Метод координат

[LILILILILI]

dgwuqtj в сообщении #1640582 писал(а):

В ЕГЭ вряд ли такое понадобится, но вообще пусть дан многоугольник с вершинами $v_1, \ldots, v_n$. Формально это набор точек в пространстве, лежащих в одной плоскости, причём соответствующая замкнутая ломаная без самопересечений. Тогда площадь многоугольника — это $S = \frac 1 2 |\sum_{k = 1}^n v_k \times v_{k + 1}|$, где, естественно, $v_{n + 1} = v_1$. Если ломаная является прямоугольником, скажем, то проще использовать формулу школьной геометрии.

Правильно ли я понимаю формулу: считается сумма всех определителей матриц, берется с положительным знаком и делится на 2? То есть в итоге получается, что мы разделили многоугольник на треугольники, нашли их площади и сложили? Ту точку, относительно которой будет начинаться счет, и направление же можно выбирать как угодно? И по точкам считаем до того момента, пока не будет посчитана пара с точками: предпоследняя-последняя и последняя-первая?

[Mihr]

vpb в сообщении #1640438 писал(а):

это задача "повышенной трудности", в том смысле, что требует нестандартной идеи (посчитать объем двумя способами), отсутствующей в учебнике. И, тем самым, странно её видеть в ЕГЭ. Предосудительно даже.

Как я понимаю, вся вторая часть ЕГЭ по математике профильного уровня состоит из задач повышенной сложности. 18-я и 19-я задачи - вообще олимпиадные, ничего достаточно близкого тематикой и уровнем сложности в школе не проходят. Ведь как-то к этому уже привыкли. И школьники, ориентированные на поступление в ведущие вузы, знают: того, что дают им в школе, вовсе не достаточно. Хочешь набрать более 80 баллов - работай дополнительно. И очень серьёзно.
На мой взгляд, во второй части ЕГЭ встречаются задания, требующие для решения куда более нестандартных идей. По сравнению с ними дважды написать объём одного многогранника - выглядит практически стандартным приёмом.

(Личная история)

Кстати, помню до сих пор. В конце 8-го класса сдавал устный экзамен по геометрии. В билете - два вопроса и то ли одна, то ли две задачи. Вот над задачей я и затупил. А идея там, по сути, была ровно такая же: дважды написать меру одной и той же фигуры. Только в качестве меры выступала площадь, а не объём. Нужно было то ли найти сторону треугольника, зная другую сторону и две высоты, проведённые к этим сторонам, то ли найти высоту, зная другую высоту и две стороны. Конечно, задача пустяковая, и в спокойной обстановке решилась бы быстро. Но тут экзамен, а мне как-то раньше такие задачи не встречались... Занервничал сильно. Хорошо, кто-то шепнул: "Вырази площадь". Вот с тех пор мне этот приём в память и врезался

Хочу заметить: метод объёмов - тема довольно плодотворная. Используется не только для нахождения расстояния от точки до плоскости, но и для нахождения площадей, углов между прямой и плоскостью, углов между плоскостями, расстояний между скрещивающимися прямыми. Классная вещь. И каждому школьнику, рассчитывающему на высокий балл в ЕГЭ по математике профильного уровня, как мне кажется, стоит в нём разобраться.

[dgwuqtj]

LILILILILI в сообщении #1640587 писал(а):

Правильно ли я понимаю формулу: считается сумма всех определителей матриц, берется с положительным знаком и делится на 2?

Это в плоскости, а в трёхмерном случае там длина суммы векторных произведений. От начала координат сумма не зависит, при смене направления обхода выражение под знаком модуля меняет знак. Всего $n$ слагаемых, разумеется.

[мат-ламер]

LILILILILI в сообщении #1640587 писал(а):

Правильно ли я понимаю формулу: считается сумма всех определителей матриц, берется с положительным знаком и делится на 2?

Это не про понимание формулы. Это про то, как можно организовать вычисления. А вычислять можно и по-другому. Векторное произведение не обязательно расписывать через определитель. Хотя зачастую наиболее удобно именно через него.

LILILILILI в сообщении #1640587 писал(а):

То есть в итоге получается, что мы разделили многоугольник на треугольники, нашли их площади и сложили?

