2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 00:37 


26/07/24

46
Как доказать? Разложение в бесконечную цепную дробь доказывает иррациональность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Любое рациональное число раскладывается в конечную цепную дробь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 10:04 


26/07/24

46
Бесконечная цепная дробь может сходиться к рациональному числу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Cnupm, как Вы понимаете доказательство "не от противного"? Утверждение об иррациональности является утверждением о том, что число НЕ представляется конечной рациональной дробью, т.е. оно содержит отрицание. А любое отрицание доказывается только сведением к противоречию соответствующего утверждения. Тем не менее, это не называется доказательством "от противного".

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 11:30 
Аватара пользователя


01/11/14
1896
Principality of Galilee
.
epros в сообщении #1647393 писал(а):
Cnupm, как Вы понимаете доказательство "не от противного"? Утверждение об иррациональности является утверждением о том, что число НЕ представляется конечной рациональной дробью, т.е. оно содержит отрицание.
epros
А вообще-то интересно.
ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не используя закон исключённого третьего.
А действительно, как?
С первого взгляда кажется, что непериодичность десятичной дроби прямым доказательством служить не может, ибо не избежать ссылки на периодичность рационального. Получается, что ссылка на определение рационального по любому необходима, а периодичность рационального - автоматически следует из определения.
Кстати, в книге Джона Дербишира "Простая одержимость" (изд. 2010 г.) на стр. 64 приводится доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не использующее основную теорему арифметики, но всё равно от противного.
А ведь наверное, возможно прямое доказательство.
Я ещё не знаю, как оформить эту идею, но примерно так: последовательность рациональных дробей, приближающих значение $\sqrt{2}$ с возрастающей точностью. Что-то типа цепных дробей.
Я имею в виду вот что. Для рационального числа, начиная с какого-то шага, невозможно улучшить его рациональное приближение, т.к. приближение рационального числа — само это число.
Поэтому, если удастся доказать, что всякое рациональное приближение для $\sqrt{2}$ на любом шаге можно улучшить, это и будет прямым доказательством его иррациональности. Да ещё и конструктивным к тому же!
Или я неправ?
Повторяю, это всего лишь идея. В книгах вроде ничего подобного не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 11:31 


26/07/24

46
epros

Доказать, что десятичная дробь будет непериодичной. Число 2 представляется бесконечной цепной дробью как корень из 4. Так что бесконечность цепной дроби не значит отсутствие периода дроби десятичной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 11:35 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Gagarin1968 в сообщении #1647395 писал(а):
ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не используя закон исключённого третьего.

Так обычное доказательство его и так не использует, оно вполне себе конструктивное (и не от противного). Используется такой факт: любое рациональное число представимо в виде $\frac p q$, где $\mathbb Z p + \mathbb Z q = \mathbb Z$.

-- 26.07.2024, 11:38 --

epros в сообщении #1647393 писал(а):
любое отрицание доказывается только сведением к противоречию соответствующего утверждения.

Или от противного. Есть же теорема, что всё можно доказать от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 11:52 
Аватара пользователя


01/11/14
1896
Principality of Galilee
dgwuqtj в сообщении #1647397 писал(а):
Так обычное доказательство его и так не использует, оно вполне себе конструктивное (и не от противного)
dgwuqtj
Ну как же не использует. Даже в школьном учебние сначала предполагается, что $\sqrt{2}$ рационален, т.е. представим в виде $\dfrac {m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 11:57 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Gagarin1968 в сообщении #1647399 писал(а):
сначала предполагается, что $\sqrt{2}$ рационален, т.е. представим в виде $\dfrac {m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное.

Так там и доказывается, что $\neg \exists m n \ldots$. Такие вещи доказываются так: предполагаем, что числа существуют, и выводим противоречие. Это не доказательство от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
dgwuqtj в сообщении #1647397 писал(а):
epros в сообщении #1647393 писал(а):
любое отрицание доказывается только сведением к противоречию соответствующего утверждения.

Или от противного. Есть же теорема, что всё можно доказать от противного.

Так любое доказательство от противного и есть сведение отрицания к противоречию. Просто таким образом конструктивно доказывается двойное отрицание, которое потом неконструктивно снимается. Если мы доказываем отрицание, то сводить утверждение к противоречию - это ещё не называется доказательством от противного. Хотя тут вопрос терминологический, поэтому я и спрашиваю топикстартера.

-- Пт июл 26, 2024 13:03:12 --

И он пока не ответил

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Cnupm в сообщении #1647390 писал(а):
Бесконечная цепная дробь может сходиться к рациональному числу?
Бесконечная цепная дробь это одно число. Как число может куда-то сходиться или не сходиться? Число, если оно число, сидит на месте и никуда не ходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Gagarin1968 в сообщении #1647395 писал(а):
Поэтому, если удастся доказать, что всякое рациональное приближение для $\sqrt{2}$ на любом шаге можно улучшить, это и будет прямым доказательством его иррациональности. Да ещё и конструктивным к тому же!

Рациональное приближение к любому числу (рациональному или иррациональному) можно улучшить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
epros в сообщении #1647402 писал(а):
И он пока не ответил

Gagarin1968 в сообщении #1647395 писал(а):
ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не используя закон исключённого третьего.

Я так подозреваю, что топикстартер просто прочитал доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ в Википедии, где сказано, что это якобы "доказательство от противного". Но оно как раз закон исключённого третьего не использует и в этом смысле не является доказательством от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 13:34 
Аватара пользователя


01/11/14
1896
Principality of Galilee
epros в сообщении #1647407 писал(а):
Я так подозреваю, что топикстартер просто прочитал доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ в Википедии, где сказано, что это якобы "доказательство от противного".
epros
Я всё-таки думаю, что ТС вот что имел в виду. В любом элементарном доказательстве иррациональности $\sqrt {2}$ используется неявно основная теорема арифметики, доказательство которой, кстати, совсем не так банально. И ТС подразумевал доказательство без использования основной теоремы арифметики, которая и предполагает доказательство от противного.
Но как можно говорить о взаимной простоте без опоры на однозначность разложения на простые множители?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из двух не от противного иррациональность
Сообщение26.07.2024, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Gagarin1968, доказательство однозначной разложимости числа на простые множители может быть и не банально, но вполне конструктивно, т.е. на закон исключённого третьего не опирается. Грубо говоря, можно просто написать алгоритм, который это делает для любого числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group