Основания классического математического анализа.

[epros]

talash в сообщении #1634084 писал(а):

epros в сообщении #1634042 писал(а):

И что отсюда следует? Если Вы представляете действительные числа отрезками, то я могу догадаться, как Вы будете их складывать и вычитать, но, например, уже не очень представляю, как Вы будете их перемножать и делить.

У Д.Граве всё подробно расписано, link.

Моё замечание было про представление чисел длинами. А Вы дали ссылку на книжку, где числа представляются последовательностями цифр.

talash в сообщении #1634084 писал(а):

Но длина, в отличие от отдельных предметов, не всегда получается целым числом. Полшага это уже что-то сложное и инуитивно непонятное? Так почему же в основе арифметики должны обязательно быть одни только натуральные числа? Почему нельзя использовать другой подход?

Да на здоровье, пытайтесь. Но далее у Вас я вижу только какие-то отвлечённые философские рассуждения, а не новый подход. Ваша идея ведь в том, чтобы ввести понятие действительного числа, не опираясь на понятие рационального и целого? Похоже, не получается пока что. Даже если действительные числа вводить чисто аксиоматически, то всё равно получается аксиоматика рациональных чисел, плюс непрерывность.

[Null]

epros в сообщении #1634042 писал(а):

как Вы будете их перемножать и делить.

Теорема Фалеса(или через произведение частей хорд проходящих через одну точку) позволяет решать $a:b=c:x$, ну и конечно нужен единичный отрезок.

epros в сообщении #1634224 писал(а):

Даже если действительные числа вводить чисто аксиоматически, то всё равно получается аксиоматика рациональных чисел, плюс непрерывность.

В действительных числах всегда есть рациональные. По какому критерию определять, что это не рациональные числа плюс непрерывность? В аксиомах же ни слова о рациональности.

[epros]

Null в сообщении #1635385 писал(а):

По какому критерию определять, что это не рациональные числа плюс непрерывность? В аксиомах же ни слова о рациональности.

Если из аксиоматики непрерывного упорядоченного поля убрать непрерывность, то такой аксиоматике удовлетворяет множество рациональных чисел. Множество действительных, разумеется, тоже будет удовлетворять. Но если сказать, что нам нужно минимальное множество, удовлетворяющее аксиоматике, то иррациональные числа исключатся. Как-то так примерно.

[talash]

Собрал мысли про непонятности изучения традиционной математики от оснований. У Neznajka_ в теме были похожие трудности, действительно ли получилось их устранить? У меня получилось только вернувшись к старым основаниям до середины 19-го века и доработав детали. Размещаю историю трудностей:

"Решил я изучить традиционную математику(от арифметики до классического матанализа) от оснований очень подробно, так, чтобы был понятен всякий нюанс. И на этом пути я столкнулся с рядом сложностей.

Первая крупная сложность в том, что в основаниях традиционной математики зачем-то лежит теория множеств, которой ещё не было, когда была создана почти вся традиционная математика. Основания теории множеств у меня сразу не пошли, поэтому я решил найти источники, где математика строится не из теории множеств. В этих источниках в основе математики обычно лежат натуральные числа.

Но здесь меня ждала другая сложность. Оказалось непонятно, что такое иррациональные числа. Они появляются уже в арифметике при введении операции извлечения корня. Но строгое определение для них даётся с использованием понятия предел, которое вводится значительно позднее в курсе матанализа. Получилось, что математику нельзя изучать последовательно от оснований, так, чтобы было всё понятно и это норма.

Но мне такая норма не понравилась. Здание не может строиться с крыши, она упадёт. И я начал искать другие источники, где иррациональные числа вводятся понятно уже в арифметике. И нашёл ряд источников с другим подходом. Там в основе всей математики также лежат натуральные числа. Затем делается обобщение и вводятся рациональные числа, как отношение двух целых чисел, а далее вводятся иррациональные числа как бесконечные непериодические десятичные дроби.

Но в этом подходе непонятно, что такое десятичные дроби. В самом деле, мы знаем натуральные числа, из них получаем обыкновенные дроби, обобщая операцию деления, обратную умножению, чтобы она всегда выполнялась. А откуда же взялись десятичные дроби? В общем случае, перевод обыкновенной дроби в десятичную это разложение в ряд. А ряд это бесконечная сумма. То есть, это снова матанализ, который и занимается бесконечностями. Об этом авторы не упоминают, а вводят представление числа в виде десятичной дроби, как очевидное. Но этим самым они нарушают заявленную концепцию, что в основе математики лежат натуральные числа и только они.

