ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Итак, условие $x_{a}^{n}+x_{b}^{n}=x_{c}^{n}$ приняло вид

$$\left(1,1,-1\right) \left (\begin{array}{cccc} 1&{p_{a2}}&\ldots&{p_{an}}\\ 1&{p_{b2}}&\ldots&{p_{bn}}\\ 1&{p_{c2}}&\ldots&{p_{cn}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccc} 1\\q_{n2}\\\vdots\\q_{nn} \end{array}\right) =0$$

или, что то же самое

$$\left (\begin{array}{cccc} 1&{p_{a2}}&\ldots&{p_{an}}\\ 1&{p_{b2}}&\ldots&{p_{bn}}\\ 1&{p_{c2}}&\ldots&{p_{cn}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccc} 1\\q_{n2}\\\vdots\\q_{nn} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} r\\s\\r+s \end{array}\right) $$

где $r=x_{a}^{n},\ s=x_{b}^{n}$

Рассмотрим уравнение

$$\left (\begin{array}{ccc} 1&{p_{a2}}&{p_{a3}}\\ 1&{p_{b2}}&{p_{b3}}\\ 1&{p_{c2}}&{p_{c3}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1\\q_{n2}\\q_{n3} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} r-d_1\\s-d_2\\r+s-d_3 \end{array}\right) $$

где

$d_1=p_{a4}q_{n4}+\ldots +p_{an}q_{nn}$
$d_2=p_{b4}q_{n4}+\ldots +p_{bn}q_{nn}$
$d_3=p_{c4}q_{n4}+\ldots +p_{cn}q_{nn}$

Найдём условие на отношение $\frac{q_{n3}}{q_{n2}}$

$1=\frac{\Delta_{1}}{\Delta},\ q_{n2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta},\ q_{n3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}$ откуда $\frac{q_{n3}}{q_{n2}}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta_{2}}$. Здесь

$$ \Delta= \left|\begin{array}{ccc} 1&{p_{a2}}&{p_{a3}}\\ 1&{p_{b2}}&{p_{b3}}\\ 1&{p_{c2}}&{p_{c3}} \end{array}\right| $$

$$ \Delta_{1}= \left|\begin{array}{ccc} (r-d_1)&{a_{2}}&{a_{3}}\\ (s-d_2)&{b_{2}}&{b_{3}}\\ (r+s-d_3)&{c_{2}}&{c_{3}} \end{array}\right| $$

$$ \Delta_{2}= \left|\begin{array}{ccc} 1&(r-d_1)&{p_{a3}}\\ 1&(s-d_2)&{p_{b3}}\\ 1&(r+s-d_3)&{p_{c3}} \end{array}\right| $$

$$ \Delta_{3}= \left|\begin{array}{ccc} 1&{p_{a2}}&(r-d_1)\\ 1&{p_{b2}}&(s-d_2)\\ 1&{p_{c2}}&(r+s-d_3) \end{array}\right| $$

Учтя, что $p_{i2}=i-1,\ p_{i3}=\frac{1}{2}(p_{i2}^2-p_{i2})$ после необходимых преобразований получим условие:
если

$$E=\left(a^2,b^2,c^2\right) \left (\begin{array}{cccc} 1&0&-1\\ 0&-1&1\\ -1&1&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} a^n+d_2\\b^n+d_1\\d_3 \end{array}\right)>0$$

где все числа натуральные, а $a<b<c$ и $d_1<d_2<d_3$
то $\frac{q_{n3}}{q_{n2}}<\frac{2}{3}$ что не выполняется начиная с $3$-й строки (строки нумеруются начиная с $0$) треугольника $Q$ отвечающей степени $n=3$

$$\begin{array}{ccccccc} &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&4&5&\ldots\\ \hline 0&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0&\ \\ 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0&\ \\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&2&0&0&\ldots\\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&7&12&6&0&\ \\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&15&50&60&24&\ \\ \vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&{\ }&{\vdots}&{\ }&{\ }&\ddots \end{array}$$

Таким образом, если удасться показать, что всегда $E>0$ это будет служить доказательством ВТФ.

P.S. Вычисления делались в Maple. Если для проверки нужны промежуточные выкладки я их приведу.

[serval]

Есть мысль - расписать $E$ в явном виде. Если получится - покажу.

[serval]

Вот построенный в Maple график функции $f(x,y)=E$ где $a=x,\ b=y$ для степени $n=3$

restart;
r[1] := (x^2-(x^n+y^n)^(2/n))*(x^n+y^n-6*y^2-11*y+6):
r[2] := ((x^n+y^n)^(2/n)-y^2)*(x^n+y^n-6*x^2-11*x+6):
r[3] := (y^2-x^2)*(x^n+y^n-6*(x^n+y^n)^(2/n)-11*(x^n+y^n)^(1/n)+6):
n:=3:
plot3d(r[1]+r[2]+r[3], x = 1..10, y = 1..10, axes = normal);

Ясно видно, что в области $y>x$ значение $E>0$ что и требовалось показать. При увеличении показателя степени $n$ картина принципиально не меняется.
Конечно, следует формально проанализировать функцию $E$, но, после того как мы заглянули в ответ задачи, это уже не интересно.
Вот, собственно, и всё.
Очень не хочется говорить - вот элементарное доказательство ВТФ!
Но я не знаю, как ещё спровоцировать критику, поэтому - говорю : )

[Pancho]

Цитата:

вот элементарное доказательство ВТФ!

