кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1646525 писал(а):

gris
Вот пробная часть статистики, с 1e6 по 1e12, почти 13.8млн кортежей: https://cloud.mail.ru/public/GCsN/mgRC2ALaG (почти 1МБ текста).

Файл обновил, 47.5млн кортежей, по 1e13, 1.5МБ текста.

[Yadryara]

Опять непонятно.

vicvolf в сообщении #1646514 писал(а):

подсчитаем меньшие кортежи по Х-Р

vicvolf в сообщении #1646531 писал(а):

по гипотезе Х-Р

А раньше было:

vicvolf в сообщении #1646500 писал(а):

По гипотезе Х-Л

С чего вдруг такая замена? Или ещё одна гипотеза есть?

Или всё-таки небрежность и Х-Р = Х-Л = HL-1 ?

Далее по пунктам.

1. Гипотеза HL-1 работает для кристаллов.
2. Среди наших(нечётных симметричных) кортежей кристаллов нет.
3. Гипотеза HL-1 с поправкой работает для всех(чистых и грязных) наших кортежей.

Согласны?

vicvolf в сообщении #1646531 писал(а):

количество по гипотезе Х-Р для чистого кортежа и загрязнений

Что такое "для чистого кортежа и загрязнений"? Я пока знаю, как применив HL-1, вычислить количество всех вариантов загрязнений, то есть от 0 до максимума.

Пример:

7     [0, 6, 12, 66, 120, 126, 132]

10^     HL-1 x7/4      Posl/Pred      Fact    Pogresh

5    2666.918        
6    2678.030            1.00
7    2713.070            1.01
8    2843.483            1.05
9    3392.806            1.19
10    5939.271           1.75
11    18683.16           3.15        16026    0.166
12    86583.67           4.63        84361    0.0263
13    467767.4           5.40       466163    0.00344
14    2.704230 e6        5.78
15    1.633249 e7        6.04
16    1.021498 e8        6.25
17    6.582990 e8        6.44
18    4.355088 e9        6.62
19    2.948871 e10       6.77
20    2.038521 e11       6.91
21    1.435684 e12       7.04
22    1.028265 e13       7.16
23    7.477921 e13       7.27
24    5.514467 e14       7.37
25    4.118735 e15       7.47
26    3.112540 e16       7.56

Смотрим доли для этого паттерна для 1е26:

10000.0000e22: 0.148701, 0.301081, 0.285429,

Умножаем:

$$3.112540 \cdot 10^{16} \cdot 0.148701\approx 4.628\cdot 10^{15}$$

То есть в диапазоне $0- 10^{26}$ ожидаемое количество чистых кортежей 7-132-1 примерно $4628$ триллионов.

Вы это хотели узнать?

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1646536 писал(а):

То есть в диапазоне $0- 10^{26}$ ожидаемое количество чистых кортежей 7-132-1 примерно $4628$ триллионов.

Экспериментально была также установлена чистоплотность кортежей, так что реальное количество вряд ли меньше 5 квадриллионов.

Теперь посчитаем общий кэф превышения. Сначала ожидаемое количество другим способом:

$$\frac{3.911397985 \cdot 10^{4342943511055} \cdot 10^{26}}{\sqrt{10^{26}}\#} = \frac{3.911397985 \cdot 10^{4342943511055} \cdot 10^{26}}{6.337527182391 \cdot 10^{4342943511064}}}\approx 6.171805\cdot 10^{16}$$

А теперь кэф:

$$\frac{6.171805\cdot 10^{16}}{3.112540\cdot 10^{16}}\approx 1.983$$

Динамика общего кэфа для этого паттерна такая:

10^  Kprev

11   1.586
12   1.639
13   1.694
...
26   1.983

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646536 писал(а):

Опять непонятно.

vicvolf в сообщении #1646514 писал(а):

подсчитаем меньшие кортежи по Х-Р

vicvolf в сообщении #1646531 писал(а):

по гипотезе Х-Р

А раньше было:

vicvolf в сообщении #1646500 писал(а):

По гипотезе Х-Л

С чего вдруг такая замена? Или ещё одна гипотеза есть?

