Лоренцевы преобразования ЭМ поля бесконечной нити

[мат-ламер]

Ende
Выделено из темы «Интегралы движения заряженной частицы в поле беск. нити»

wrest в сообщении #1643173 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1643167 писал(а):

Исходную задачу в том виде, как она предложена в первом посту, естественно воспринимать в нерелятивистском приближении.

Это если есть только кулоновская сила. А сила Ампера/Лоренца тут разве ноль? Вы это имеете в виду под "нерелятивистким приближением"?

На счёт различных приближений у меня тут всё же сомнения есть. У нас есть заряженная частица, которая движется с ускорением. В принципе такая частица излучает ЭМ волны. И о законах сохранения сугубо для частицы мы уже говорить не можем. Но мы такую ситуацию отбрасываем, как непосильную для нашего ума. Далее, в формулах законов сохранения масса частицы умножается на некоторый множитель с корнем. Так мы этот множитель тоже отбрасываем для простоты расчётов. То есть пренебрегаем членами порядка $v^2/c^2$ . Под силой Лоренца , как пишется в статье, понимают разное. Можно считать, что она состоит из двух слагаемых - кулоновской и магнитной составляющей. В исходной задаче ТС есть только кулоновская составляющая. Если мы перейдём в другую ИСО, которая движется равномерно вдоль нити так, что наша частица будет двигаться в плоскости, то составляющие силы Лоренца изменятся. И магнитная составляющая силы Лоренца будет уже ненулевая. Хотя общая сила Лоренца практически не изменится (мы механику рассматриваем в ньютоновском приближении и членами $v^2/c^2$ пренебрегаем). В силу принципа относительности у нашей частицы пропадёт только движение вдоль координаты $z$ . Движение вдоль координат $x$ и $y$ останется ровно таким же. Понятно, что и все законы сохранения будут выполняться. Что касается статьи, то там уже в самой начальной постановке присутствуют токи в нити. Но по идее никаких новых нюансов тут не должно возникнуть. Ведь мы можем перейти в систему отсчёта, в которой тока нет. Тем самым получим исходную задачу ТС.

-- Ср июн 19, 2024 17:14:54 --

мат-ламер в сообщении #1643266 писал(а):

мы механику рассматриваем в ньютоновском приближении и членами $v^2/c^2$ пренебрегаем)

Хотя, сейчас подумал, что может это и не совсем хорошо. Но в статье вроде так.

[svv]

мат-ламер в сообщении #1643266 писал(а):

Ведь мы можем перейти в систему отсчёта, в которой тока нет.

Не всегда (практически — не можем). Тут вот какая ситуация. Я буду считать $c=1$. У нас есть однородная нить, совпадающая с осью $Oz$. Она имеет линейную плотность заряда $\sigma$, и по ней течёт ток $I$. Эти величины относятся к лабораторной ИСО ($S$). Перейдём в ИСО $S'$, которая движется относительно $S$ со скоростью $v$ вдоль $Oz$. Тогда в $S'$ плотность заряда и ток будут равны
$\sigma'=\Gamma(\sigma-vI)$
$I'=\Gamma(I-v\sigma)$
где $\Gamma=(1-v^2)^{-1/2}$
Это преобразования Лоренца для 4-вектора плотности тока, проинтегрированного по сечению проводника. Квадрат длины 4-вектора есть инвариант:
$\sigma'^2-I'^2=\Gamma^2(1-v^2)(\sigma^2-I^2)=\sigma^2-I^2$
Следовательно, если в $S$ имеем $\sigma^2>I^2$ (т.е. 4-вектор времениподобный, назовём это ещё зарядодоминантностью), то и в $S'$ аналогично. Если же в $S$ имеем $I^2>\sigma^2$ (т.е. 4-вектор пространственноподобный, назовём это токодоминантностью), то и в $S'$ аналогично.

Следовательно, если в $S$ течёт ток $I$, а линейная плотность заряда $\sigma$ нулевая (или недостаточно велика, формулы показывают, что это значит в точности), то никакой сменой ИСО мы не обратим ток $I'$ в нуль. Ведь, подставляя в формулу $\sigma=0, I'=0$, получим
$\sigma'^2=-I^2,$
что не может быть верно при $I\neq 0$.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1643273 писал(а):

а линейная плотность заряда $\sigma$ нулевая (или недостаточно велика, формулы показывают, что это значит в точности)

мат-ламер в сообщении #1643266 писал(а):

Что касается статьи, то там уже в самой начальной постановке присутствуют токи в нити.

Вспоминаю, что в начальной постановке присутствуют только токи, но в вскоре появляются и заряды на нити. Я имел в виду ту общую постановку. Но писал по интуиции. Расчётом не проверил. Спасибо за поправку! Извините за неточность.

[мат-ламер]

svv
Можно ли в вопросе о занулении магнитного поля рассуждать так: скаляр $E^2-c^2B^2$ является инвариантом? (Иродов, "Основные законы ", пар.8.4, форм. (8.9))

[svv]

мат-ламер
Можете на это опираться. (Я по-прежнему буду считать $c=1$.)
В прошлом сообщении я написал, что величина $\sigma^2-I^2$ является инвариантом ($\sigma$ — линейная плотность заряда, $I$ — ток). С помощью уравнений Максвелла получаются поля:
$\begin{array}{ll}\mathbf E=E_\rho\mathbf e_\rho&E_\rho=\frac 2{\rho}\sigma\\[1ex]\mathbf B=B_\varphi \mathbf e_\varphi&B_\varphi=\frac 2{\rho}I\end{array}$
где $(\mathbf e_\rho, \mathbf e_\varphi, \mathbf e_z)$ — правый ортонормированный базис цилиндрических координат. Остальные компоненты поля равны нулю.

