Основания классического математического анализа.

[пианист]

epros в сообщении #1633462 писал(а):

Отношения порядка изначально алгоритмически неразрешимы

Вы хотите сказать, что не существует алгоритм, позволяющий определить, какое из двух чисел больше?

[epros]

talash, Вы эту тему уводите в какую-то философию. Можете быть поближе к математике? Какой подход в отношении действительных чисел Вам "понятнее"? Понятие действительного числа далеко не самоочевидно для неподготовленных людей. Вы можете сейчас сколько угодно говорить о том, что у Вас о них есть какие-то интуитивные представления, но на самом деле Ваша интуиция была подготовлена поколениями математиков, которые пришли к идее действительного числа отнюдь не сразу. Никакие "геометрические представления о непрерывности" почему-то не помешали целым поколениям математиков считать, что диагональ единичного квадрата "не выражается числом".

-- Чт мар 21, 2024 11:43:59 --

пианист в сообщении #1633583 писал(а):

epros в сообщении #1633462 писал(а):

Отношения порядка изначально алгоритмически неразрешимы

Вы хотите сказать, что не существует алгоритм, позволяющий определить, какое из двух чисел больше?

Для действительных чисел - да.

[пианист]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1633586 писал(а):

Для действительных чисел - да.

А. Я думал, речь про рациональные числа (и несколько удивился).
Извиняюсь, что влез.

[epros]

пианист в сообщении #1633587 писал(а):

Я думал, речь про рациональные числа (и несколько удивился).

Почему же, очень уместное замечание. Действительно, дедекиндово сечение определяется через множество рациональных чисел. Казалось бы, проблем с определением того, принадлежит ли конкретное рациональное число этому множеству, быть не должно. Ан нет. Где-то ранее я приводил пример определения действительного числа, про которое неизвестно, равно ли оно единице или чуть меньше. Стало быть неизвестно, принадлежит ли единица соответствующему дедекиндову сечению.

[talash]

epros в сообщении #1633586 писал(а):

talash, Вы эту тему уводите в какую-то философию. Можете быть поближе к математике? Какой подход в отношении действительных чисел Вам "понятнее"? Понятие действительного числа далеко не самоочевидно для неподготовленных людей.

А понятие натурального числа самоочевидно? Где кончается самоочевидность? Только действительные числа не самоочевидны или обыкновенные и десятичные дроби тоже? Разъясните свою мысль, и поменьше философии пожалуйста, очень интересно узнать, как выглядят подобные разъяснения без неё.

[epros]

talash в сообщении #1633616 писал(а):

Разъясните свою мысль, и поменьше философии пожалуйста, очень интересно узнать, как выглядят подобные разъяснения без неё.

Моя мысль заключается в том, что Вот эта Ваша мысль:

talash в сообщении #1633581 писал(а):

Этот подход можно кратко обозначить, как попытка в основаниях математики оставить минимальное количество интуитивных вещей. Но в результате получается, что действительные числа выводятся из целых длинным путём, то есть, они отодвигаются далеко от оснований. А мне понятнее подход, когда интуитивно очевидные вещи находятся рядом в основаниях.

является непонятными философствованиями и без уточнения постановки вопроса невозможно понять, чего Вы хотите.

В частности, мне непонятно, какие вещи являются "интуитивно очевидными". Относятся ли к ним действительные числа? По моим понятиям интуиция существует не сама по себе, а является следствием образования. И действительные числа не могут следовать ни из какой интуиции геометрического понятия длины, о чём свидетельствует и история возникновения этого понятия: Много веков понятие длины прекрасно существовало без понятия о действительных числах.

[talash]

epros в сообщении #1633668 писал(а):

Моя мысль заключается в том, что Вот эта Ваша мысль:

talash в сообщении #1633581 писал(а):

Этот подход можно кратко обозначить, как попытка в основаниях математики оставить минимальное количество интуитивных вещей. Но в результате получается, что действительные числа выводятся из целых длинным путём, то есть, они отодвигаются далеко от оснований. А мне понятнее подход, когда интуитивно очевидные вещи находятся рядом в основаниях.

является непонятными философствованиями и без уточнения постановки вопроса невозможно понять, чего Вы хотите.

Странно обвинять меня в непонятном философствовании, когда я хочу конкретных вещей, которые можно будет запрограммировать на компьютере и пощупать руками, смотрите ещё раз cообщение.

epros в сообщении #1633668 писал(а):

И действительные числа не могут следовать ни из какой интуиции геометрического понятия длины, о чём свидетельствует и история возникновения этого понятия: Много веков понятие длины прекрасно существовало без понятия о действительных числах.