Или всё-таки небрежность и Х-Р = Х-Л = HL-1 ?

Все верно Х-Л. Поздно было.

-- 17.07.2024, 09:13 --

Yadryara в сообщении #1646536 писал(а):

Далее по пунктам.

1. Гипотеза HL-1 работает для кристаллов.
2. Среди наших(нечётных симметричных) кортежей кристаллов нет.
3. Гипотеза HL-1 с поправкой работает для всех(чистых и грязных) наших кортежей.

Согласны?

Нет. Я не хочу делать поправку.

-- 17.07.2024, 09:16 --

Yadryara в сообщении #1646536 писал(а):

Я пока знаю, как применив HL-1, вычислить количество всех вариантов загрязнений, то есть от 0 до максимума.
Пример:

7     [0, 6, 12, 66, 120, 126, 132]

10^     HL-1 x7/4      Posl/Pred      Fact    Pogresh

5    2666.918        
6    2678.030            1.00
7    2713.070            1.01
8    2843.483            1.05
9    3392.806            1.19
10    5939.271           1.75
11    18683.16           3.15        16026    0.166
12    86583.67           4.63        84361    0.0263
13    467767.4           5.40       466163    0.00344
14    2.704230 e6        5.78
15    1.633249 e7        6.04
16    1.021498 e8        6.25
17    6.582990 e8        6.44
18    4.355088 e9        6.62
19    2.948871 e10       6.77
20    2.038521 e11       6.91
21    1.435684 e12       7.04
22    1.028265 e13       7.16
23    7.477921 e13       7.27
24    5.514467 e14       7.37
25    4.118735 e15       7.47
26    3.112540 e16       7.56

Я так не хочу. Я хочу рассчитать количество кортежей до $1e26$ с использованием Х-Л без поправок для каждого варианта: чистого кортежа длиной $L$, всех кортежей с одним дополнительным простым числом, с длиной $Lч+1$, затем всех кортежей с двумя дополнительными простыми, с длиной $Lч+2$, и.т.д. Из-за роста длины количества загрязненных кортежей будут быстро убывать и их можно не учитывать. Далее берем количество чистых кортежей и умножаем на их вероятность. Затем суммируем количество всех кортежей с одним дополнительным простым, и полученную сумму умножаем на их вероятность. Затем суммируем количество всех кортежей с двумя дополнительными простыми, и полученную сумму умножаем на их вероятность и.т.д. Далее суммируем полученное. Таким образом, мы получаем математическое ожидание количества чистых и грязных кортежей.

[Dmitriy40]

Yadryara
Первый паттерн 7-108-1 досчитался до 1e15 (после 1e13 кортежи не сохранялись):

-1      7       8       9       10      11      12      13      14      15      16      17      18      19
1e8:    1       4       11      28      34      39      21      9       9       2               1               =159
1e9:    4       29      102     153     147     108     50      28      13      3               1               =638
1e10:   41      250     536     736     627     431     166     66      26      3               1               =2883
1e11:   419     1671    3130    3546    2722    1501    565     186     56      12              1               =13809
1e12:   3087    11269   18443   17949   12140   5932    2078    593     125     21              1               =71638
1e13:   24030   75583   108959  96375   58305   25391   8181    2014    382     48      7       1               =399276
1e14:   177056  502986  661258  530930  288540  114539  33688   7580    1296    170     17      2               =2318062
1e15:   1299308 3400588 4082114 2996106 1497968 540945  145706  29900   4631    549     53      3               =13997871

[Yadryara]

vicvolf, с каким из пунктов Вы не согласны и почему?