Это разумный подход для нахождения площади многоугольника. Только то, что вы написали ранее, это не совсем то. Хотя для выпуклых многоугольников это то. А для невыпуклых есть нюансы.

Разницу между написанным вами и формулой сможете найти? В формуле суммируются некие члены. Для невыпуклого многоугольника они не обязаны быть положительными числами. В принципе это вообще вектора. В конце модуль берётся от полученной суммы. В вашем предложении модули берутся от каждого члена и затем суммируются.

-- Ср май 29, 2024 08:11:03 --

LILILILILI в сообщении #1640587 писал(а):

Правильно ли я понимаю формулу: считается сумма всех определителей матриц

dgwuqtj в сообщении #1640590 писал(а):

Это в плоскости, а в трёхмерном случае там длина суммы векторных произведений.

Сумма векторных произведений равна сумме всех определителей. (У нас определитель - это вектор).

-- Ср май 29, 2024 08:15:26 --

Mihr в сообщении #1640588 писал(а):

По сравнению с ними дважды написать объём одного многогранника - выглядит практически стандартным приёмом.

Зачастую в задачах объём тетраэдра легко находится через одну шестую от модуля смешанного произведения. Приём стандартный, но не факт, что даётся во всех классах.

-- Ср май 29, 2024 08:21:59 --

Mihr в сообщении #1640588 писал(а):

И школьники, ориентированные на поступление в ведущие вузы, знают: того, что дают им в школе, вовсе не достаточно. Хочешь набрать более 80 баллов - работай дополнительно.

Эти школьники зачастую уже поучаствовали в олимпиадах с таким успехом, что им от ЕГЭ будет достаточно и 80-ти баллов. Но тут уже, чтобы поиметь успех в олимпиадах, безусловно надо работать дополнительно. И знать и уметь чуть более, чем то, что в стандартной программе.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1640604 писал(а):

Зачастую в задачах объём тетраэдра легко находится через одну шестую от модуля смешанного произведения.

Это не про обычную школу. Ни векторное произведение, ни, тем паче, смешанное в школьную программу не входят. Определители, кстати, тоже. Так что задача стандартно-вычислительная для первокурсника не является таковой для старшеклассника.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1640623 писал(а):

Это не про обычную школу. Ни векторное произведение ... в школьную программу не входят.

Школы и классы бывают разные. Вот пример программы (для профильных классов с углублённым изучением математики), в которую векторное произведение входит (см. стр. 57). Да и хотя бы в учебнике Атанасяна и др. это произведение есть.

Mihr в сообщении #1640623 писал(а):

ни, тем паче, смешанное

Достаточно открыть интернет и убедиться, что это произведение есть последовательное выполнение уже известных скалярных и векторных произведений. В данной теме можно считать, что это мой личный жаргон, применённый для краткости письма.

Mihr в сообщении #1640623 писал(а):

Определители, кстати, тоже.

Определители уже упоминались в этой теме. При желании координаты векторного произведения можно расписать без определителя, просто почленно в координатах умножая один вектор на другой, используя свойство дистрибутивности и антикоммутативности.

[vpb]

мат-ламер в сообщении #1640628 писал(а):

Да и хотя бы в учебнике Атанасяна и др. это произведение есть.

Нет, нету, в чем нетрудно убедиться, заглянув в этого самого Атанасяна. Если бы было, то оснований для дискуссии у нас было бы гораздо меньше, а если бы там еще впрямую объяснялось, как написать уравнение плоскости по точке и двум параллельным векторам, или по трем точкам --- то и вообще бы не было.

Собственно говоря, я, кажется, догадался, в чем дело. То расхождение между предлагаемыми задачами и тем, чему можно научиться непосредственно из учебника, имеет естественное объяснение, а не вредительство. А именно, заметим, что обсуждаемая задача --- с досрочного ЕГЭ. А это, кажется, по определению что-то еще слегка более сложное, чем профильный, типа полу-олимпиада. И все об этом знают. Т.е. пошел на досрочный --- значит будь готов, что там будет что-то особенно заковыристое, может даже и чутка за пределами школьной программы. Но, может, я что-то и путаю. В общем, я имею в виду, что на самом деле тут справедливость не нарушена.

