Основания классического математического анализа.

[talash]

epros в сообщении #1640861 писал(а):

Но с моей точки зрения не существуют.

Ну вот Вы сами решили, что в математических обобщениях где-то нужно остановиться. То есть, не все обобщения полезны.
Я просто хочу остановиться ещё раньше. Для классического матанализа не нужна теория вычислений. Из матлогики нужен минимум.

Рациональные числа обобщаются просто, а значит красиво, это несократимое отношение целых чисел. А с иррациональными есть очевидные проблемы. Потому что это бесконечный алгоритм, а алгоритмы бывают разные и очень простые и очень сложные. И если не остановиться в обобщении, то нужно признать ещё и невычислимые иррациональные числа.

И вообще. Уже есть более общая математика с основаниями из теории категорий. Раз обобщение это всегда хорошо, значит, нужно на неё переходить.

[epros]

talash в сообщении #1640880 писал(а):

epros в сообщении #1640861 писал(а):

Но с моей точки зрения не существуют.

Ну вот Вы сами решили, что в математических обобщениях где-то нужно остановиться. То есть, не все обобщения полезны.

Вообще-то не я, а конструктивный анализ.

talash в сообщении #1640880 писал(а):

Я просто хочу остановиться ещё раньше.
...
А с иррациональными есть очевидные проблемы. Потому что это бесконечный алгоритм, а алгоритмы бывают разные и очень простые и очень сложные.

Если бы Вы ещё могли внятно сформулировать, где именно и почему решили "остановиться". А то говорите только о каких-то непонятных "математических выражениях", куда почему-то не включаете очень простую программу, которая использует только четыре арифметических действия и в итоге с любой точностью вычисляет число, которое мы не можем представить десятичной дробью.

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1640880 писал(а):

Уже есть более общая математика с основаниями из теории категорий.

Она не более общая, всё то же самое можно делать в классической теории множеств (возможно, с какими-то большими кардиналами). Там просто чуть другой язык, удобнее для некоторых приложений.

[mihaild]

dgwuqtj в сообщении #1640889 писал(а):

Она не более общая, всё то же самое можно делать в классической теории множеств (возможно, с какими-то большими кардиналами).

Все то же самое, в конечном итоге, можно делать в арифметике. Потому что занимаемся в итоге преобразованием конечных строчек друг в друга.
Но неудобно.

[talash]

epros в сообщении #1640886 писал(а):

Если бы Вы ещё могли внятно сформулировать, где именно и почему решили "остановиться". А то говорите только о каких-то непонятных "математических выражениях", куда почему-то не включаете очень простую программу, которая использует только четыре арифметических действия и в итоге с любой точностью вычисляет число, которое мы не можем представить десятичной дробью.

Покажите эту программу, чтобы было только четыре арифметических действия.

А то есть подозрение, что будет как здесь, где Вы неявно используете возведение в степень, выделил это место:

epros в сообщении #1640827 писал(а):

Извиняйте, но Вы несёте какую-то чушь. В программе будет счётчик шагов, чтобы на каждом следующем шаге мы поделили полученное на предыдущем шаге число на 10 столько раз, сколько показывает этот счётчик. Это число прибавляется к полученной на предыдущем шаге сумме. А в интерфейсе надо будет задать только номер шага, на котором нужно остановиться и выдать результат сложения.

Традиционная математика базируется на принципе простоты и я не раз к нему обращался в своей модели. Почему математики были озабочены задачей, чтобы операция вычитания была всегда выполнима? Чтобы математические выражения и работа с ними были проще. Вы похоже отрицаете этот принцип.

-- 01.06.2024, 13:25 --

Цитата:

ПРОСТОТЫ ПРИНЦИП – эвристический принцип, обобщающий опыт познания, согласно которому при прочих равных условиях предпочтительна наиболее простая познавательная конструкция (теория, гипотеза, научно-исследовательская программа и т.п.). Принцип простоты допускает различные интерпретации.
...https://iphlib.ru/library/library/colle ... c8b1b76221

[gefest_md]

talash в сообщении #1640932 писал(а):

Традиционная математика базируется на принципе простоты

Принцип «разделяй и властвуй» мне более понятен: формально/неформально, истина/ложь, бог/дьявол.

[epros]

talash в сообщении #1640932 писал(а):

Покажите эту программу, чтобы было только четыре арифметических действия.

epros в сообщении #1640827 писал(а):

а можно и программу написать (довольно просто). Но вообще-то сказанных слов достаточно для того, чтобы проделать это самостоятельно, а не напрягать собеседников.

talash в сообщении #1640932 писал(а):

А то есть подозрение, что будет как здесь, где Вы неявно используете возведение в степень

Что значит "неявно"? Возведение в степень - это и есть многократное умножение. Вообще-то все примитивно рекурсивные функции определяются примитивной рекурсией через инкремент. А Вы что же, решили запретить умножать (и делить) более одного раза? Типа, для какой-то "простоты"?

talash в сообщении #1640932 писал(а):

Почему математики были озабочены задачей, чтобы операция вычитания была всегда выполнима?