Dmitriy40, а Вы согласны?

vicvolf в сообщении #1646540 писал(а):

Я хочу рассчитать количество кортежей до $1e26$ с использованием Х-Л без поправок для каждого варианта: чистого кортежа длиной $L$, всех кортежей с одним дополнительным простым числом, с длиной $Lч+1$,

А разве те формулы, что есть по Вашим ссылкам, позволяют это посчитать, да ещё без поправок ?? Тогда что же Вы до сих пор не посчитали?

Dmitriy40, Спасибо! Опять высоченная точность:

10^    HL-1 x3/2    Fact  Pogresh.

8       2437.2711    159   14.3
9       2908.1197    638   3.56
10      5090.8037   2883   0.766
11     16014.133   13809   0.160
12     74214.578   71638   0.0360
13    400943.47   399276   0.00418
14   2317911.7   2318062  -0.0000648
15  13999274    13997871   0.000100
16  87556996 

Но нам ведь с 7-ками всё уже было ясно. Я предлагаю дальше не считать паттерны, если погрешность провалилась ниже 1%.

А вот насчёт 9-к сомнение. Я так понимаю, что посчитать 9-144-1 до 1е16 займёт часов 30.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646536 писал(а):

1. Гипотеза HL-1 работает для кристаллов.

Вот любите Вы такие словечки. Вам бы романы писать)
Гипотеза Харли-Литтлвуда работает для любого кортежа, который проходит по модулю. Просто говоря, количество которых стремится к бесконечности с ростом диапазона.
Например, возьмем, в качестве чистого, Ваш любимый кортеж - $0,12,24$. Количество таких кортежей на различных диапазонах мы считали по формуле Х-Л много раз. Загрязним его одним простым - $0,2,12,24$. Количество таких кортежей тоже считается по формуле Х-Л. Другой кортеж с одним дополнительным простым числом $0,4,12,24$ также считается по формуле Х-Л и.т.д. до кортежа $0,12,22,24$, если он проходит по модулю. Аналогично для двух дополнительных простых $0,2,6,12,24$ и далее берутся все сочетания и.т.д. Я бы их подсчитал, но их очень много, а программно значительно проще.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646548 писал(а):

Например, возьмем, в качестве чистого, Ваш любимый кортеж - $0,12,24$. Количество таких кортежей на различных диапазонах мы считали по формуле Х-Л много раз.

Разве?? Много раз? Тогда и пруфов должно быть много.

vicvolf в сообщении #1646548 писал(а):

Гипотеза Харли-Литтлвуда работает для любого кортежа, который проходит по модулю.

Нет. Неужели Вы не заметили, что в качестве примеров по 3-й Вашей ссылке взяты только кристаллы? Все до единого.

vicvolf в сообщении #1646548 писал(а):

Я бы их подсчитал, но их очень много, а программно значительно проще.

Ну так кто ж против-то? Посчитайте программно, раз это значительно проще.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646549 писал(а):

Ну так кто ж против-то? Посчитайте программно, раз это значительно проще.

Вы сами предложили

Yadryara в сообщении #1646520 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646514 писал(а):

Давайте пока подсчитаем меньшие кортежи по Х-Р для известных распределений вероятностей.

Давайте. Что именно хотите посчитать?

А теперь отказываетесь.

-- 17.07.2024, 13:46 --

Yadryara в сообщении #1646549 писал(а):

Неужели Вы не заметили, что в качестве примеров по 3-й Вашей ссылке взяты только кристаллы? Все до единого.

Какая это ссылка?