До Кантора и Дедекинда не было понятия "действительное число"? Но оно было. Что же под ним понимали только рациональные числа? И снова нет, про иррациональные числа знали задолго до Кантора и Дедекинда и под действительными числами имели ввиду и рациональные и иррациональные. То есть, действительные числа считали первичным математическим понятием, интуитивно очевидным, и не определяли. Это же факт.

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1633697 писал(а):

До Кантора и Дедекинда не было понятия "действительное число"? Но оно было. Что же под ним понимали только рациональные числа? И снова нет, про иррациональные числа знали задолго до Кантора и Дедекинда и под действительными числами имели ввиду и рациональные и иррациональные. То есть, действительные числа считали первичным математическим понятием, интуитивно очевидным, и не определяли. Это же факт.

Я, может, неправильно помню, но вроде вещественные числа стали использовать только в Новое Время (не раньше Декарта). И сопутствующие понятия типа непрерывных и дифференцируемых функций точно не были интуитивно очевидными, у разных математиков была разная интуиция. Ровно до строгого построения математического анализа. Так как вещественные числа возникли по сути из геометрии, то и интуиция там была в лучшем случае геометрическая. Вас устроят основания математики, где сначала строится евклидова геометрия (аксиоматически), а потом из неё появляется поле вещественных чисел как группа Гротендика полукольца длин отрезков? Ну или как числовая прямая с хитро введёнными операциями.

[epros]

talash в сообщении #1633697 писал(а):

я хочу конкретных вещей, которые можно будет запрограммировать на компьютере и пощупать руками, смотрите ещё раз cообщение.

Вы про предложение использовать приближённые числа вместо действительных? Я же писал, что с этим связана куча проблем. И этого Вам никто не запрещает. В сущности, все численные методы так и работают.

talash в сообщении #1633697 писал(а):

До Кантора и Дедекинда не было понятия "действительное число"? Но оно было. Что же под ним понимали только рациональные числа? И снова нет, про иррациональные числа знали задолго до Кантора и Дедекинда и под действительными числами имели ввиду и рациональные и иррациональные. То есть, действительные числа считали первичным математическим понятием, интуитивно очевидным, и не определяли. Это же факт.

Факт в том, математики столетиями использовали выражения типа "длина диагонали единичного квадрата не выражается числом".

[talash]

epros в сообщении #1633717 писал(а):

Факт в том, математики столетиями использовали выражения типа "длина диагонали единичного квадрата не выражается числом".

Это очень странно не считать числом длину отрезка, ведь её же можно измерить линейкой. В далёкую древность ходить не буду, но провёл небольшое исследование и нашёл несколько авторов, которые вводят иррациональные числа не длинным путём от натуральных, как Дедекинд, а как бесконечные непериодические десятичные дроби. Сейчас приведу.

-- 24.03.2024, 19:44 --

Но сначала интуитивные основания арифметики от Дедекинда:

Р.Дедекинд писал(а):

Я смотрю на всю арифметику, как на необходи­мое или, по крайней мере, натуральное следствие простейше­го арифметического акта — счета, самый же счет представляет не что иное, как последовательное созидание бесконечного ряда положительных целых чисел, где каждый индивидуум определяется непосредственно ему предшествующим. Про­стейший акт заключается в переходе от созданного уже индивидуума к следующему, вновь созидаемому. Уже сама по себе цепь этих чисел образует необычайно полезное вспомогательное средство для человеческого ума и представляет неиссякаемое богатство замечательных законов, к которым мы приходим посредством введения четырех основных ариф­метических действий. Сложение есть соединение в один акт упомянутых простейших актов, повторенных сколько угодно раз. Таким же образом из сложения проистекает умножение. Между тем, как обе эти операции всегда вы­ полнимы, выполнимость обратных операций — вычитания и деления — оказывается ограниченной. Каков бы ни был здесь ближайший повод, какие бы сравнения и аналогии с опытом и наблюдением ни приводили к этому, — вопрос об этом мы оставим в стороне; достаточно того, что именно эта ограниченность в выполнении обратных операций всякий раз становилась настоящей причиной нового творческого акта. Так созданы человеческим умом отрицательные и дробные числа, благодаря чему приобретено было орудие беско­нечно более высокого совершенства в виде системы всех рациональных чисел. Эта система, которую я обозначу че­рез ${\displaystyle R}$, обладает прежде всего тою полнотою и закончен­ностью, которую я в другом месте отметил, как признак числового поля (Zahlkörper), и которая состоит в том, что четыре основные операции со всякими двумя индивиду­умами из ${\displaystyle R}$ выполнимы, то есть, что результатом этих опе­раций всегда опять является определенный индивидуум из ${\displaystyle R}$, если только исключить единственный случай деления на нуль.
link

[tolstopuz]

talash в сообщении #1634015 писал(а):

Это очень странно не считать числом длину отрезка, ведь её же можно измерить линейкой.

