Интегралы движения заряженной частицы в поле беск. нити

[мат-ламер]

Мне кажется, я начинаю понимать источник возникновения трудностей в этой задача. Исходную задачу в том виде, как она предложена в первом посту, естественно воспринимать в нерелятивистском приближении. Иначе непонятно, а как вообще частица будет удерживаться вокруг нити, а не улетит куда-нибудь в бесконечность. В этом приближении естественно считать, что будут выполняться основные законы сохранения - сохранение импульса частицы вдоль нити, сохранения суммы потенциальной и кинетической энергии частицы, сохранение момента импульса относительно нити. И в этом приближении задачу можно считать по сути двухмерной, и эти три закона дают интегралы движения, которые его полностью определяют. И силу, которая действует на частицу, можно считать центральной в этой двухмерной задаче.

Но дальше меня сбила с толку фраза:

reterty в сообщении #1643024 писал(а):

1. В данном случае имеет место сохранение продольной компоненты момента импульса $L_z$, однако, сила не центральная а осевая.

Во-первых, не понял, что есть "осевая сила". Во-вторых, если в нашем приближении мы считаем, что момент импульса относительно нити сохраняется, то почему бы и не считать, что сила, действующая на частицу, направлена в сторону нити? Ну, если считать осевой силой силу, которая направлена по направлению к оси перпендикулярно ей, то всё понятно. Однако в моём учебнике механики определение осевой силы я не нашёл.

А вот, если мы будем нашу модель уточнять и не ограничимся первым приближением, то тут уже возникнут интересные нюансы типа, а что там будет с сохранением момента импульса, будет ли сила сугубо центральной, и как вообще всё это дело рассчитать? И как поправки к первому приближению (даже если они и малы) скажутся на траектории движения частицы в перспективе?

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1643167 писал(а):

Мне кажется, я начинаю понимать источник возникновения трудностей в этой задача. Исходную задачу в том виде, как она предложена в первом посту, естественно воспринимать в нерелятивистском приближении. Иначе непонятно, а как вообще частица будет удерживаться вокруг нити, а не улетит куда-нибудь в бесконечность. В этом приближении естественно считать, что будут выполняться основные законы сохранения - сохранение импульса частицы вдоль нити, сохранения суммы потенциальной и кинетической энергии частицы, сохранение момента импульса относительно нити. И в этом приближении задачу можно считать по сути двухмерной, и эти три закона дают интегралы движения, которые его полностью определяют. И силу, которая действует на частицу, можно считать центральной в этой двухмерной задаче.

Но дальше меня сбила с толку фраза:

reterty в сообщении #1643024 писал(а):

1. В данном случае имеет место сохранение продольной компоненты момента импульса $L_z$, однако, сила не центральная а осевая.

Во-первых, не понял, что есть "осевая сила". Во-вторых, если в нашем приближении мы считаем, что момент импульса относительно нити сохраняется, то почему бы и не считать, что сила, действующая на частицу, направлена в сторону нити? Ну, если считать осевой силой силу, которая направлена по направлению к оси перпендикулярно ей, то всё понятно. Однако в моём учебнике механики определение осевой силы я не нашёл.

ок. Скажите в этой задаче есть выделенный центр - некий origin точка $O$? По-другому: Выберите где-нибудь на нити начало отсчета и зафиксируйте его. А теперь задайтесь вопросом: будет ли В ЛЮБОЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ момент силы электрического поля $\vec{M}$ относительно данной точки равен нулю? Очевидно что не будет. А раз так - вектор момента импульса ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОЙ ТОЧКИ НЕ БУДЕТ СОХРАНЯТЬСЯ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ. А ведь основным свойством центральной силы является то что момент импульса как вектор сохраняется во времени. В нашей же задаче сохраняется лишь его продольная нити компонента, тогда как модуль и направление непрерывно меняются во времени. И, наконец, последний аргумент: вспомните, что ВСЕ силовые линии центрального поля всегда ВЫХОДЯТ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ. Теперь взгляните на рисунки, изображающие силовые линии заряженной нити. Все ли они выходят из одной точки? НЕА!....

-- Вт июн 18, 2024 10:39:53 --

drzewo в сообщении #1643144 писал(а):

Ну разумеется в этой системе есть дополнительный первый интеграл, определенный во всем фазовом пространстве кроме плоскости $p_z=0$

Рецепт тот же: считаем скобку Пуассона двух известных интегралов движения? Или понадобится использовать некий изощренный трюк?

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1643167 писал(а):

Исходную задачу в том виде, как она предложена в первом посту, естественно воспринимать в нерелятивистском приближении.

Это если есть только кулоновская сила. А сила Ампера/Лоренца тут разве ноль? Вы это имеете в виду под "нерелятивистким приближением"?

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1643173 писал(а):

А сила Ампера/Лоренца тут разве ноль? Вы это имеете в виду под "нерелятивистким приближением"?

На счёт ноля я тут ни разу не выражался. Зашёл ТС. Он считает, что момент импульса относительно нити сохраняется. Кстати, в статье в первых параграфах статьи тоже принято такое приближение. Понятно, что магнитная составляющая силы Лоренца направлена не в сторону нити, а перпендикулярно вектору движения. Но, если мы примем исходное приближение, то можно считать, что сила Лоренца направлена к нити. Тут не вопрос, как оно на самом деле. Тут вопрос, какое приближение мы примем и как мы его назовём.

