Метод координат

[мат-ламер]

LILILILILI в сообщении #1640368 писал(а):

Благодярю за задачу. Правильный ответ я вроде бы получил. Скажите, пожалуйста, правильный ли ход мысли у меня был:

Сначала нашел координаты некоторых важных точек и векторов. Затем составил матрицу: базисы, координаты вектора AC, координаты вектора DB1, затем нашел определитель и получил вектор, который будет нормалью к данной в условии плоскости. Затем написал уравнение плоскости, посчитал сдвиг, подставив точку B1 в уравнение. Затем нашел параметрическое уравнение прямой CC1, решил его - получил точку касания (доказал пункт (а), так как точка находится посередине CC1).

А я задачу пока не решал. Я задачу для вас привёл, чтобы вы знали, какого примерно уровня будут задачи на реальном ЕГЭ. И тут вопрос не стоит, правильно или нет. Вроде правильно. Можно поставить вопрос, а можно ли как-то упростить доказательство? Не знаю. А зачем? Доказали и доказали. В подробности я не вникал. Но я бы шёл примерно таким же путём.

LILILILILI в сообщении #1640368 писал(а):

Расстояние нашел через расстояние от точки до плоскости, просто подставив координаты точки B в уравнение расстояния, что и стало ответом на пункт (б).

А второй пункт в том видео Павликов решал именно координатным способом. Можете посмотреть.

[LILILILILI]

vpb в сообщении #1640370 писал(а):

Если брать "в целом", то Атанасян --лучший учебник. На всякий случай, укажу еще несколько (без подробной характеристики их достоинств и недостатков).

А.П.Киселев, Геометрия (2004)
Киселев, Глаголев, Рыбкин, Геометрия 8-9 (1966)
Никитин, Геометрия 6--8 (1971)
Атанасян, Позняк, Геометрия 6--8 (учебник не получил распространения. Но, по моему, он более аккуратен в логическом отношении, чем нынешний Атанасян).
Калинин, Терешин, Геометрия 10--11 (своеобразный, скажем так...).

Благодарю за учебники, просмотрю их, уверен, что найду моменты, которые надо выучить заново или что-то новое.

vpb в сообщении #1640370 писал(а):

(Правда, во всех указанных учебниках тригонометрия остается, скажем так, за кадром...).

Я попробую поискать статьи или книги специально под тригонометрию, надеюсь найду такие.

-- 26.05.2024, 21:04 --

мат-ламер в сообщении #1640372 писал(а):

А второй пункт в том видео Павликов решал именно координатным способом. Можете посмотреть.

Я посмотрел. У Павликова уравнение плоскости выглядит более привлекательно, но в итоге ответ сходится.

Единственное, что смущает меня в данной задаче - оформление. На сколько я понимаю, в кодификаторе матрицы не прописаны, а тут я искал определитель через алгебраическое дополнение. Буду надеяться на лояльность экспертов, если попадется задача, похожая на данную.

[dgwuqtj]

LILILILILI в сообщении #1640373 писал(а):

Я попробую поискать статьи или книги специально под тригонометрию, надеюсь найду такие.

Так в школьной программе тригонометрия обычно в учебниках алгебры и анализа за 9-10 классы.

[LILILILILI]

dgwuqtj в сообщении #1640378 писал(а):

LILILILILI в сообщении #1640373 писал(а):

Я попробую поискать статьи или книги специально под тригонометрию, надеюсь найду такие.

Так в школьной программе тригонометрия обычно в учебниках алгебры и анализа за 9-10 классы.

Я думал, что Вы имеете ввиду решение геометрии с помощью тригонометрии.

[dgwuqtj]

А, ну так всё, что сложнее стандартного решения треугольников, можно и в координатах считать. Речь же не про олимпиадные задачи.

[svv]

LILILILILI
Вот ещё решение. Обозначим плоскость сечения через $\gamma$. Координаты — как в видео.

a) Прямая $B_1D$ — диагональ прямоугольного параллелепипеда, поэтому проходит через его центр $O$. Поскольку $B_1\!\in\gamma$ и $D\in\gamma$, то и $O\in\gamma$.
Пусть $A_0,C_0$ — середины сторон $AA_1$ и $CC_1$ соответственно. Прямая $A_0C_0$ параллельна $AC$ (и тем самым параллельна $\gamma$) и проходит через $O$, поэтому она лежит в $\gamma$. Значит, $C_0=K$.