Почитайте книги VII-X "Начал" Евклида, там много удивительного с современной точки зрения.

Цитата:

Несоизмеримые величины не имеют между собой отношения, как число к числу.

[talash]

Допускают введение иррациональных чисел через бесконечные непериодические десятичные дроби например следующие авторы:

Д.Граве, смотри пост.

Сканави М. писал(а):

Введем теперь следующее определение: иррациональным
числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь
$a = a,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}...$,
где $a$ — целая часть числа (она может быть положительной, равной нулю или отрицательной), а $a_{1}, a_{2}, ...,a_{n}, ...$ — десятичные знаки (цифры) его дробной части.
https://scask.ru/f_book_el_math.php?id=7

Нивен А. писал(а):

Вышеизложенное подсказывает иной способ, позволяющий представить себе совокупность действительных чисел. Действительные числа образуются совокупностью всех десятичных дробей, конечных или бесконечных, как, например
...
В соответствии с предыдущей главой совокупность этих десятичных дробей можно разделить на два класса: класс рациональных чисел и класс иррациональных чисел. Рациональные числа — это те десятичные дроби, которые либо конечны, либо периодичны; иррациональные числа — это бесконечные (непериодические) десятичные дроби, как, например, дробь q, о которой говорилось выше.
https://www.mathedu.ru/text/niven_chisl ... _1966/p57/

Вышеизложенный подход я пытаюсь развить. В нём вещественные числа вводятся наравне с целыми, а не получаются из них длинным путём. Но хочу придумать, чтобы в "первом контуре" оснований не было неоднозначности представления рациональных чисел в виде десятичных дробей. Чтобы всё было красиво, а следовательно - понятно.

[epros]

talash в сообщении #1634015 писал(а):

Это очень странно не считать числом длину отрезка, ведь её же можно измерить линейкой.

И что отсюда следует? Если Вы представляете действительные числа отрезками, то я могу догадаться, как Вы будете их складывать и вычитать, но, например, уже не очень представляю, как Вы будете их перемножать и делить.

talash в сообщении #1634015 писал(а):

Но сначала интуитивные основания арифметики от Дедекинда:

В приведённом куске автор не ушёл дальше рациональных чисел.

talash в сообщении #1634018 писал(а):

Вышеизложенный подход я пытаюсь развить. В нём вещественные числа вводятся наравне с целыми, а не получаются из них длинным путём.

Это как "наравне с целыми"? Десятичные дроби, как я неоднократно говорил, это частный случай последовательностей рациональных чисел.

[talash]

epros в сообщении #1634042 писал(а):

И что отсюда следует? Если Вы представляете действительные числа отрезками, то я могу догадаться, как Вы будете их складывать и вычитать, но, например, уже не очень представляю, как Вы будете их перемножать и делить.

У Д.Граве всё подробно расписано, link.

epros в сообщении #1634042 писал(а):

В приведённом куске автор не ушёл дальше рациональных чисел.

Это была вводная часть перед определением сечений Дедекинда. Он дал краткие интуитивные основания своего подхода. Имеет право на такой подход. Но если Вы настаиваете, что такой интуитивный подход единственно верный, то должны это подробно обосновать. Счёт, этот простейший акт, используется не только для подсчёта отдельных предметов. Длину тоже считают, например, шагами. Но длина, в отличие от отдельных предметов, не всегда получается целым числом. Полшага это уже что-то сложное и инуитивно непонятное? Так почему же в основе арифметики должны обязательно быть одни только натуральные числа? Почему нельзя использовать другой подход?

Если не настаиваете, то я продолжу с Вашего позволения.

[talash]

talash в сообщении #1633353 писал(а):

Приблизительная идея пока такая. Мы можем наглядно показать, что такое приближённая математика в видеороликах или в интерактивном компьютерном приложении. В идеальном математическом мире есть объекты и наблюдатель. Каждый объект снабжён встроенной идеальной линейкой. Наблюдатель может приблизиться к объекту и увидеть его примерную длину. Далее он может неограниченно приближаться к краю объекта, где находится конец линейки, и видеть всё более точные деления.