Из этих выражений легко получаются оба инварианта электромагнитного поля: $\mathbf E\cdot\mathbf B$ (равен нулю в любой ИСО) и
$E^2-B^2=E_\rho^2-B_\varphi^2=(\frac 2{\rho})^2(\sigma^2-I^2)=\operatorname{inv}$
То есть в данном случае «Ваш» инвариант $E^2-B^2$ отличается от «моего» $\sigma^2-I^2$ лишь множителем $(\frac 2{\rho})^2$ (который сам инвариант, поскольку координаты $\rho,\varphi$ не затрагиваются преобразованиями Лоренца, когда относительная скорость параллельна $Oz$).

Преобразования Лоренца для полей
$\begin{array}{l}E'_\rho=\Gamma(E_\rho-v B_\varphi)\\B'_\varphi=\Gamma(B_\varphi-v E_\rho)\end{array}$
следуют либо из приведённых формул (в т.ч. преобразований для $\sigma, I$), либо из общих
$\begin{array}{l}\mathbf E'_\perp=\Gamma(\mathbf E_\perp+\mathbf v\times \mathbf B_\perp)\\\mathbf B'_\perp=\Gamma(\mathbf B_\perp-\mathbf v\times \mathbf E_\perp)\end{array}$

[svv]

мат-ламер
Сможете ли Вы разрешить такой парадокс? (Знающих участников прошу не подсказывать.) Итак, система $S'$ движется относительно $S$ в направлении оси $Oz$ (т.е. параллельно нити) со скоростью $V$. Штрихованные величины относятся к $S'$.

Допустим, в системе $S'$ ток в нити $I'=0$. Следовательно, $\mathbf B'=0$. Пусть частица движется в плоскости $z'=0$, перпендикулярной нити, со скоростью $\mathbf v'$. На неё действует сила
$\mathbf F'=q\mathbf E'=q E'_\rho\mathbf e_\rho,$
не выводящая частицу из этой плоскости.

Перейдём в систему $S$. Тогда из формулы $\gamma(z-Vt)=z'=0$ получаем $z=Vt$, то есть $\frac{dz}{dt}=\operatorname{const}$.

С другой стороны, в $S$ появляется ток $I$ и магнитное поле $\mathbf B=\mathbf e_\varphi B_\varphi$. На частицу действует сила Лоренца
$\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)=q(E_\rho\mathbf e_\rho-v_zB_\varphi\mathbf e_\rho+v_\rho B_\varphi \mathbf e_z)$,
Очевидно, в общем случае $F_z=q v_\rho B_\varphi\neq 0$. Как же это согласуется с $\frac{dz}{dt}=\operatorname{const}$?

[мат-ламер]

svv в сообщении #1643606 писал(а):

мат-ламер
Сможете ли Вы разрешить такой парадокс?

Я тут как-то думал немного над другой задачей. Сначала я про неё напишу, поскольку она точно укладывается в формулировку ТС. Затем вернусь к вашей задаче, надеясь, что на её равносильность моей.

Итак, у нас реальных токов нет. У нас жёсткая непроводящая нить, на которой равномерно и жёстко укреплены заряды. И есть заряженная частица, которая движется вокруг нити неким образом, постепенно продвигаясь вдоль неё. Как было отмечено ТС, импульс частицы вдоль нити сохраняется. И сила $F_z$ (в неподвижной СО), как производная по времени от этого импульса нулевая. Отсюда совершенно не следует, что сохраняется скорость частицы вдоль оси $z$ . Сохраняется величина $\gamma v_z$ , где $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ . Скорость будет некоей периодической величиной, которая будет колебаться вокруг некоего среднего значения. Замечу, что я писал про отдельно выделенный нерелятивистский случай. Так для него $v_z$ будет постоянна. Вернёмся к общему случаю. Пусть у нас ИСО движется равномерно вдоль нити со скоростью равной средней $v_z$ частицы. В этой ИСО можно считать, что по нити течёт конкретный ток, создающее конкретное магнитное поле. И в этой системе на частицу будет действовать конкретная сила $F^'_z$ , создающая вдоль этой оси конкретное ускорение $a_z$ , которая по порядку величины сравнимо с $v/c$ . А это ускорение даст периодическую ненулевую скорость $v^'_z$ , которая имеет порядок $v^2/c^2$ . И мы имеем ровно такую же картину, что и в неподвижной СО.

Если вы одобрите мои рассуждения, то можно вернуться и к вашей задаче, если на то будет необходимость. Она обосновывается ровно такими же словами, но в обратном порядке.

[svv]

Да, Вы правы, именно в этом дело. Поскольку $F_z=m\frac{d}{dt}(\gamma v_z)$, а $\gamma$ зависит от $v$, то равенства $F_z=0$ и $\frac{dv_z}{dt}=0$ не следуют друг из друга.

мат-ламер в сообщении #1644347 писал(а):

можно вернуться и к вашей задаче

Нет, всё понятно.