2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Gagarin1968 в сообщении #1647445 писал(а):
TOTAL в сообщении #1647443 писал(а):
Пусть $2n^2 = m^2$.
TOTAL
Вот этот момент. Разве Вы не оговариваете взаимную простоту $m $ и $n$?
Нет, не оговариваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 18:29 


26/07/24

46
maxmatem в сообщении #1647415 писал(а):
https://math.stackexchange.com/questions/5/how-can-you-prove-that-the-square-root-of-two-is-irrational

Тут как раз обсуждались вопросы доказательства без метода от противного.


Там кстати пытаются доказать цепной дробью. И пишут контрпример в виде разложения 2 в бесконечную цепную дробь. На что кто-то отвечает, что корень из 2 раскладывается в правильную цепную дробь, а 2 в неправильную. В чём принципиальная разница?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 18:40 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Cnupm в сообщении #1647447 писал(а):
Мне в принципе не нравится что в математике столько доказательств от противного.

Иррациональность $\sqrt 2$ всё-таки не из таких. Можете прочитать какие-нибудь книжки по конструктивной (интуиционистской) математике, там доказательств от противного нет, но что-то становится сложнее даже на уровне определений. А что за "внутренняя сущность" у доказательств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 19:05 


26/07/24

46
dgwuqtj
Раскладывая в десятичную дробь, узнать что-то об этой записи. Не просто доказать, что число иррационально, а объяснить почему оно иррационально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
Cnupm в сообщении #1647460 писал(а):
Не просто доказать, что число иррационально, а объяснить почему оно иррационально

Заинтриговали. А как могло бы выглядеть такое объяснение, хотя бы примерно?
Ну вот, например, у нас есть Северное полушарие Земли и Южное. Новая Зеландия находится в Южном. Как можно _объяснить_ сей факт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 19:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Cnupm в сообщении #1647460 писал(а):
Раскладывая в десятичную дробь, узнать что-то об этой записи.

Казалось бы, при чём тут десятичные дроби... Вы хоты бы ассоциативность умножения умеете доказывать через умножение в столбик?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Cnupm в сообщении #1647460 писал(а):
Не просто доказать, что число иррационально, а объяснить почему оно иррационально.
Объяснение: иррационально по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Не понимаю. Если периодичность непрерывной дроби годится за доказательство, то раскладывая величину обратную дробной части, получаем
$1)\ \sqrt{2}=1+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{1}=1+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.$
$2)\ \dfrac{1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.$
$3)\ \dfrac{1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{1}=2+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}.$
$4)\ \dfrac{1+\sqrt{2}}{1}=2+...$
Третий шаг полностью повторяет второй, четвертый — третий и т.д. То есть дробь периодична с периодом $(2).$ Никаких рассуждений типа "предположим существует ... тогда приходим к противречию" тут не задйствовано. Чего же боле? Бесконечная периодическая цепная дробь есть квадратичная иррациональность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:13 


26/07/24

46
dgwuqtj
Ассоциативность умножения думаю надо доказывать так
n=1+1+...+1 (n раз)
m=1+1+...+1 (m раз)
k=1+1+...+1 (n раз)

n*m=(1+1+...+1) + (1+1+...+1) + ... (1+1+...+1) (m раз)
______n раз__________n раз_________n раз___________

и т.д.

Представили всё ввиде суммы единичек, доказали и ассоциативность и дистрибутивность и коммутативность.

-- 26.07.2024, 20:13 --

А есть ли доказательство ассоциативности ОТ ПРОТИВНОГО?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:21 


21/12/16
771
Cnupm в сообщении #1647447 писал(а):
Если доказываем от противного, значит внутреннюю сущность доказываемого не понимаем.

Не понимаем -- это когда не можем доказать или опровергнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Cnupm в сообщении #1647474 писал(а):
А есть ли доказательство ассоциативности ОТ ПРОТИВНОГО?

Я уже писал, что у всего есть такие доказательства.

А про десятичную систему счисления я так и не понял. Вы намекаете, что хотите использовать вещественные числа в формулировке, то есть взять готовое число $\sqrt 2$ и доказывать иррациональность. Иррациональность вы хотите определять через систему счисления. А умножение вещественных чисел вы тогда как определяете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:41 


26/07/24

46
dgwuqtj
Да, иррациональное число определим как имеющее непериодическую десятичную запись. Рациональное число определим как имеющее конечную или периодическую десятичную запись. Из этого докажем обычное определение рационального числа как представимого в виде a/b.

-- 26.07.2024, 20:43 --

dgwuqtj в сообщении #1647477 писал(а):
А умножение вещественных чисел вы тогда как определяете?

Всё же идёт от натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:47 
Заслуженный участник


07/08/23
1097
Cnupm в сообщении #1647480 писал(а):
Всё же идёт от натуральных чисел.

А поподробнее? Я не умею делать это конструктивно. Вычитать вещественные числа в десятичном представлении тоже не умею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:54 


07/06/17
1125
Десятичную сс можно использовать.
Если $n^2=2m^2$, то в 10сс у $m^2$ последняя цифра может быть только $0, 1, 4, 5, 6, 9$.
Но тогда у $n^2$ последняя цифра будет соответственно $0, 2, 8, 0, 2, 8$.
Отбрасывая невозможные для квадрата в 10сс окончания, получаем, что $m$ и $n$ кратны $5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 20:58 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Цитата:
Задумываюсь о простых вещах и прихожу к выводу что всё не так просто. Мне в принципе не нравится что в математике столько доказательств от противного. Если доказываем от противного, значит внутреннюю сущность доказываемого не понимаем.



(Оффтоп)

не согласен. совершенно нормальный метод.
Лобачевский с помощью этого метода геометрию новую открыл, а Вы говорите -сущность доказываемого не понимаем.....


(Оффтоп)

Вообще данные темы с вопросами как можно доказать не используя то то вполне сходятся к смешному ...
Можешь рубить дрова топором двумя руками? -да
а одной рукой ? -да
а ногой ? -да, но не удобно ....
мораль- не усложняйте жизнь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group