Наблюдатель заранее не знает длину объекта. И для него не существует понятий иррациональное или рациональное число, он может увидеть только приближённое число, с той точностью, которую возжелает.

Мы не задаём строгое правило какие деления будут на линейке, можем использовать десятичные дроби, но можем и обыкновенные.

Вот это наблюдаемое число на линейке и будет называться вещественным числом в приближённой математике.

Раз мы можем наблюдать длину объекта с неограниченной точностью, при этом наблюдения можем повторять и будем получать те же значения, то внутри системы должна работать точная математика, должен быть задан алгоритм, который с бесконечной точностью описывает длину объекта. Наблюдатель способен получить только конечное приближение длины объекта, но поскольку нет ограничений сколько раз он может приближаться к линейке, то внутренний алгоритм должен быть бесконечно точным, чтобы покрыть любую возможную потребность в точности.

Если мы зададим внутренний алгоритм вычисления длины объекта точным числом 1.0 или зададим бесконечной дробью 0.(9), то наш наблюдатель очевидно не сможет определить разницу между этими числами точной математики.

Чуть более подробнее опишу.

В основу нашего подхода мы положим интуитивное понятие числа. Допустим мы ещё не знаем математики, но уже пользуемся числами. Числа у нас используются для подсчёта отдельных предметов, а также для измерения длины. Если в первом случае используются всегда целые числа, то во втором также используются дроби. И между этими понятиями нет принципиальной разницы, показывается это на примере:

talash в сообщении #1629515 писал(а):

Дроби, как и натуральные числа - интуитивно очевидны. Потому что, допустим, мы не знаем математики и нам понадобилась универсальная мера длины. Мы берём нечто очень маленькое, минимальный размер, откладываем его десять раз, затем полученную длину откладываем ещё десять раз, затем вновь полученную длину ещё десять раз и получаем длину примерно в метр. Изготавливаем линейку с делениями. Далее, оказывается, что маленькие размеры мы меряем редко, а большие часто и решаем, что удобнее принять за единицу 1000 минимальных размеров. Вот из хозяйственных нужд и получились десятичные, как целые, так и дробные числа.

При переходе к идеальному математическому миру, мы снимаем ограничения максимальной и минимальной длины. Это очевидное упрощение, потому что иной путь приводит к неразрешимым вопросам, какими числами ограничить длину и почему именно ими, а что делать если нам понадобятся бОльшие или мЕньшие числа?

Этот начальный идеальный математический мир, то с чего начинается математика, можно будет запрограммировать на компьютере. Что будет в этом мире на первом этапе? Наблюдатель - живой человек, взаимодействующий с программой. Он может создавать и уничтожать идеальные математические объекты, длиной в одну единицу, а ширина и толщина всегда много меньше длины. Наблюдатель непосредственно видит все созданные объекты и сопоставленное им число. При создании объекта, число увеличивается, при уничтожении уменьшается. Это так называемые операции инкремент и декремент. На их основе будем делать сложение и вычитание, но это позже.

Также наблюдатель может перейти в другой режим для взаимодействия с идеальными объектами. В этом режиме счёта не будет. А будет линейка, с помощью которой наблюдатель сможет мерять длину объектов. Изначально вновь созданный объект имеет длину 1.0000... Это известно наблюдателю, но непосредственным измерением он не может это проверить, потому что он видит только ограниченное количество делений, хотя он и может неограниченно приближаться к краю объекта с линейкой и видеть всё более точные деления, но конца достигнуть нельзя. И если не знать заранее, то невозможно сказать, какой точно размер объекта, непосредственным измерением можно узнать только приближённый размер.

Далее наблюдатель может точно разрезать объект на равные части. А также может делать примерный рез по видимому в данный момент делению линейки. Если мы введём двух наблюдателей, которые могут взаимодействовать с одним объектом, то один из наблюдателей может сильно приблизиться к краю объекта и срезать очень малую его часть, тогда второй наблюдатель сможет это определить только если приблизится на такое же близкое расстояние. И в случае двух наблюдателей, если объект был создан ранее и второй наблюдатель мог с ним взаимодействовать без ведома первого, то для первого наблюдателя размер объекта становится принципиально неопределённым, он уже не может быть уверен, что объект имеет ровно единичную длину, что от него не отрезали кусочек и сколько бы он не приближался к краю объекта с линейкой и не видел, что объект вроде бы не тронут, он никогда не сможет быть в этом уверен.

Я подробно это расписываю, потому что мы тут имеем неограниченность, но ещё нигде нет бесконечности. И далее будет понятно как и почему из неограниченности возникает бесконечность и какие правила работы с ней будут заданы.