Сам я тоже не смог ничего придумать, что спасло бы положение, чтобы арифметика последовательно строилась из простейших оснований без заимствований из матанализа. И, в результате, пришёл к выводу, что одних натуральных чисел в основаниях недостаточно для последовательного построения арифметики. И что нужно строить арифметику и далее всю традиционную математику от интуитивного понятия измерения, например, измерения расстояния. Мы берём из реального мира интуитивные понятия и переносим их в идеальный математический мир, упрощая различные аспекты, как это делается в геометрии.

Отмечу интересный аспект. Эта попытка вывести математику из минимального количества первичных понятий была сделана Кантором, Вейерштрассом, Дедекиндом и другими авторами и назвали они её арифметизацией математического анализа, имея ввиду, что арифметика якобы выводится из натуральных чисел, а после их работ и в основе матанализа также оказались только натуральные числа. Но вот их предшественник Коши пишет в книге “алгебраический анализ”:

“Выражение число мы будем употреблять в том смысле, в каком оно принимается в арифметике, где мы производим его от абсолютного измерения величин.” (С) Коши.

То есть, по свидетельству Коши на самом деле не было принято выводить арифметику из натуральных чисел. Получается, что под фундамент здания матанализа, который и создал Коши, были подложены другие основания.

Основания математики это философия и критерии истинности здесь другие. Один из возможных критериев правильности оснований это практическая продуктивность того, что из них получается. И о верности подхода Коши и других авторов свидетельствует продуктивность созданной ими науки. А вот верность новых оснований сомнительна, они были подложены под готовый фундамент математики, но можно ли было её создать из этих оснований, вот вопрос? На который я, изучив тему, отвечаю отрицательно.

Лично мне трудно двигаться вперёд в постижении науки, если непонятно, что откуда взялось. Теряется интерес. Поэтому, предлагаю нам таким “непонимающим” объединиться и написать подробные понятные основания из которых красиво выводится традиционная математика. При Коши похоже этого сделано не было, все основания это одно предложение, цитату которого я привёл. Я здесь выше в теме описал примерный план, он включает создание компьютерной программы. В одиночку, да с семейными заботами, мне его не потянуть."

[мат-ламер]

talash в сообщении #1639722 писал(а):

Поэтому, предлагаю нам таким “непонимающим” объединиться и написать подробные понятные основания из которых красиво выводится традиционная математика.

Тут я вам помочь не могу, ибо не моя это тема. А вы не пробовали читать учебник Ландау "Основы анализа"? Может там что есть по интересующим вас вопросам?

[gefest_md]

talash в сообщении #1639722 писал(а):

поэтому я решил найти источники, где математика строится не из теории множеств

В аксиомах теории множеств ZFC все аксиомы содержат в качестве подформулы выражение вида $A\to B$ ($A$ влечёт $B$). В аксиомах Пеано - не все $(1\in \mathbb{N}).$ Интуитивно, это способствует лучшему изучению ZFC. Подумал не является ли непротиворечивость теории свойством, которое зависит от построения набора аксиом (условно, набор аксиом, содержащих значок $x$, не ведёт к противоречию).

[мат-ламер]

talash в сообщении #1639722 писал(а):

Но в этом подходе непонятно, что такое десятичные дроби. В самом деле, мы знаем натуральные числа, из них получаем обыкновенные дроби, обобщая операцию деления, обратную умножению, чтобы она всегда выполнялась. А откуда же взялись десятичные дроби? В общем случае, перевод обыкновенной дроби в десятичную это разложение в ряд. А ряд это бесконечная сумма. То есть, это снова матанализ, который и занимается бесконечностями. Об этом авторы не упоминают, а вводят представление числа в виде десятичной дроби, как очевидное. Но этим самым они нарушают заявленную концепцию, что в основе математики лежат натуральные числа и только они.

Если десятичные дроби не нравятся, то Ландау вводит действительные числа через сечения Дедекинда. Правда я Ландау не читал. Сечения я изучал по книге П.С. Александрова.

Но если и сечения не нравятся, в учебниках анализа для физиков зачастую действительные числа вводятся через десятичные дроби.

talash в сообщении #1639722 писал(а):

В общем случае, перевод обыкновенной дроби в десятичную это разложение в ряд. А ряд это бесконечная сумма. То есть, это снова матанализ, который и занимается бесконечностями. Об этом авторы не упоминают, а вводят представление числа в виде десятичной дроби, как очевидное.