Скромно так
Прошло уже 16 часов с момента провозглашения...тихо, это не к добру. Может ошибка зарыта в алгоритмах Maple

[serval]

Самое наглое, что я смог придумать : )
Хотел разозлить математиков настолько, чтобы начали проверять. Но, видимо, лень сильнее злости. Как я понимаю, такой подход оказался не знаком, а смысла вникать, когда на растерзание есть полтора десятка ферманьяков мечтающих о мученическом подвиге в сумрачных лабиринтах теории чисел, никто не видит.
А если и мэплу не верить - кому же верить? : ) Вот себе я верю меньше, чем ему - поэтому продолжаю робко надеяться.

[Pancho]

Я думаю просто мало времени прошло, вникать то надо серьезно...я вот к тому и написал что тишина пугает .......Терминаторы, убивцы черепашек (всмысле фермаманьяков) наверное морщят лбы, статус обязывает ....подождем

[serval]

Вашими бы устами мёд пить : ) Но, думаю, Вы ошибаетесь, как всегда всё окажется прозаичнее. Если это не лежит в сфере научной деятельности - оно не интересно. Это вовсе не упрёк, а просто наблюдение. Из опыта общения с нашими университетскими математиками.

[Pancho]

Да уж куда научнее да еще и с такими выводами! Возможно прозаичность заключается в том что "рука бойца колоть устала", теоремку то 13 лет назад доказали и можно только догадываться сколько невинных черепашек за это время было безжаластно растерзано ....Может и не морщат, а просто отдыхают

[serval]

Её доказали явно не так, как это подразумевал Ферма. Доказательства, хоть как-то близкого авторскому, всё ещё нет.

[shwedka]

Ну, встряну, хоть и надоело.

serval в сообщении #162599 писал(а):

Пусть имеется множество $\{x^{y}\}$ где $x,y\in N$. Тогда, если $\{x^{y}\}$ является аддитивной группой,

А что если не является аддитивной группой? Ведь это не отрицание ВТФ.

serval в сообщении #164381 писал(а):

Доказательства, хоть как-то близкого авторскому, всё ещё нет.

А как может что-то быть близко к несуществующему?

[serval]

shwedka в сообщении #164394 писал(а):

А что если не является аддитивной группой?

Скорее всего, это никак не повлияет на последующие рассуждения, поскольку мы не будем выясненять групповые свойства указанного множества. Читайте так:
Если множество $\{x^{y}\}$ содержит некоторые разности своих элементов, значит эти разности имеют ту же структуру, что сами элементы. Выясним, какова эта структура.

[shwedka]

Нет, не хочется в долгих вычислениях копаться, уцеплюсь за хвост

serval в сообщении #164092 писал(а):

Ясно видно, что в области $y>x$ значение $E>0$ что и требовалось показать. При увеличении показателя степени $n$ картина принципиально не меняется.

Это, может быть, и требовалось показать, но Вы не показали.
Ясно видно -- это после проверки десятка чисел? Вы осознаете, что никакие примерные вычисления даже для очень многих пробных значений не заменяют доказательство?

[bot]

shwedka писал(а):

Ну, встряну, хоть и надоело.

serval в сообщении #162599 писал(а):

Пусть имеется множество $\{x^{y}\}$ где $x,y\in N$. Тогда, если $\{x^{y}\}$ является аддитивной группой,

А что если не является аддитивной группой?

Я это видел, но смолчал - счёл за очередную трескучесть никакого отношения к вопросу не имеющую, вроде того "скалярного произведения"
Ясно, что не является - это множество просто $\mathbb N$ и есть и оно аддитивной группой не является, даже если учесть, что сегодня четверг и сегодня у меня $0\in \mathbb N$.
Что касается остального, то рассматриваю его как очередное нагромождение, вроде нахождения целого корня квадратного уравнения итерациями. Среди всего лишнего возможно и будет уравнение Ферма и что? Маплой его Маплой вместе с лишними соотношениями? Откровенно говоря, действительно было просто лень всё это смотреть, потому и была тишина - с моей стороны, разумеется.

ЗЫ. Исправил одну букву - не могу смотреть на эту опечатку, которая смотрится как безграмотность в орфографии. Я бы и не заметил, если бы её ниже жирным шрифтом не выделили.

[Pancho]

Ну вот, закололи очередную. А такая была симпотная, всего то на пару страничек......Ну что за люди

[serval]

Цитата:

Нет, не хочется в долгих вычислениях копаться, уцеплюсь за хвост

Я Вас понял. Я проанализирую функцию $E$ и тогда Вы вникните, почему она такая, а не другая. С радостью.

Цитата:

Что касается остального, то рассматриваю его как очередное награмождение ... Откровенно говоря, действительно было просто лень всё это смотреть

Можно было просто вставить между выделенными отрывками "потому что".

Добавлено спустя 14 минут 23 секунды:

Цитата:

Ну вот, закололи очередную

Ещё нет. Я вижу четыре возможных исхода:
1. Зарубят по сути
2. Зарубят по форме
3. Бойкотируют из лени
4. Не зарубят

Моя задача - добиться реализации 1 либо 4 пунктов. Но, если со 2 пунктом я могу бороться (и буду), то против 3 я бессилен. Сами видели - и плакал, и жаловался и дразнил - еле выпросил. Если опять замолчат - всё, конец.
Пока задача ясна - проанализировать $E$. Благо, в явном виде она легко выписывается и, судя по виду, подвохов быть не должно. Хотя ручаться, конечно, нельзя.