[мат-ламер]

vpb в сообщении #1640632 писал(а):

Нет, нету, в чем нетрудно убедиться, заглянув в этого самого Атанасяна.

Кстати, да! Извиняюсь. Я просто перед не тот учебник открыл. А открыл я учебник Александров, Вернер, Рыжик "Геометрия. Учебник для 11 класса с углубленным изучением математики". Так там векторное произведение есть - параграф 36. Есть и формула для координат этого векторного произведения (пар. 36.4). А был я уверен, что векторное произведение есть в программе, потому как видеоблоггер Павликов (математик МГУ) в своих роликах уверенно его использует. Да и топик-стартер его упоминает. Более того, тот же Павликов (не ручаюсь точно, но вроде) использовал для нахождения расстояния от точки до плоскости объём тетраэдра. А его объём для сложных случаев считал через что-то похожее на смешанное произведение, явно не используя этот термин. И этот же Павликов говорил про как-бы известную заранее всем формулу расстояния от точки до плоскости (кстати, она упоминается в той программе, ссылку на которую я давал).

vpb в сообщении #1640632 писал(а):

А это, кажется, по определению что-то еще слегка более сложное, чем профильный, типа полу-олимпиада.

Очень даже может быть. Во всяком случае тот же Павликов выложил ролик как-бы с реального будущего ЕГЭ (по крайней мере - на что можно ориентироваться). Вот - на 1:49:33 . Я там в 14-й задаче стереометрии как таковой вообще не обнаружил. В смысле не надо никакого трёхмерного чертежа, сложных сечений, скалярных и векторных произведений. Пункт а) на доказательство. Но по сути это планиметрия. Достаточно плоского чертежа. Пункт б) - чисто манипуляция со стандартными формулами. Не надо ни трёхмерного рисунка, ни особого трёхмерного воображения. А может не так много справились полностью с 14-й задаче в досроке, поэтому решили её упростить.

-- Ср май 29, 2024 18:50:29 --

В ролике Павликова меня лично поставила в тупик задача 17 по планиметрии (на 2:14:00) . Меня смутили слова "биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника". Они обе идут из одной вершины. И из текста задачи видно, что они пересекают какую-то другую прямую в разных точках. Но по моему разумению эти две биссектрисы должны лежать на одной прямой. Что-то не догоняю.

-- Ср май 29, 2024 19:02:43 --

Далее Павликов рисует этот "внешний угол". Но так, как он это нарисовал, внешний угол не определяется однозначно. Он допускает двоякое толкование. Хотя по смыслу задачи оно должно быть однозначным. Именно поэтому такое толкование я и не рассматривал. Хотя может доказываемая формула верна при обеих толкованиях.
Вот определение внешнего угла. Я про это подумал сразу. Но меня смутила неоднозначность.

-- Ср май 29, 2024 19:10:19 --

Задача 18 (уравнение с параметром - на 3:02:10) очень сильно проще, чем в досроке. Учитывая чётность левой и правой части уравнения.

[lel0lel]

Помнится, что на досрочный экзамен допускаются только те учащиеся, которые принесли некую заверенную справку, что они не смогут сдавать экзамен в основное время. Это может быть, например, по следующим причинам: соревнования (если учащийся спортсмен некоего официального заведения), выступления (всевозможные концерты у музыкантов и гастроли у актёров), назначенные на это время операции у учащегося, и другие, но схожие причины. Другими словами, досрок никак не связан с усиленным уровнем знаний, более-того, олимпиадников, которые по каким-то сугубо личным причинам хотят заранее сдать экзамен, на досрок не допустят, если у них нет вышеупомянутой справки. В моей практике были учащиеся, которым нужно было только подтвердить свои 100 баллов, все сдавали экзамен в основную волну. Также, по собственным ощущениям, сложность досрока и основной волны одинаковая. Обсуждаемая задача вполне могла попасться и на грядущем экзамене. Что касается подготовки, то, действительно, ко второй части необходимо готовиться дополнительно (программы средней школы не хватит). Но существует огромное количество источников (с решением этих дополнительных задач), где методы решения подробно разбираются. При желании, можно успешно подготовиться самостоятельно. Кроме того, не так уж много этих "дополнительных тем", и все они из года в год примерно повторяются. Эта тема с объёмом пирамиды, помнится, ещё в году 2012 была на экзамене, а перед этим множество подобных задач в пособиях для подготовки к ЕГЭ. Потом, раз в три -- четыре года что-то подобное снова появлялось на экзамене. А в пособиях для подготовки она есть обязательно ежегодно.