А зачем спешить с переводом? Сначала вводим десятичные дроби сами по себе, затем действительные числа, затем анализ с пределами, а уж затем перевод обыкновенных дробей в десятичные.

[talash]

gefest_md в сообщении #1639743 писал(а):

В аксиомах теории множеств ZFC все аксиомы содержат в качестве подформулы выражение вида $A\to B$ ($A$ влечёт $B$). В аксиомах Пеано - не все $(1\in \mathbb{N}).$ Интуитивно, это способствует лучшему изучению ZFC. Подумал не является ли непротиворечивость теории свойством, которое зависит от построения набора аксиом (условно, набор аксиом, содержащих значок $x$, не ведёт к противоречию).

Я думаю, что аксиоматический подход это не лучшая идея для понятных оснований, потому что непонятно откуда взялись сами аксиомы.

Первичные понятия не могут быть строго определены, но могут быть подробно описаны на интуитивном уровне. Почему первичное понятие арифметики должно быть измеримым числом, а не натуральным числом. Потому что десятичные дроби, как и натуральные числа - одинаково очевидны.

talash в сообщении #1629515 писал(а):

Десятичные дроби, как и натуральные числа - интуитивно очевидны. Потому что, допустим, мы не знаем математики и нам понадобилась универсальная мера длины. Мы берём нечто очень маленькое, минимальный размер, откладываем его десять раз, затем полученную длину откладываем ещё десять раз, затем вновь полученную длину ещё десять раз и получаем длину примерно в метр. Изготавливаем линейку с делениями. Далее, оказывается, что маленькие размеры мы меряем редко, а большие часто и решаем, что удобнее принять за единицу 1000 минимальных размеров. Вот из хозяйственных нужд и получились десятичные, как целые, так и дробные числа.

А если оставим только результат размышлений в виде короткой аксиомы, то утратим ход мысли, как мы к этой аксиоме пришли и она станет менее понятной.

мат-ламер
Глянул Ландау, он там сечения Дедекинда использует, а в них фигурирует понятие "множество". Наверное просто как совокупность, без увязки с теорией множеств. Я читал Дедекинда и цитировал выше, как-то у него перекручено всё, но подробно не вникал и пока не могу сказать, что там именно непонятно. Вот ссылка на книгу Ландау
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1947ru.pdf

[gefest_md]

talash в сообщении #1639816 писал(а):

Десятичные дроби, как и натуральные числа - интуитивно очевидны.

Непонятно, что значит очевидность натуральных чисел? Напрашивается какой-нибудь предикат. Тогда кто-то согласится с этим предикатом, а кто-то - нет. Таким образом возникают две разные аксиоматические системы. (Например, пятый постулат Евклида и его отрицание).

[gefest_md]

talash в сообщении #1639816 писал(а):

А если оставим только результат размышлений в виде короткой аксиомы, то утратим ход мысли, как мы к этой аксиоме пришли и она станет менее понятной.

Так как аксиому можно задать на любом этапе размышлений, то я бы назвал аксиоматический метод непринуждённым.

[epros]

talash в сообщении #1639816 писал(а):

Я думаю, что аксиоматический подход это не лучшая идея для понятных оснований, потому что непонятно откуда взялись сами аксиомы.

Первичные понятия не могут быть строго определены, но могут быть подробно описаны на интуитивном уровне.

Как только Вы "подробно описываете на интуитивном уровне" то, что должны определить, так сразу получаете аксиомы.

talash в сообщении #1639816 писал(а):

Почему первичное понятие арифметики должно быть измеримым числом, а не натуральным числом. Потому что десятичные дроби, как и натуральные числа - одинаково очевидны.

То, что Вы пишете далее про измерения, либо заканчивается на "минимальном размере", либо приводит нас к идее пределов, которые, как неназванный автор сокрушался выше, относятся к матанализу, а не к арифметике.

[talash]

gefest_md в сообщении #1639830 писал(а):

Непонятно, что значит очевидность

Можно, кстати, и этот термин уточнить, но трудность в том, что сейчас все образованные. Вообще, примерно, интуитивная очевидность означает, что этому можно быстро научить на практических примерах среднего работающего взрослого человека без среднего образования. Раньше таких было много, например, крестьяне и можно найти материалы, что они легко постигали дроби. Неочевидность означает, что нужно окончить некий специальный курс. Например, введение матлогики в основания делает их интуитивно неочевидными.