Это Вы о чём? Про то, как натуральные числа доопределяются отрицательными?

[talash]

На счёт "какой-то простоты". Начал вдумчиво читать Д.Кнут "Искусство программирования", цитаты:

Цитата:

Эффективность. Алгоритм обычно считается эффективным, если все его операторы достаточно просты для того, чтобы их можно было точно выполнить в течение конечного промежутка времени с помощью карандаша и бумаги. В алгоритме E используются только следующие операции: деление одного целого положительного числа на другое, сравнение с нулем и присвоение одной переменной значения другой. Эти операции являются эффективными, так как целые числа можно представить на бумаге с помощью конечного числа знаков и так как существует по меньшей мере один способ (“алгоритм деления”) деления одного целого числа на другое. Но те же самые операции были бы неэффективными, если бы они выполнялись над действительными числами, представляющими собой бесконечные десятичные дроби, либо над величинами, выражающими длины физических отрезков прямой, которые нельзя измерить абсолютно точно.

Цитата:

В этой формулировке понятия “алгоритм” не содержится ограничение, касающееся эффективности, о котором упоминалось ранее. Например, $Q$ может быть множеством бесконечных последовательностей, которые нельзя вычислить с помощью карандаша и бумаги, а f может включать операции, которые простой смертный сможет выполнить не всегда. Если мы хотим ограничить понятие “алгоритм” таким образом, чтобы в нем могли содержаться только элементарные операции, то введем ограничения на элементы $Q$, $I$, $\Omega$ и $f$, например, следующим образом.

Кнут ограничевает интуитивные математические понятия исходя из своих целей (написание эффективных алгоритмов). Почему я не могу сделать то же самое? Цель у меня простая:

- Хочу, чтобы можно было изучать математику(точнее, наиболее важную для практики часть математики) последовательно шаг за шагом, чтобы каждый шаг был понятен.

[Dedekind]

(Оффтоп)

talash в сообщении #1642344 писал(а):

- Хочу, чтобы можно было изучать математику(точнее, наиболее важную для практики часть математики) последовательно шаг за шагом, чтобы каждый шаг был понятен.

Хотеть не вредно:) Но так не бывает. Тем более, для практики.

[epros]

talash в сообщении #1642344 писал(а):

Хочу, чтобы можно было изучать математику(точнее, наиболее важную для практики часть математики) последовательно шаг за шагом, чтобы каждый шаг был понятен.

Для Вас есть что-то непонятное в определении числа $0.1010010001\ldots$ или в способе определения того, является ли натуральное число совершенным?

[talash]

epros в сообщении #1642349 писал(а):

Для Вас есть что-то непонятное в определении числа $0.1010010001\ldots$ или в способе определения того, является ли натуральное число совершенным?

Первое это простой алгоритм, второй - нет. Соответственно, первый алгоритм будет существовать в "понятной математике" сразу после изучения степеней, второго скорее всего не будет вовсе.

1. Мне непонятно зачем для классического матанализа нужна теория алгоритмов, если он был создан без неё.
2. Зачем знать "неконструктивные навороты" из теории множеств, если он был создан без них.
3. И зачем знать, прилагающуюся к двум вышеперечисленным разделам в качестве формального языка, матлогику. Из неё понадобится некий привычный всем минимум.

И все эти три немаленьких раздела "приезжают сбоку", когда мы доходим до иррациональных чисел, в начале изучения арифметики. Спасибо, не надо. Как-то даже странно спорить, когда настолько очевидно, что происходит резкое, а главное, не нужное для наших целей, усложнение. А цель, чтобы каждый шаг был понятен. А тут получается, что нужно пройти несколько разделов математики для изучения одного шага.

[epros]

talash в сообщении #1642361 писал(а):

Первое это простой алгоритм, второй - нет.

Что сложного в определении совершенного числа?

talash в сообщении #1642361 писал(а):

1. Мне непонятно зачем для классического матанализа нужна теория алгоритмов, если он был создан без неё.

Теория алгоритмов, наверное, нужна не для классического анализа, а сама по себе. В частности, она помогает понять, что в классическом анализе нафантазировано много такого, что алгоритмами, т.е. без оракулов, не решается.

talash в сообщении #1642361 писал(а):

2. Зачем знать "неконструктивные навороты" из теории множеств, если он был создан без них.

Кто был создан без них?

talash в сообщении #1642361 писал(а):

3. И зачем знать, прилагающуюся к двум вышеперечисленным разделам в качестве формального языка, матлогику. Из неё понадобится некий привычный всем минимум.

Матлогика - это всего лишь строгое определение обычной логики. Какой, интересно, "минимум" Вы собрались брать из логики?

talash в сообщении #1642361 писал(а):

А цель, чтобы каждый шаг был понятен.

Какой шаг Вам непонятен? К иррациональным числам Вы точно без понятия о последовательностях никак не перейдёте.

[talash]

epros в сообщении #1642362 писал(а):

Что сложного в определении совершенного числа?

Совершенные числа Вы использовали для построения иррационального числа и затем отказались предоставить его формальную запись. А там наверное будут математические операции, которые не нужны для целей построения классического матанализа и это получается ненужное усложнение раздела.

epros в сообщении #1642362 писал(а):

Кто был создан без них?

