В тех доказательствах, которые я видел, основная теорема арифметики вообще не используется
dgwuqtjНу как же не используется?
Вот возьмите простейшее школьное доказательство иррациональности — доказательство через разложение на множители.
Применим доказательство от противного: допустим,
рационален, то есть представляется в виде дроби
, где
— целое, а
— натуральное.
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.
В каноническое разложение число входит в чётной степени, а в разложение — в нечётной, поэтому равенство невозможно.Значит, исходное предположение было неверным, и
— иррациональное число.
Выделенная жирным строка содержит косвенную отсылку к основной теореме арифметики, потому что не будь разложение на множители единственным, это доказательство не проходило бы.