-- 21.05.2024, 09:24 --

gefest_md в сообщении #1639840 писал(а):

Так как аксиому можно задать на любом этапе размышлений, то я бы назвал аксиоматический метод непринуждённым.

Если сохранить рассуждения, приведшие к этой аксиоме, то можно, будет такой аксиоматический метод с подробными комментариями.

-- 21.05.2024, 10:02 --

epros в сообщении #1639849 писал(а):

То, что Вы пишете далее про измерения, либо заканчивается на "минимальном размере", либо приводит нас к идее пределов, которые, как неназванный автор сокрушался выше, относятся к матанализу, а не к арифметике.

В идеальной линейке нет минимального размера деления. Но нет и бесконечности в силу конечности процесса измерения. Напомню, идея в том, что идеальный математический мир мы можем запрограммировать на компьютере. И человек там будет, как наблюдатель, он может измерять длину объектов с любой желаемой точностью и получать результат - измеримое число. Но чем больше точность, тем дольше процесс измерения и, таким образом, бесконечностей здесь пока нет.

Далее, из того, что минимального размера нет, следует, что внутри компьтерной программы длина объекта должна быть задана с бесконечной точностью. Например, можно задать с помощью алгоритма такую длину $0.1010010001...$ и так далее, где промежутки между единицами, заполненные нулями, возрастают каждый раз на один нолик. Алгоритм бесконечен, но нам из него нужно получить конечное измеримое число, следовательно, всегда будет выполнено ограниченное число итераций. При делении единицы на тройку, мы также приходим к бесконечному алгоритму $0.(3)$. Далее, поскольку такие бесконечные алгоритмы обладают всеми необходимыми свойствами изначального измеримого числа, мы можем обобщить понятие числа и на них. Конечные измеримые числа и периодические бесконечные алгоритмы называем рациональными числами, а бесконечные непериодические алгоритмы - иррациональными. Как видите, идея предела не требуется для введения понятия иррационального числа. Вычисление $\sqrt2$ приводит к бесконечному непериодическому алгоритму.

Из этой модели, кстати, следует, что не существует точного случайного числа между (0,1), потому что оно не может быть задано бесконечным алгоритмом. Его нужно генерировать, что займёт бесконечный объём памяти, а это невозможно.

[epros]

talash в сообщении #1639853 писал(а):

Например, введение матлогики в основания делает их интуитивно неочевидными.

Матлогика - это и есть обычная логика. Просто как и любой предмет её можно постигать на разном уровне. Возможно, что концепция пределов требует владения логикой чуть больше, чем в детском саду. Ну так в детском саду и будет трудно объяснить концепцию иррациональных чисел.

talash в сообщении #1639853 писал(а):

Далее, поскольку такие бесконечные алгоритмы обладают всеми необходимыми свойствами изначального измеримого числа, мы можем обобщить понятие числа и на них. Конечные измеримые числа и периодические бесконечные алгоритмы называем рациональными числами, а бесконечные непериодические алгоритмы - иррациональными. Как видите, идея предела не требуется для введения понятия иррационального числа.

Пока вижу, что идея предела требуется, ибо без неё неизвестно как можно доказать, что десятичная дробь начиная с некоторой цифры не станет периодической.

[gefest_md]

(Оффтоп)

talash в сообщении #1639722 писал(а):

Первая крупная сложность в том, что в основаниях традиционной математики зачем-то лежит теория множеств, которой ещё не было, когда была создана почти вся традиционная математика.

Иисус Христос утверждал, что он уже был до Авраама. Я не обязательно соглашаюсь, просто готов подержать эту мысль в голове некоторое время.

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1639853 писал(а):

Далее, поскольку такие бесконечные алгоритмы обладают всеми необходимыми свойствами изначального измеримого числа, мы можем обобщить понятие числа и на них. Конечные измеримые числа и периодические бесконечные алгоритмы называем рациональными числами, а бесконечные непериодические алгоритмы - иррациональными. Как видите, идея предела не требуется для введения понятия иррационального числа.

Те десятичные дроби, которые получаются алгоритмически, не замкнуты относительно сложения. Ну и проверка равенства/порядка на них алгоритмически неразрешима.