б) Найдём вектор нормали к $\gamma$ как векторное произведение двух линейно независимых векторов, параллельных $\gamma$:
$\vec n=\vec{DK}\times\vec{A_0C_0}=(3,0,3)\times(3,4,0)=(-12,9,12)=3(-4,3,4)$
Теперь найдём единичный вектор нормали:
${\vec n}_1=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}=\dfrac{(-4,3,4)}{\sqrt{41}}$
Расстояние от $B$ до $\gamma$ — это длина проекции $\vec{BK}$ на ${\vec n}_1$ (вместо $K$ можно взять любую другую точку $\gamma$).
$|\vec{BK}\cdot {\vec n}_1|=\dfrac{(0,4,3)\cdot(-4,3,4)}{\sqrt{41}}=\dfrac{24}{\sqrt{41}}$

[vpb]

vpb в сообщении #1640352 писал(а):

Легко. Подробности уж, извините, писать не буду (они гораздо легче, чем в предыдущей).

Тут у меня, извиняюсь, заскок случился. Первый пункт действительно тривиальный, а вот расстояние синтетическим способом не найдешь. (Или, может быть найдешь, но как-то очень сложно, явно не на уровне школьника; я даже думать не стал.) Это, в самом деле, задача именно на векторы и координаты.

Но обращает на себя внимание вот что: чтобы ее решить, надо уметь записывать уравнение плоскости по трем точкам (или по точке и двум векторам, параллельным плоскости). Можно это делать через векторное произведение, можно еще как-то. Но, заметим, как это сделать, в учебнике Атанасяна не написано (и даже задачи такой, чтобы ученики сами на досуге поразмыслили, нету), и догадаться об этом самому, не зная заранее, имхо, невозможно ! Несмотря на то, что это просто (можно, скажем, и не вспоминать про векторное произведение, а рассматривать коэффициенты в гипотетическом уравнении плоскости как неизвестные, и составить систему из трех уравнений с тремя коэффициентами, и потом ее решить, способом подстановки, например. Метод Гаусса в школе, опять же, не проходят.).
В любом случае, задача требует именно дополнительных знаний, за пределами школьного учебника, а не какой-то сообразительности. Короче, дается задача, заранее рассчитанная только на учеников физматшкол, а всех остальных --- отсечь. Это или глупость составителей, или вредительство.

[lel0lel]

vpb в сообщении #1640426 писал(а):

Первый пункт действительно тривиальный, а вот расстояние синтетическим способом не найдешь. (Или, может быть найдешь, но как-то очень сложно, явно не на уровне школьника; я даже думать не стал.)

Расстояние от точки до плоскости можно искать, выбрав удобную пирамидку, одна из вершин которой совпадает с данной точкой, остальные лежат в данной плоскости. Считаем объём двумя способами, выбирая различные высоты пирамиды. Обычно одну высоту найти просто, как и площади оснований.

[vpb]

lel0lel в сообщении #1640433 писал(а):

Расстояние от точки до плоскости можно искать, выбрав удобную пирамидку, одна из вершин которой совпадает с данной точкой, остальные лежат в данной плоскости. Считаем объём двумя способами, выбирая различные высоты пирамиды. Обычно одну высоту найти просто, как и площади оснований.

Да, Вы правы! Действительно, эту задачу можно решить, не выходя за пределы школьных знаний. Но всё равно, это задача "повышенной трудности", в том смысле, что требует нестандартной идеи (посчитать объем двумя способами), отсутствующей в учебнике. И, тем самым, странно её видеть в ЕГЭ. Предосудительно даже. Откуда бы ученик мог эту идею узнать, если не занимался нигде и ни с кем дополнительно ? Я не вижу. Я даже не знаю общедоступной книжки, где бы она была изложена. Короче, опять-таки, добросовестный и способный ученик, в распоряжении которого, однако, есть только школьный учебник, а в школе --- посредственный (а с чего предполагать противоположное ?) учитель, эту задачу не решит.

[мат-ламер]

vpb в сообщении #1640438 писал(а):

Короче, опять-таки, добросовестный и способный ученик, в распоряжении которого, однако, есть только школьный учебник, а в школе --- посредственный (а с чего предполагать противоположное ?) учитель, эту задачу не решит.

Добросовестный и способный ученик может просто за отведённое время не успеть решить, проверить и красиво переписать из черновика в чистовик решение всех 19-ти заданий. У него может просто мозги соображают основательно, но не сильно быстро. Другое дело, если он предусмотрительный, он может заранее на олимпиадах выступить хорошо, что ему и не надо максимальный результат на ЕГЭ. Опять же и это не каждому дано.

Я вот последнюю абсолютно тупую задачу по теории чисел решал полчаса только потому, что тщательно по несколько раз перепроверял все варианты, чтобы не ошибиться. Если на каждую сложную задачу будет уходить по полчаса, то времени не хватит.

