Метод координат

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1640245 писал(а):

Ссылку на задачу не дадите?

Не знаю по каким причинам, но официального решения в сборнике решили не приводить. Задачу взял из бумажной версии сбоника для подготовки к ЕГЭ, в них система странная: разбирают 17 вариант, а потом 21, между ними - ничего, то есть в 20 варианте сверяться можно только по кратким ответам, в которых не продемонстрированы рассчеты, доказательства и т.д.

В пункте (б) авторы указывают только $\arctg {(2\sqrt 6 + 2\sqrt 3)}$.

[мат-ламер]

Вот задача (задача 14 на 1:40:34) . Призма рассечена плоскостью не параллельной основанию. В качестве промежуточно шага надо заценить объём получившихся многогранников. Наверное задачу можно решить через двойной интеграл в декартовой системе координат. Что тут посоветовать ТС, пока не знаю, ибо пока сам задачу не решал.

-- Вс май 26, 2024 10:11:05 --

Или вот задача (1:21:51) . Треугольная призма рассечена плоскостью опять же не параллельной основанию. Требуется найти площадь сечения. В сечении получается треугольник. И его площадь можно найти через векторное произведение его сторон.

Наверное по ютубовским роликам можно прикинуть, какие типовые приёмы вычислений нужно освоить для написания ЕГЭ. А глубоко копать науку уже поздно и смысла не имеет.

ТС могу сказать, что векторный (координатный) метод в ряде случаев полезен. Сложные системы координат (типа сферических) знать не нужно. Для решения задач достаточно декартовой прямоугольной системы координат.

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1640298 писал(а):

Вот задача (задача 14 на 1:40:34) . Призма рассечена плоскостью не параллельной основанию. В качестве промежуточно шага надо заценить объём получившихся многогранников. Наверное задачу можно решить через двойной интеграл в декартовой системе координат. Что тут посоветовать ТС, пока не знаю, ибо пока сам задачу не решал.

-- Вс май 26, 2024 10:11:05 --

Или вот задача (1:21:51) . Треугольная призма рассечена плоскостью опять же не параллельной основанию. Требуется найти площадь сечения. В сечении получается треугольник. И его площадь можно найти через векторное произведение его сторон.

Наверное по ютубовским роликам можно прикинуть, какие типовые приёмы вычислений нужно освоить для написания ЕГЭ. А глубоко копать науку уже поздно и смысла не имеет.

ТС могу сказать, что векторный (координатный) метод в ряде случаев полезен. Сложные системы координат (типа сферических) знать не нужно. Для решения задач достаточно декартовой прямоугольной системы координат.

Хорошо, спасибо за ответ! Порекомендуйте, пожалуста, хорошие учебники по геометрии. Хочу начать понимать предмет. В школе давали учебники Л.С. Атанасяна - осталось много недопонятых и необъясненных моментов.

[dgwuqtj]

По-моему, Атанасян - это хороший учебник, просто там в начале всё опирается не строго на аксиомы. Но для решения задач и дальнейших применений это неважно.

[мат-ламер]

LILILILILI в сообщении #1640305 писал(а):

Порекомендуйте, пожалуста, хорошие учебники по геометрии. Хочу начать понимать предмет.

Вы когда поступаете в ВУЗ? В этом году или следующем? Из ваших текстов:

LILILILILI в сообщении #1640195 писал(а):

в школе геометрия была на очень плохом уровне

LILILILILI в сообщении #1640195 писал(а):

так как я думал, что в школе нас подготовят

я понял, что школу вы уже заканчиваете и глубоко копать в теорию уже поздно. Задача - хоть бы как-то сдать ЕГЭ, чтобы поступить в ВУЗ, пусть не топовый, но хоть какой-то. Поэтому я и написал:

мат-ламер в сообщении #1640298 писал(а):

А глубоко копать науку уже поздно и смысла не имеет.

Если вам удастся поступить в ВУЗ уже в этом году, то специально заморачиваться на счёт хороших школьных учебников по геометрии уже не стоит (ИМХО). У вас будет курс аналитической геометрии. Если что там непонятно и требуется вспомнить кое-что из школы , открываете любой школьный учебник (того же Атанасяна, к примеру). Если и там ничего непонятно, то пишете на форум.

