В тех доказательствах, которые я видел, основная теорема арифметики вообще не используется
dgwuqtjНу как же не используется?
Вот возьмите простейшее школьное доказательство иррациональности — доказательство через разложение на множители.
Применим доказательство от противного: допустим,

рационален, то есть представляется в виде дроби

, где

— целое, а

— натуральное.
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.
В каноническое разложение
число
входит в чётной степени, а в разложение
— в нечётной, поэтому равенство
невозможно.Значит, исходное предположение было неверным, и

— иррациональное число.
Выделенная жирным строка содержит косвенную отсылку к основной теореме арифметики, потому что не будь разложение на множители единственным, это доказательство не проходило бы.