается. Корень из двух это 1,1,1,…. Два это 3,3,3,….

[drzewo]

Cnupm
скажите а откуда задача? просто интересно

[maxmatem]

https://math.stackexchange.com/questions/5/how-can-you-prove-that-the-square-root-of-two-is-irrational

Тут как раз обсуждались вопросы доказательства без метода от противного.

[Утундрий]

Cnupm в сообщении #1647412 писал(а):

Процесс вычисления всё большего числа членов цепной дроби

Что это, откуда выползло и какое отношение имеет к задаче?

[Gagarin1968]

dgwuqtj в сообщении #1647411 писал(а):

В тех доказательствах, которые я видел, основная теорема арифметики вообще не используется

dgwuqtj
Ну как же не используется?
Вот возьмите простейшее школьное доказательство иррациональности — доказательство через разложение на множители.
Применим доказательство от противного: допустим, $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное.
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
$\sqrt{2} = \dfrac{m}{n} \Rightarrow 2 = \dfrac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$.

В каноническое разложение $m^2$ число $2$ входит в чётной степени, а в разложение $2n^2$ — в нечётной, поэтому равенство $m^2=2n^2$ невозможно.
Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
Выделенная жирным строка содержит косвенную отсылку к основной теореме арифметики, потому что не будь разложение на множители единственным, это доказательство не проходило бы.

[мат-ламер]

Cnupm в сообщении #1647383 писал(а):

Корень из двух не от противного

А в чём смысл задания? Зачем придумывать себе дополнительные трудности? Тут без них хотя бы что-то понять.

-- Пт июл 26, 2024 16:25:42 --

Cnupm в сообщении #1647396 писал(а):

Число 2 представляется бесконечной цепной дробью как корень из 4.

Как я прочёл по ссылке в SE, есть разница между простой (в числителе сугубо единицы) цепной дробью и обобщённой цепной дробью.

[epros]

Gagarin1968 в сообщении #1647424 писал(а):

Так как разложение $m^2$ на простые множители содержит $2$ в чётной степени, а $2n^2$ — в нечётной

Вообще-то можно было сказать, что из $m$ и $n$ не более одного числа чётное, ибо в противном случае двойки сократились бы.

А вообще в чём проблема доказать по индукции, что существуют натуральное $i$ и нечётное $k$ такие, что $n=k \times 2^i$?

[vpb]

Gagarin1968 в сообщении #1647424 писал(а):

Ну как же не используется?

Молча. Допустим, $\sqrt2=m/n$. Возьмем представление в таком виде, в котором $n$ -- наименьшее возможное. Если оба $m$ и $n$ четные, то можно сократить на два (и этот факт не зависит от основной теоремы арифметики). Итак, одно из них нечетное. Заметим, что квадрат нечетного числа --- нечетное (ибо $(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1$). Поскольку $m^2=2n^2$, то $m^2$ четное, значит $m$ четное, $m=2m_1$, откуда $2m_1^2=n^2$. Получился спуск.

-- 26.07.2024, 15:48 --

А вообще данная задача (корень из двух "не от противного") есть очередной пример трансанальной тонзиллэктомии. (Другими примерами являются 1001-е доказательство теоремы Пифагора, или же десятое доказательство основной теоремы алгебры. )

[Gagarin1968]

vpb в сообщении #1647430 писал(а):

А вообще данная задача есть очередной пример трансанальной тонзиллэктомии. (Другими примерами являются 1001-е доказательство теоремы Пифагора, или же десятое доказательство основной теоремы алгебры. )

vpb
По-Вашему Леонард Эйлер и Теренс Тао тоже замешаны в этом, когда придумывали свои доказательства теоремы Евклида о бесконечности последовательности простых чисел?

[vpb]

vpb в сообщении #1647430 писал(а):

Получился спуск.

Да и не спуск, а просто противоречие, т.к. оба $m$ и $n$ оказались таки четные.

-- 26.07.2024, 16:22 --

Gagarin1968 в сообщении #1647436 писал(а):

По-Вашему Леонард Эйлер и Теренс Тао тоже замешаны в этом

Да. А что ?

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1647409 писал(а):

В любом элементарном доказательстве иррациональности $\sqrt {2}$ используется неявно основная теорема арифметики

Пусть $2n^2 = m^2$.
Пусть $m=2m_1 + 1$ нечетное. Тогда $2n^2 = 4m_1^2 + 4m_1 + 1$ и $1$ делится $2$, что неверно.
Поэтому $m=2m_1$ четное.

Где здесь была основная теорема арифметики?

[Gagarin1968]

TOTAL в сообщении #1647443 писал(а):

Пусть $2n^2 = m^2$.

TOTAL
Вот этот момент. Разве Вы не оговариваете взаимную простоту $m $ и $n$?

[mihaild]

Gagarin1968 в сообщении #1647445 писал(а):

Разве Вы не оговариваете взаимную простоту $m $ и $n$?

Тут достаточно взять минимальное $n$, из этого уже будет следовать взаимная простота без всяких разложений (а дробь с минимальным числителем существует из-за вполне упорядоченности $\mathbb N$).

[Cnupm]

drzewo в сообщении #1647413 писал(а):

Cnupm
скажите а откуда задача? просто интересно

Задумываюсь о простых вещах и прихожу к выводу что всё не так просто. Мне в принципе не нравится что в математике столько доказательств от противного. Если доказываем от противного, значит внутреннюю сущность доказываемого не понимаем.