(Оффтоп)

Поскольку появились срочные дела, я пока выйду из дискуссии.

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1643177 писал(а):

wrest в сообщении #1643173 писал(а):

А сила Ампера/Лоренца тут разве ноль? Вы это имеете в виду под "нерелятивистким приближением"?

На счёт ноля я тут ни разу не выражался. Зашёл ТС. Он считает, что момент импульса относительно нити сохраняется. Кстати, в статье в первых параграфах статьи тоже принято такое приближение. Понятно, что магнитная составляющая силы Лоренца направлена не в сторону нити, а перпендикулярно вектору движения. Но, если мы примем исходное приближение, то можно считать, что сила Лоренца направлена к нити. Тут не вопрос, как оно на самом деле. Тут вопрос, какое приближение мы примем и как мы его назовём.

(Оффтоп)

Поскольку появились срочные дела, я пока выйду из дискуссии.

не момент импульса сохраняется а лишь его проекция на выделенную ось $L_z$!

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1643170 писал(а):

вектор момента импульса ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОЙ ТОЧКИ НЕ БУДЕТ СОХРАНЯТЬСЯ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ.

reterty в сообщении #1643180 писал(а):

не момент импульса сохраняется а лишь его проекция на выделенную ось $L_z$!

Вы глубоко правы! Только я нигде не писал ни про момент импульса, ни про момент импульса относительно точки. А писал я про:

мат-ламер в сообщении #1643177 писал(а):

момент импульса относительно нити

Что и есть проекция момента импульса относительно некоторой точки на оси (нити) на саму эту ось.

-- Вт июн 18, 2024 13:37:32 --

reterty в сообщении #1643170 писал(а):

ок. Скажите в этой задаче есть выделенный центр - некий origin точка $O$?

В самой исходной задаче никакого выделенного центра нет. Если вы решаете эту задачу в трёхмерной постановке (как это сделано в статье), то можете для удобства выделить для начала некоторую произвольную точку, чтобы было относительно чего считать момент импульса относительно точки.

Но в теме у меня был следующий ход мыслей. Я подумал, что в трёхмерной постановке для вас решать задачу будет сложновато. Поэтому предложил свести задачу к двухмерной. Записав уравнения движения (хотя это и так очевидно), видим, что движение вдоль нити (оси $z$ ) идёт независимо от движения в плоскости, перпендикулярной оси $z$ . Движение вдоль оси $z$ идёт с постоянной скоростью. Поэтому мы можем выбрать систему отсчёта, в которой вообще не будет оси $z$ . Эта система отсчёта будет двигаться вдоль оси $z$ с той же скоростью, что и наша точка. В вашем приближении (и в приближении, принятом в первых параграфах статьи), мы получаем классическую задачу механики - задачу двух тел с логарифмическим потенциалом. В этой задаче есть свой неподвижный центр, относительно которого можно считать момент импульса. Если рассматривать исходную задачу, то этот центр будет двигаться с постоянной скоростью вдоль нити, что нас не должно волновать. А величина проекции момента импульса относительно оси $z$ в новой и исходной задаче совпадают.

Но если вам не нравится предложенный двухмерный подход, то, пожалуйста, решайте задачу в исходной трёхмерной постановке, как и сделано в статье. И как вам тут в теме предложили (в том числе и я, но позже).

-- Вт июн 18, 2024 13:41:21 --

reterty в сообщении #1643170 писал(а):

И, наконец, последний аргумент: вспомните, что ВСЕ силовые линии центрального поля всегда ВЫХОДЯТ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ. Теперь взгляните на рисунки, изображающие силовые линии заряженной нити. Все ли они выходят из одной точки? НЕА!....

В общем, мы о разном говорим. Вы говорите об исходной трёхмерной задаче. Я о новой двухмерной.

-- Вт июн 18, 2024 14:08:33 --

wrest в сообщении #1643173 писал(а):

А сила Ампера/Лоренца тут разве ноль? Вы это имеете в виду под "нерелятивистким приближением"?

На счёт того, что я имею в виду под нерелятивиским приближением, я пока отвечать не стану. Не я первый произнёс такие слова. Сначала они появились в обсуждаемой статье. Затем уже в этой теме, но произнесены не мной. А уже я затем использовал этот термин, надеюсь в том духе, что и в статье. Обычно ответ в задаче не должен зависеть от используемой ИСО. Но может и зависеть. Причём эта зависимость выражается через некоторые скорости. Отсюда и происходит разница в терминологии.

[drzewo]

reterty в сообщении #1643170 писал(а):

Рецепт тот же: считаем скобку Пуассона двух известных интегралов движения? Или понадобится использовать некий изощренный трюк?

поделите систему уравнений Гамильтона на уравнение $\dot z=p_z=\mathrm{const}\ne 0$.
Получите невтономную систему 5 порядка с новым временем $z$. А в расширенном фазовом пространстве любой системы есть полный набор первых интегралов. Нет большого смысла в выискивании первых интегралов в системах с некомпактным фазовым пространством

[Ende]

Выделена тема «Лоренцевы преобразования ЭМ поля бесконечной нити»