[Yadryara]

Я отказываюсь ?? Ну вот Вам 3-24 посчитал, который якобы много раз по XL-1 считали, но пруфа ещё не было ни одного:

3     [0, 12, 24]

10^     HL-1 x1      Posl/Pred     Fact    Pogresh

1    16.97657        17.0
2    27.72241         1.63
3    51.13675         1.84           27    0.894
4    138.6870         2.71          110    0.261
5    558.7177         4.03          522    0.0703
6    2892.332         5.18         2820    0.0256
7    17182.47         5.94        17190   -0.000438
8    110981.7         6.46       110744    0.00215
9    759605.5         6.84       758708    0.00118
10    5430584         7.15      5429016    0.000289
11    4.017931 e7
12    3.056611 e8

Но это именно все кортежи посчитаны, и чистые и грязные.

vicvolf в сообщении #1645995 писал(а):

Посмотрите внимательно:
https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

Цитата:

The first Hardy-Littlewood conjecture states that the numbers of constellations <=x are asymptotically given by

P_x(p,p+2)
P_x(p,p+4)
P_x(p,p+6)
P_x(p,p+2,p+6)
P_x(p,p+4,p+6)
P_x(p,p+2,p+6,p+8)
P_x(p,p+4,p+6,p+10)

Вот есть один не кристалл: (p,p+6). Вот как раз для него гипотеза и не работает:

10^     HL-1 x1      Posl/Pred     Fact    Pogresh

1    4.836188        4.84
2    13.53549         2.80        7    0.934
3    45.79550         3.38        44    0.0408
4    214.2109         4.68        299    -0.284
5    1248.709         5.83        1940    -0.356
6    8248.030         6.61        13549    -0.391
7    58753.82         7.12        99987    -0.412
8    440367.8         7.50        768752    -0.427
9    3.425308 e6         7.78        6089791    -0.438
10    2.741142 e7         8.00        49392723    -0.445
11    2.243689 e8         8.19        408550278    -0.451
12    1.870560 e9         8.34        3435528229    -0.456
13    1.583460 e10         8.47        29289695650    -0.459
14    1.357803 e11         8.57        252672394234    -0.463
15    1.177208 e12         8.67        2201981901415    -0.465
16    1.030419 e13         8.75        19360330918473    -0.468
17    9.094883 e13         8.83        171550299264139    -0.470
18    8.086759 e14         8.89        1530609037414453    -0.472

Данные по количеству чистых кортежей брал отсюда: A093738.

Программа:

{print();Liold=1;

v = [0, 6];

print();print(#v,"     ",v);print();

fc = [ 0, 7, 44, 299, 1940, 13549, 99987, 768752, 6089791, 49392723, 
408550278, 3435528229, 29289695650, 252672394234, 2201981901415, 
19360330918473, 171550299264139, 1530609037414453 ];

MC = 2^(#v-1);

forprime(p=3,#v, m=setminus(vector(p,i,i-1),Set(-v%p));
MC *= #m/p/(1 - 1/p)^#v);
BC = prodeulerrat(( p^#v - #v*p^(#v-1) )/(p-1)^#v, 1, nextprime(#v+1));

PM = 1;

C = MC * BC * PM;


print("10^     HL-1 x",PM,"      Posl/Pred     Fact    Pogresh");
print();

for(po = 1, 18,

Li2 = intnum(t=2, 10^po, C/log(t)^#v);

if(fc[po]<>0,
printf("%d    %.7g         %.3g        %d    %.3g\n",po,Li2,Li2/Liold,fc

[po],(Li2-fc[po])/fc[po]),
printf("%d    %.7g        %.3g\n",po,Li2,Li2/Liold));
Liold=Li2;
);
print();
}quit;

[Yadryara]

А по близнецам очень точно отработала, потому что это кристалл:

2     [0, 2]

10^     HL-1 x1      Posl/Pred         Fact    Pogresh

1    4.836188                             2    1.42
2    13.53549         2.80                8    0.692
3    45.79550         3.38               35    0.308
4    214.2109         4.68              205    0.0449
5    1248.709         5.83             1224    0.0202
6    8248.030         6.61             8169    0.00967
7    58753.82         7.12            58980   -0.00383
8    440367.8         7.50           440312    0.000127
9    3.425308 e6      7.78          3424506    0.000234
10   2.741142 e7      8.00         27412679   -0.0000461
11   2.243689 e8      8.19        224376048   -0.0000320 
12   1.870560 e9      8.34       1870585220   -0.0000136 
13   1.583460 e10     8.47      15834664872   -0.00000420
14   1.357803 e11     8.57     135780321665   -0.000000418
15   1.177208 e12     8.67    1177209242304   -0.000000637 
16   1.030419 e13     8.75   10304195697298   -0.000000305 
17   9.094883 e13     8.83   90948839353159   -0.0000000670 
18   8.086759 e14     8.89  808675888577436    0.0000000160

Данные по количеству чистых кортежей брал отсюда: A007508.

