Основания классического математического анализа.

[epros]

talash в сообщении #1634084 писал(а):

epros в сообщении #1634042 писал(а):

И что отсюда следует? Если Вы представляете действительные числа отрезками, то я могу догадаться, как Вы будете их складывать и вычитать, но, например, уже не очень представляю, как Вы будете их перемножать и делить.

У Д.Граве всё подробно расписано, link.

Моё замечание было про представление чисел длинами. А Вы дали ссылку на книжку, где числа представляются последовательностями цифр.

talash в сообщении #1634084 писал(а):

Но длина, в отличие от отдельных предметов, не всегда получается целым числом. Полшага это уже что-то сложное и инуитивно непонятное? Так почему же в основе арифметики должны обязательно быть одни только натуральные числа? Почему нельзя использовать другой подход?

Да на здоровье, пытайтесь. Но далее у Вас я вижу только какие-то отвлечённые философские рассуждения, а не новый подход. Ваша идея ведь в том, чтобы ввести понятие действительного числа, не опираясь на понятие рационального и целого? Похоже, не получается пока что. Даже если действительные числа вводить чисто аксиоматически, то всё равно получается аксиоматика рациональных чисел, плюс непрерывность.

[Null]

epros в сообщении #1634042 писал(а):

как Вы будете их перемножать и делить.

Теорема Фалеса(или через произведение частей хорд проходящих через одну точку) позволяет решать $a:b=c:x$, ну и конечно нужен единичный отрезок.

epros в сообщении #1634224 писал(а):

Даже если действительные числа вводить чисто аксиоматически, то всё равно получается аксиоматика рациональных чисел, плюс непрерывность.

В действительных числах всегда есть рациональные. По какому критерию определять, что это не рациональные числа плюс непрерывность? В аксиомах же ни слова о рациональности.

[epros]

Null в сообщении #1635385 писал(а):

По какому критерию определять, что это не рациональные числа плюс непрерывность? В аксиомах же ни слова о рациональности.

Если из аксиоматики непрерывного упорядоченного поля убрать непрерывность, то такой аксиоматике удовлетворяет множество рациональных чисел. Множество действительных, разумеется, тоже будет удовлетворять. Но если сказать, что нам нужно минимальное множество, удовлетворяющее аксиоматике, то иррациональные числа исключатся. Как-то так примерно.