А я не специалист в школьной геометрии. Может кто другой на ваш вопрос ответит. По мне так и Атанасян хорош. А вообще я школьную геометрию недолюбливал и недооценивал. Хотя задачи решал успешно.

[LILILILILI]

dgwuqtj в сообщении #1640310 писал(а):

По-моему, Атанасян - это хороший учебник, просто там в начале всё опирается не строго на аксиомы. Но для решения задач и дальнейших применений это неважно.

мат-ламер в сообщении #1640311 писал(а):

По мне так и Атанасян хорош.

Посмотря на Ваши ответы, я решил пробежаться по учебнику, вдруг это у меня сформировалось неверное мнение о нем. Оказывается так и есть. После того, как от нас требовали, чтобы формулы просто заучивылись, а их вывода нам не показывали (тогда и я не видел смысла делать что-то сверх программы), сформировалось максимально ошибочное мнение. Стало как-то неловко.

мат-ламер в сообщении #1640311 писал(а):

Вы когда поступаете в ВУЗ? В этом году или следующем?

Я сдаю экзамены и, надеюсь, поступаю в этом году. Просто планирую уже после экзаменов заняться геометрией заново и пересмотреть свои взгляды на предмет.

[мат-ламер]

LILILILILI
Дело не в том, хорош или плох Атанасян. Дело в том, что идеальных учебников не существует. Вполне возможно, что есть учебник, в котором некая тема изложена лучше, чем у Атанясана. Но может зато другая тема изложена хуже. Если бы был учебник, который во всех аспектах превосходил учебник Атанасяна, то я думаю, что он бы пользовался большой популярностью. По крайней мере у тех, кому школьная геометрия важна и интересна.

[LILILILILI]

Не могу не согласиться с Вами.

Благодарю всех, кто откликнулись на мой вопрос. Вы помогли мне понять как тот вопрос, который меня интересовал, так и помогли пересмотреть некоторые взгляды на предмет.

[vpb]

В исходной задаче не нужны никакие координаты, даже декартовы (и тем более сферические и т.д.), это чисто синтетическая задача, причем довольно стереотипная (на то оно и ЕГЭ).

Значицо, так. У параллелепипеда два основания, $ABCD$, нижнее, и $A_1B_1C_1D_1$, верхнее. Это одинаковые прямоугольники. Сечение конуса плоскостью нижнего основания --- окружность, описанная возле этого основания. А сечение плоскостью верхнего основания --- окружность, вписанная в него. Но из всех прямоугольников окружность можно вписать только в квадрат, значит основания --- равные квадраты, со стороной $a$. Кроме того, отсюда же "понятно", что ось конуса совпадает с осью параллелепипеда, т.е. с прямой $FF_1$, где $F$ и $F_1$ --- центры верхнего и нижнего оснований, соответственно.

("Понятно" написано в кавычках, потому что следовало бы аккуратно доказать, что если сечение прямого кругового конуса (других в школе, вроде бы, не рассматривают) плоскостью есть окружность, то ось конуса --- это в точности перпендикуляр к этой плоскости, проходящий через центр окружности. Это не очевидно, но в рамках школьной программы можно считать "очевидным".)

Диаметр нижней окружности есть диагональ квадрата, то есть $\sqrt2 a$, а верхней --- сторона, т.е. $a$. Интуитивно понятно, что диаметр сечения линейно убывает с высотой, $d(h)=d_0-c\cdot h$, где $h$ --- высота, на которой берется сечение, и $d(h)$ --- диаметр на этой высоте, а $c$ --- некоторый коэффициент пропорциональности. На высоте $0$ он равен $d_0=\sqrt 2a$, а на высоте $AA_1=\sqrt 2a$ --- $a$, т.е. $d(\sqrt 2a)=a$, т.е. $d_0-c\cdot\sqrt2 a=a$. Отсюда $c=(d_0-a)/\sqrt2 a=(\sqrt 2a-a)/\sqrt 2 a=(\sqrt2 -1)/\sqrt2=(2-\sqrt2)/2$, значит высота конуса есть $H=d_0/c=\sqrt 2a/((2-\sqrt2)/2)=2(\sqrt2+1)a$.
(Приведенное рассуждение является наглядным. Как тут можно было бы рассуждать строго, напишу в следующем сообщении).