[мат-ламер]

Последняя 19-я задача (на 3:24:45) вообще элементарна. Условие (в моей интерпретации): На доске записано пять целых чисел: $n$ , $n+m$ , $n+2m+1$ , $n+3m+3$ , $n+4m+6$ ($n$ и $m$ натуральные). Может ли их сумма $S=5n+10m+10$ равняться
а) $300$ ?
б) $426$ ?
в) Чему равен максимум $n+4m+6$ при условии $S=100$ , то есть при условии $n+2m=18$ ?
Очевидно, что в пункте в) максимум достигается при $n=2$ и $m=8$ . Решение оставляю топик-стартеру.

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1640633 писал(а):

как-бы с реального будущего ЕГЭ

Очень хороший вариант, надеюсь такие и будут на экзамене)
Есть вопрос. В данном случае, если применять обобщенный метод интервалов (написал ОДЗ, нашел нули числителя и знаменателя. Но метод рационализации я не применял), обязательно ли проверять точки с каждого промежутка или можно чередованием?

[Cuprum2020]

LILILILILI в сообщении #1640652 писал(а):

обязательно ли проверять точки с каждого промежутка или можно чередованием?

Можно чередованием (эта информация мною почерпнута с трансляций Павликова)

[мат-ламер]

Вот на ролик натолкнулся. Задача 14 на 3:30. Как раз про то, что в этой теме обсуждалось. От пирамидки (тетраэдра) отрезали сечением кусок. Нужно сравнить объёмы исходного тетраэдра и отрезанного. Также найти площадь сечения. Поскольку тема про координатный метод, то можно отметить, что векторно-координатным методом задача решается. Где-то тут писал, что объём тетраэдра можно вычислить с помощью смешанного произведения. Последнее есть трилинейная функция. Поэтому отношение объёмов тетраэдров есть (в нашем случае) произведение отношений длин рёбер. Площадь сечения можно выразить через векторное произведение.

[vpb]

мат-ламер в сообщении #1640872 писал(а):

можно отметить, что векторно-координатным методом задача решается

Да к чему ? Это же совершенно тривиальная геометрическая задача, тут никакие векторы и координаты не нужны. Вот смотрите. Есть какой-то тетраэдр $KABC$, и на его ребрах $KA$, $KB$, $KC$ три точки $A_1$, $B_1$, $C_1$. Тогда $V_{KABC}/V_{KA_1B_1C_1}=(KA/KA_1)\cdot (KB/KB_1)\cdot (KC/KC_1)$.

Действительно, заметим, для начала, следующее: если у нас есть две прямые $l$, $m$, пересекающиеся в точке $P$, и $A,B$ --- две точки на $m$, и $AQ$, $BR$ --- перпендикуляры из них на $l$, то $AQ$ относится к $AP$, как $BR$ относится к $BP$ (очевидно из подобия. В принципе, это в работе можно объяснить и подробнее, как ученик сочтет нужным). И совершенно аналогичный факт с пропорциональностью имеет место, когда прямая пересекает плоскость, на этой прямой есть две точки, и мы рассматриваем перпендикуляры из этих точек на плоскость.

А теперь рассуждаем так. В треугольниках $KAB$ и $KA_1B_1$ стороны $KA$ и $KA_1$ лежат на одной и той же прямой, и относятся как $KA:KA_1$. А опущенные на них высоты относятся как $KB:KB_1$. Значит, площади относятся как $(KA/KA_1)\cdot(KB/KB_1)$ (что, впрочем, видно и из формулы для площади по двум сторонам и углу, учитывая, что угол $AKB=A_1KB_1$ общий). Далее, высоты из $C$ и $C_1$, опущенные на плоскость $KAB$, относятся как $KC:KC_1$. Остается вспомнить формулу объема пирамиды.

(Про площадь сечения чуть позже).