[vpb]

мат-ламер в сообщении #1640449 писал(а):

Добросовестный и способный ученик может просто за отведённое время не успеть решить, проверить и красиво переписать из ч

Мы с Вами про разные вещи. Вы про то, что у учеников есть индивидуальные ограничения, в силу различия психофизических параметров. А я про то, что не предоставляются равные возможности людям в принципе равных способностей, трудолюбия и здоровья. Причем преднамеренно. Вроде избирательного права для негров в Америке в 19 веке. Право, пожалуйста, есть, но есть еще ценз грамотности. При том для неграмотных белых были лазейки (т.наз. "дедушкина оговорка"). Совершенно аналогично и тут: если школьник живет в Москве и у его обеспеченных родителей есть возможность оплатить занятия с дорогим репетитором, который ему расскажет про прием с пирамидкой, он этот прием будет знать, а иначе хрен.

[мат-ламер]

vpb в сообщении #1640426 писал(а):

В любом случае, задача требует именно дополнительных знаний, за пределами школьного учебника, а не какой-то сообразительности. Короче, дается задача, заранее рассчитанная только на учеников физматшкол, а всех остальных --- отсечь. Это или глупость составителей, или вредительство.

А я не вижу претензий к составителям задач. Надо как-то выделить людей, которым математика интересна и у которых голова соображает. Если ученику математика интересна, то он будет интересоваться не только тем, что задают в школе. Если у ученика голова соображает, то он может решать не только стандартные задачи, но и те, где надо немного подумать. Все детали - объёмы, площади, треугольники, тетраэдры, векторы, скалярные, векторные произведения в школе проходят. Осталось только эти детали скомбинировать вместе. Если ЕГЭ будет состоять только из стандартных задач, то возникнут претензии к ЕГЭ уже с другой стороны. Всем не угодишь.

Другое дело, если хочется выделить людей, которые любят и умеют думать, то дайте им на это время. Об этом и мой прошлый пост.

-- Пн май 27, 2024 19:23:09 --

vpb в сообщении #1640463 писал(а):

А я про то, что не предоставляются равные возможности людям в принципе равных способностей, трудолюбия и здоровья.

Сейчас любой ученик может зайти в ютуб и посмотреть вот этот ролик Трушина , в котором рассказывается об основных типовых приёмах решения задач в стереометрии. Возможно эти приёмы есть и в бумажных пособиях по подготовка к ЕГЭ - не смотрел.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1640471 писал(а):

Другое дело, если хочется выделить людей, которые любят и умеют думать, то дайте им на это время. Об этом и мой прошлый пост.

Кстати, на счёт времени. Вот стереометрическая задача из пособия Балаяна и др. за 2023. Все объекты в задаче крайне простые и их легко представить в голове и даже нарисовать трёхмерный рисунок.

В правильной четырёхугольной пирамиде $MABCD$ ($M$ -вершина) через сторону основания $BC$ проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный гранью $MBC$ и основанием. Найдите площадь сечения, если $AB=10$ и объём пирамиды равен $400$ .

Я тут слабо представляю, как воспользоваться советом Трушина на счёт нахождения площади сечения. Наверное нужно честно найти параметры трапеции, площадь которой надо найти. То есть найти и высоту трапеции и её углы. Теоретически задача несложная. Но она распадается на множество отдельных простых нудных подзадач. И тут вопрос времени становится определяющим. И вопрос, надо ли отсеивать школьников, которые могут такую задачу решить (с тщательной проверкой ответа) не за 20 минут, а за 40 ?

[LILILILILI]

А подскажите, пожалуйста, как можно найти площадь сечения, если знать расположения точек касания и координаты этих точек, не используя формулы площади проекции и т.п.? Я примерно понимаю, как быть, если сечение - простая фигура (окружность, параллелограмм, треугольник и т.п.), но как быть, если сечением является произвольный многоугольник? У меня возникают лишь два предположения: разбивать на простые фигуры и считать все это или брать какой-нибудь интеграл (чего я сделать никак не смогу). Но есть ли какие-либо формулы аналитической геометрии для решения таких задач?

Вопрос не построен на какой-либо задаче, просто хотелось бы узнать методы решения такого прототипа задач, если вдруг попадутся.

[dgwuqtj]

В ЕГЭ вряд ли такое понадобится, но вообще пусть дан многоугольник с вершинами $v_1, \ldots, v_n$. Формально это набор точек в пространстве, лежащих в одной плоскости, причём соответствующая замкнутая ломаная без самопересечений. Тогда площадь многоугольника — это $S = \frac 1 2 |\sum_{k = 1}^n v_k \times v_{k + 1}|$, где, естественно, $v_{n + 1} = v_1$. Если ломаная является прямоугольником, скажем, то проще использовать формулу школьной геометрии.