.

[vpb]

Строго можно было бы рассуждать так. Рассмотрим сечение конуса плоскостью $SFC$, проходящей через его ось $SF$ и через точку $C$. Эта плоскость пересекает конус по двум лучам $SC$ и $SA$. Она содержит прямые $AC$ и $A_1C_1$ (диагонали верхнего и нижнего квадратов). Эти прямые параллельны, значит треугольники
$SFC$ и $SF_1C_2$ подобны. (Здесь $C_2$ есть точка пересечения отрезка $F_1C_1$ и луча $SC$). Но $SF=H$, $SF_1=H-AA_1=H-\sqrt2 a$ (где $H$ --- высота конуса), $FC=(\sqrt2 /2)a$ (радиус нижней окружности), $F_1C_2=a/2$ (радиус верхней окружности). Отсюда имеем соотношение $H/((\sqrt2/2)a)=(H-\sqrt2 a)/(a/2)$, и в итоге находим $H=2(\sqrt2+1)a$.

Дальше надо найти угол между плоскостями $ABC$, т.е. плоскостью нижнего основания параллелепипеда, и плоскостью $SCD_1$. С этой целью сначала надо понять, по какой прямой плоскость $SCD_1$ пересекает плоскость нижнего основания. Пусть $D_2$ --- точка пересечения прямой $SD_1$ и плоскости $ABC$. Ясно, что она лежит на прямой, которая является проекцией прямой $SD_1$ на плоскость $ABC$. Проекция точки $S$ на $ABC$ есть $F$, проекция $D_1$ есть $D$, значит проекция прямой $SD_1$ --- это прямая $FD$, т.е. $BD$, вторая диагональ нижнего квадрата. Затем, из подобных треугольников $SF_1D_1$ и $SFD_2$ находим $FD_2= F_1D_1\cdot SF/SF_1$, откуда $FD_2=a$. Короче, $D_2$ --- это точка, лежащая на диагонали $BD$ на расстоянии $a$ от $F$. Ну, а искомая прямая --- это как раз $CD_2$.

Теперь, значит, имеем такую ситуацию. Из точки $F$ исходят три луча $FS$, $FC$ и $FD_2$, и они, заметим, попарно перпендикулярны. А точки $S$, $C$, $D_2$ лежат на этих лучах на расстоянии $H=2(\sqrt2+1)a$, $(\sqrt2/2) a$ и $a$ от $F$, соответственно. И нам надо найти угол между плоскостями $SCD_2$ и $FCD_2$.

Легко решить и более общую задачу: пусть $OX$, $OY$, $OZ$ --- три попарно перпендикулярных луча, $OX=x$, $OY=y$, $OZ=z$. Каков угол между плоскостями $XYZ$ и $OXY$ ? Пусть $OE$ --- высота в треугольнике $OXY$, опущенная на гипотенузу $XY$. Легко понять, что плоскость $OEZ$ перпендикулярна $XY$, т.е. линии пересечения плоскостей $XYZ$ и $OXY$, и угол между последними плоскостями равен углу $E$ в треугольнике $OEZ$ (по определению того, что такое двугранный угол). Учитывая, что угол $O$ в треугольнике $OEZ$ --- прямой, видим, что тангенс угла $E$ есть $OE/OZ$, т.е. искомый угол между плоскостями --- это $\arctg OE/OZ$. Легко видеть, что в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ высота, опущенная на гипотенузу, есть $ab/\sqrt{a^2+b^2}$. Отсюда $OE=xy/\sqrt{x^2+y^2}$, значит искомый угол между плоскостями --- это $\arctg(xy/z\sqrt{x^2+y^2})$.

Применяя этот общий факт в нашем случае, и производя вычисления, видим, что ответ есть $\arctg(2\sqrt6+2\sqrt3)$, как выше и написано.
.

[мат-ламер]

Вот реальная задача по стереометрия с досрочного ЕГЭ 2024 (на 53:15 - условие справа внизу).