Ну я вроде понял Вашу идею: сложить вместе жутко неточные количества, в надежде, что они вместе дадут точное.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646554 писал(а):

Данные по количеству чистых кортежей брал отсюда: A093738.

А надо для $(p,p+6)$ отсюда https://oeis.org/A023201

Yadryara в сообщении #1646554 писал(а):

3     [0, 12, 24]

10^     HL-1 x1      Posl/Pred     Fact    Pogresh

1    16.97657        17.0
2    27.72241         1.63
3    51.13675         1.84           27    0.894
4    138.6870         2.71          110    0.261
5    558.7177         4.03          522    0.0703
6    2892.332         5.18         2820    0.0256
7    17182.47         5.94        17190   -0.000438
8    110981.7         6.46       110744    0.00215
9    759605.5         6.84       758708    0.00118
10    5430584         7.15      5429016    0.000289
11    4.017931 e7
12    3.056611 e8

Хотя кортеж не кристалл (по-вашему) но по формуле Х-Л подсчитано верно (поправочный коэффициент равен 1).

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646558 писал(а):

А надо отсюда https://oeis.org/A023201

Да, вот здесь они как раз все: и чистые и грязные. Что опять подтверждает мои тезисы 1 и 3:

Yadryara в сообщении #1646536 писал(а):

1. Гипотеза HL-1 работает для кристаллов.
2. Среди наших(нечётных симметричных) кортежей кристаллов нет.
3. Гипотеза HL-1 с поправкой работает для всех(чистых и грязных) наших кортежей.

Правда, как уже отмечал, иногда можно обойтись без поправки, то есть она равна 1-це.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646555 писал(а):

Ну я вроде понял Вашу идею: сложить вместе жутко неточные количества, в надежде, что они вместе дадут точное.

Количество чистых кортежей, грязных кортежей с загрязнением 1.2, и.т.д. простых числа является дискретной случайной величиной с соответствующим распределением вероятностей. Я говорю о получении математического ожидания данной случайной величины.

Yadryara в сообщении #1646569 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646558 писал(а):

А надо отсюда https://oeis.org/A023201

Да, вот здесь они как раз все: и чистые и грязные.

А можно посмотреть результаты работы исправленной программы?

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646558 писал(а):

Хотя кортеж не кристалл (по-вашему) но по формуле Х-Л подсчитано верно (поправочный коэффициент равен 1).

Да, и для троек я даже расписал от чего он зависит:

Yadryara в сообщении #1646077 писал(а):

 2,3    5    7   11   13

 100  200  150  125  120

Если диаметр делится только на простые 2 и 3, то количество всех минимальное. Его я приравнял к 100.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 5, то количество всех вдвое больше минимального, приравнено к 200.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 7, то количество всех в 1.5 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 11, то количество всех в 1.25 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 13, то количество всех в 1.2 раза больше минимального.

vicvolf в сообщении #1646571 писал(а):

А можно посмотреть результаты работы исправленной программы?

В смысле исправленной? А, ну ввёл поправку PM=2, отлично отработала, хотя данные по Вашей ссылке только до 1е5 :

2     [0, 6]

10^     HL-1 x2      Posl/Pred     Fact    Pogresh

1    9.672377                        2    3.84
2    27.07098         2.80          16    0.692
3    91.59100         3.38          74    0.238
4    428.4219         4.68         411    0.0424
5    2497.417         5.83        2447    0.0206