-- 31.05.2024, 18:11 --

Теперь про площадь сечения (используем обозначения из ролика). Прежде всего, угол $SAB$, а точнее его косинус, легко находится из теоремы косинусов, примененной к треугольнику $SAB$. Отметим, что этот косинус будет рациональным числом. Зная его, и применяя ту же теорему косинусов к $KAE$, находим $KE$. И тем самым мы знаем и $KF$. Дальше, $EF$ легко находится из подобия (или из того же самого рассуждения с теоремой косинусов, но это было бы извращением...). Теперь можно найти площадь $KEF$ по формуле Герона. А можно и не вспоминать про Герона, а найти, например, косинус угла $EKF$ по теореме косинусов, из него найти синус, а потом применить формулу площади по углу и двум сторонам. Вот и фсё. (А автор ролика, я считаю, перемудрил с дополнительными построениями и т.д.).

И еще. Когда человек на ЕГЭ применяет аналитическую геометрию, типа площадь треугольника через векторное произведение, то сразу в голове всплывает вопрос: слушай, приятель, а ты знаешь, как это утверждение, которое ты применяешь, доказывается ? А если не знаешь, то и применять его незаконно. А доказывается-то оно рассуждениями из синтетической геометрии. Поэтому знать ее надо по любому. А если ты ее знаешь, то и векторное произведение не нужно. У меня лично даже и мысли решать через него не всплывает. Нет, оно, конечно, нужно, но для задач гораздо сложнее, чем ЕГЭ. А применять его на ЕГЭ --- это такое жульничество. Хотя, может, на это и смотрят сквозь пальцы, не знаю какова практика, но если по-честному смотреть --- жульничество. И проистекает это не от крутости, а наоборот, увы..

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1640872 писал(а):

Вот на ролик натолкнулся. Задача 14 на 3:30. Как раз про то, что в этой теме обсуждалось. От пирамидки (тетраэдра) отрезали сечением кусок. Нужно сравнить объёмы исходного тетраэдра и отрезанного. Также найти площадь сечения. Поскольку тема про координатный метод, то можно отметить, что векторно-координатным методом задача решается. Где-то тут писал, что объём тетраэдра можно вычислить с помощью смешанного произведения. Последнее есть трилинейная функция. Поэтому отношение объёмов тетраэдров есть (в нашем случае) произведение отношений длин рёбер. Площадь сечения можно выразить через векторное произведение.

Как раз писал я сегодня этот экзамен. Знаете, то ли после того, как приходилось повторять слишком много всего за 2 дня между русским и математикой, то ли из-за стресса, я допустил ошибки не в том, что формул и способов не знал, а в том, что посчитать не мог. Как то так у меня и стереометрия отпала (нужно было доказать параллельность, ну и искал я уравнение плоскости, затем хотел через скалярное произведение доказать параллельность плоскости и прямой), раз 20 перерешал, все время удивительным образом разные координаты нормали и неравные единице косинусы. Параметр отлетел - каким-то неведомым образом, я неправильно нашел вершину параболы! В тригонометрическом уравнении, не поверите, тоже ошибка! У синуса 1 и 2 четверти с положительными значениями. Так вот, я просто проигнорировал первую четверть и не указал, что там есть корни... Про экономическую, я думаю, вы догадываетесь) Составил математическую модель, пересчитал раз 5 и ни разу не получил нормальный ответ, в итоге наугад записал ответ. По крайне мере вроде бы былл за тригонометрическое и экономическое будет, неравенство, видимо, правильно решил, по планиметрии, по крайне мере, 1 балл будет, 19, видимо, решил, хоть и не уверен на счет обоснования и пункта в.

Подскажите, пожалуйста, если есть контейнеры массой 20 и 40, а контейнеров с сахаром (масса = m) 60% от всех контейнеров, остальные - масса M, то максимальное значение дроби $\frac m {m+M}$ - будет достигаться при максимальном значении m и минимальном значении M?


В общем, пролетел я с этим экзаменом. Допустил на столько глупые ошибки, сам в шоке. Казалось бы, уже и касательные к эллипсу искал, и видел достаточно сложные преобразования с использованием функциональных методов. А тут меня сразила вершина параболы. Какая это ирония!
Остается надеяться на то, что в этих ошибках большую роль сыграло то давление, которое оказывается из-за экзаменов, а не мое знание математики. И остается надеяться на приемлемый балл.