Классический матанализ.

epros в сообщении #1642362 писал(а):

Какой, интересно, "минимум" Вы собрались брать из логики?

Тот в котором возникнет потребность для достижения цели - построения классического матанализа.

epros в сообщении #1642362 писал(а):

К иррациональным числам Вы точно без понятия о последовательностях никак не перейдёте.

У нас есть интуитивно очевидная конструкция - десятичная дробь. Больше никаких последовательностей не надо, чтобы понять иррациональное число.

talash в сообщении #1640621 писал(а):

Переход к идеальному математическому миру связан с различными упрощениями. Идея отсутствия минимального деления в линейке это также упрощение. Когда мы доходим до рациональных чисел, то у нас в программе появляется возможность задать размер объекта в виде обыкновенной дроби. Но на линейке у нас деления десятичных дробей и когда мы переводим обыкновенную дробь в десятичную, мы приходим к бесконечному алгоритму, например, дробь $\frac{1}{3}$ это бесконечный алгоритм 0.333... Далее мы доказываем, что обыкновенная дробь в виде десятичной дроби это или точное число или периодическая дробь. И тут нам становится интуитивно очевидно, что можно задать число и в виде бесконечного непериодического алгоритма.

Дополню, из этой интуитивной конструкции очевидно, что числа можно разделить на рациональные и иррациональные. Потому что из неё понятно, что такое рациональные числа и понятно что такое все остальные числа, которые мы называем иррациональными. Это когда мы занимаем все разряды цифрами от 0 до 9 вплоть до бесконечности, но эти цифры не образуют периода.

А когда в основании арифметики лежат только целые числа, то что такое рациональные числа - понятно, но непонятно, что такое все остальные числа, потому что мы ничего о них не знаем. И потому, разделение по остаточному принципу выглядит логически некорректным, если его производить вначале курса, как делают многие авторы. А если так не делать, а сразу начинать с каких-нибудь сечений Дедекинда, то тут с понятностью ещё хуже, потому что со старта идёт множество сложных терминов.

[epros]

talash в сообщении #1642367 писал(а):

Совершенные числа Вы использовали для построения иррационального числа и затем отказались предоставить его формальную запись. А там наверное будут математические операции, которые не нужны для целей построения классического матанализа и это получается ненужное усложнение раздела.

Что Вам ещё нужно "предоставить"? Просто ответьте: Вам что-то непонятно в процедуре проверки того, является ли данное число совершенным? Какие ещё "математические операции" Вы имеете в виду? Там никаких математических операций, кроме проверки делимости и сложения, нет.

epros в сообщении #1642362 писал(а):

Какой, интересно, "минимум" Вы собрались брать из логики?

talash в сообщении #1642367 писал(а):

Тот в котором возникнет потребность для достижения цели - построения классического матанализа.

Поконкретнее можно? Логика по-сути - это всего лишь соглашение о грамматике языка (что является "предложением", а что нет) и общезначимая для всех теорий аксиоматика (включая правила вывода). Какую часть из этого Вы собрались выкинуть ради "упрощения"?

talash в сообщении #1642367 писал(а):

У нас есть интуитивно очевидная конструкция - десятичная дробь. Больше никаких последовательностей не надо, чтобы понять иррациональное число.

Десятичная дробь - это и есть последовательность. Вы этого до сих пор не поняли?

[мат-ламер]

talash в сообщении #1640880 писал(а):

А с иррациональными есть очевидные проблемы. Потому что это бесконечный алгоритм, а алгоритмы бывают разные и очень простые и очень сложные. И если не остановиться в обобщении, то нужно признать ещё и невычислимые иррациональные числа.

Если у вас цель изучить матанализ, то не надо придумывать себе дополнительных трудностей. Можете считать, что это никакой не бесконечный алгоритм, а просто такие же числа, как и рациональные. Но они ещё обладают парочкой дополнительных свойств - типа аксиомы Архимеда и аксиомы полноты. Вопрос обоснования всего этого можно отложить на потом.

Но, если у вас цель и интерес специально поглубже копнуть в основаниях, то тогда другое дело. Но имейте в виду, что тогда до применения анализа вы за разумное время можете и не добраться.

Как подходящий способ изучения анализа, можно взять такой подход. Берёте учебник анализа. И пытаетесь вникнуть не в анализ, а в то, что написано в учебнике.

-- Ср июн 12, 2024 19:41:24 --

talash в сообщении #1642361 писал(а):

1. Мне непонятно зачем для классического матанализа нужна теория алгоритмов,

epros в сообщении #1642362 писал(а):

Теория алгоритмов, наверное, нужна не для классического анализа, а сама по себе.

Моё понимание состоит в том, что теория алгоритмов в первую очередь нужна не сама по себе (хотя и это тоже), а как инструмент доказательства того, что некоторые трудные проблемы не разрешимы в принципе (алгоритмически не разрешимы). Например, не существует алгоритма решения произвольного диофантового уравнения степени выше второй.