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$ , $AD=4$ , $AA_1=6$ . Через точки $B_1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $K$ .
а) Докажите, что $K$ середина $CC_1$ .
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Как решать эту задачу бескоординатным (синтетическим) методом - понятия не имею (видно слабо школьную геометрию учил). А координатным - почему бы и нет? Пусть формулы думают за нас, если мы это делать не умеем

[vpb]

мат-ламер в сообщении #1640348 писал(а):

Как решать эту задачу бескоординатным (синтетическим) методом - понятия не имею

Легко. Подробности уж, извините, писать не буду (они гораздо легче, чем в предыдущей).

мат-ламер в сообщении #1640348 писал(а):

видно слабо школьную геометрию учил)

Скорее трудности с пространственным воображением.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1640348 писал(а):

видно слабо школьную геометрию учил

vpb в сообщении #1640352 писал(а):

Скорее трудности с пространственным воображением.

Я думаю, что и то и другое. У каждого свои тараканы в голове. Когда я учился в школе, то считал, что школьная бескоординатная стереометрия никому не нужна. И особого энтузиазма к ней не испытывал. Хотя, то, что было написано в учебнике, и то, что рассказывала учительница на уроке, мотал на ус. Но без энтузиазма. Позже я понял, что этот тип геометрии (без относительно того, пригодится он в жизни кому-то или нет), во-первых, развивает пространственное воображение, а, во-вторых, развивает логическое мышление. Но проявлять интерес к бескоординатной геометрии мне было уже поздно. Поэтому, если что, привлекаю координаты по возможности.

Но я задачи сюда выложил в тему не просто так. А чтобы ТС потренировал своё умение в координатном методе. А пространственное воображение ему уже поздно развивать (имею в виду в плане успешного написания ЕГЭ).

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1640357 писал(а):

Но я задачи сюда выложил в тему не просто так. А чтобы ТС потренировал своё умение в координатном методе. А пространственное воображение ему уже поздно развивать (имею в виду в плане успешного написания ЕГЭ).

Благодярю за задачу. Правильный ответ я вроде бы получил. Скажите, пожалуйста, правильный ли ход мысли у меня был:

Сначала нашел координаты некоторых важных точек и векторов. Затем составил матрицу: базисы, координаты вектора AC, координаты вектора DB1, затем нашел определитель и получил вектор, который будет нормалью к данной в условии плоскости. Затем написал уравнение плоскости, посчитал сдвиг, подставив точку B1 в уравнение. Затем нашел параметрическое уравнение прямой CC1, решил его - получил точку касания (доказал пункт (а), так как точка находится посередине CC1).

Расстояние нашел через расстояние от точки до плоскости, просто подставив координаты точки B в уравнение расстояния, что и стало ответом на пункт (б).

[vpb]

По моему, синтетическая геометрия весьма полезна, в определенных пределах, для развития математического мышления. Как для развития пространственного воображения (особенно стереометрия), так и логики.

"В определенных пределах" означает, что есть целая отрасль заковыристых олимпиадных задачек и приемов их решения. И в овладении этими самыми разнообразными приемами большой пользы я не вижу. Есть целая индустрия натаскивания на такие приемы -- фигня всё это. (Замечу, что задача по стереометрии, решение которой я выше привел --- никоим образом не олимпиадного типа !).

В конце концов, если товарищ считает, что в школе геометрии его плохо учили, то попытка нормально ее пройти по Атанасяну --- дело хорошее.

Если брать "в целом", то Атанасян --лучший учебник. На всякий случай, укажу еще несколько (без подробной характеристики их достоинств и недостатков).

А.П.Киселев, Геометрия (2004)
Киселев, Глаголев, Рыбкин, Геометрия 8-9 (1966)
Никитин, Геометрия 6--8 (1971)
Атанасян, Позняк, Геометрия 6--8 (учебник не получил распространения. Но, по моему, он более аккуратен в логическом отношении, чем нынешний Атанасян).
Калинин, Терешин, Геометрия 10--11 (своеобразный, скажем так...).

(Правда, во всех указанных учебниках тригонометрия остается, скажем так, за кадром...).