Интегралы движения заряженной частицы в поле беск. нити

[reterty]

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную нить. Пусть заряженная частица движется в неоднородном электрическом поле такой нити. Каковы первые интегралы движения такой частицы? На мой взгляд, интегралов движения всего пять: полная механическая энергия частицы, две компоненты скорости и две компоненты момента импульса частицы. Верно ли мое предположение?

[drzewo]

гамильтониан напишите в цилиндрических координатах для начала

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1642962 писал(а):

две компоненты скорости и две компоненты момента импульса частицы.

А можно по подробнее? Что за две компоненты?

[drzewo]

Кстати, является ли функция первым интегралом дифференциальных уравнений проверить легко: посчитать ее производную в силу дифура и посмотреть равна она нулю или нет.
То есть вопрос, фактически, возник из того, что лень уравнения писать.

[мат-ламер]

reterty
Если в цилиндрических координатах для вас сложно, то задачу можно расщепить в декартово произведение двух подзадач. Первая подзадача - равномерное движение вдоль нити. Вторая подзадача - классическая задача двух тел с понятно какими интегралами. Не хочу подсказывать. Здесь это не приветствуется. Если не разберётесь, то в учебниках механики эта тема есть.

[reterty]

Кроме энергии, интегралами движения в цилиндрической СК являются: $v_z$, $v_\varphi$, $L_z$, $L_\rho$ (ось $z$ совмещена с нитью).

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1642990 писал(а):

Кроме энергии интегралами движения в цилиндрической СК являются: $v_\varphi$

Не понял. Вы какие-то буковки пишете без объяснений. И что там в одном из законов Кеплера сохраняется?

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1642992 писал(а):

reterty в сообщении #1642990 писал(а):

Кроме энергии интегралами движения в цилиндрической СК являются: $v_\varphi$

Не понял. Вы какие-то буковки пишете без объяснений. И что там в одном из законов Кеплера сохраняется?

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindric ... ate_system $v_\varphi=\rho\dot{\varphi}$, $v_z=\dot{z}$....

[мат-ламер]

reterty
Я ваших букв не понимаю. Если вы думаете, что сохраняется угловая скорость вращения вокруг нити, то нет. Сохраняется заметаемая площадь. Однако, может я вас не так понял.

[reterty]

Нет, $v_\varphi =\rho \dot{\varphi}$ не сохраняется

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1642987 писал(а):

reterty
Если в цилиндрических координатах для вас сложно, то задачу можно расщепить в декартово произведение двух подзадач. Первая подзадача - равномерное движение вдоль нити. Вторая подзадача - классическая задача двух тел с понятно какими интегралами. Не хочу подсказывать. Здесь это не приветствуется. Если не разберётесь, то в учебниках механики эта тема есть.

Вообще говоря, это задача о движении в поле с логарифмическим потенциалом (напряженность поля обратно пропорциональна радиальной координате)

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1643011 писал(а):

Вообще говоря, это задача о движении в поле с логарифмическим потенциалом (напряженность поля обратно пропорциональна радиальной координате)

Я тут смотрю учебник механики Болотина (п.2.2.1) . Рассмотрен случай с центральной силой с произвольным потенциалом. Интеграл площадей имеет место быть. Закон сохранения энергии записывается с помощью приведённого потенциала. Кеплер произвольный потенциал не рассматривал Но, тем не менее, у Болотина теорема 2.13 - второй закон Кеплера - заметаемые площади равны.

-- Вс июн 16, 2024 21:25:42 --

reterty в сообщении #1643011 писал(а):

Вообще говоря, это задача о движении в поле с логарифмическим потенциалом (напряженность поля обратно пропорциональна радиальной координате)

Для лучшей ясности попробуйте и по такому пути пойти:

drzewo в сообщении #1642967 писал(а):

гамильтониан напишите в цилиндрических координатах для начала

На любую проблему полезно с разных сторон посмотреть.

[reterty]

мат-ламер в сообщении #1643017 писал(а):

reterty в сообщении #1643011 писал(а):

Вообще говоря, это задача о движении в поле с логарифмическим потенциалом (напряженность поля обратно пропорциональна радиальной координате)

Я тут смотрю учебник механики Болотина (п.2.2.1) . Рассмотрен случай с центральной силой с произвольным потенциалом. Интеграл площадей имеет место быть. Закон сохранения энергии записывается с помощью приведённого потенциала.

-- Вс июн 16, 2024 21:25:42 --

reterty в сообщении #1643011 писал(а):

Вообще говоря, это задача о движении в поле с логарифмическим потенциалом (напряженность поля обратно пропорциональна радиальной координате)

Попробуйте и по такому пути пойти:

drzewo в сообщении #1642967 писал(а):

гамильтониан напишите в цилиндрических координатах для начала

1. В данном случае имеет место сохранение продольной компоненты момента импульса $L_z$, однако, сила не центральная а осевая.
2.Другая особенность этой задачи в том что она полностью эквивалентна в динамическом отношении задаче о движении заряженной частицы в магнитном поле бесконечного прямого проводника с током: https://people.reed.edu/~jfrankli/Cours ... Motion.pdf.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1643024 писал(а):

1. В данном случае имеет место сохранение продольной компоненты момента импульса $L_z$, однако, сила не центральная а осевая.

Это как На частицу вдоль нити действует сила? Которая будет её бесконечно разгонять и добавлять энергии? Моя интуиция тут пасует. Я спать ложусь. Может меня кто сменит.

Вы пока пишите лагранжиан, гамильтониан и т.д. Чтобы ваши мысли были формулами обоснованы. А то вы просто ответ представили. И то непонятными символами.

[Geen]

reterty в сообщении #1642990 писал(а):

интегралами движения в цилиндрической СК являются: $v_z$, $v_\varphi$, $L_z$, $L_\rho$ (ось $z$ совмещена с нитью).

Гм, $L_z$ сохраняется, $v_\varphi$ сохраняется... значит $\rho$ сохраняется?....