Основания классического математического анализа.

[epros]

talash в сообщении #1633373 писал(а):

Смотрите, вводя операцию деления, мы делаем обобщение понятия числа и называем новые числа, включающие целые - рациональными. У нас есть конкретная конструкция как эти числа получаются.

Вводится "конструкция" предела последовательности. Понятие рационального числа обобщается до любых пределов последовательностей.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1633363 писал(а):

Замыкание множества рациональных чисел Вас устроит как "идея"?

Чтобы говорить о замыкании некоторого множества, надо уже явно указывать, в каком топологическом пространстве мы это замыкание делаем. Поэтому чтобы сказать, что $\operatorname{CL} \mathbb Q = \mathbb R$, само топологическое пространство $\mathbb R$ уже должно быть определено. Просто так наивно сказать "определим вещественные числа как замыкание рациональных" нельзя.

[Alpha AXP]

talash
Когда-то по молодости я предлагал так определять "вещественные" числа и заодно ввести другие типы чисел, которые нам сейчас неизвестны:

Рассмотрим таблицу:

............................
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
.............................

Строки - это разряды, пронумеруем их числами от $-\infty$ до $\infty$ по порядку.
Если от каждого разряда возьмем одну цифру, то последовательность этих цифр будем называть "вещественным" числом, все $10^{2\infty}$. возможных комбинаций будут определять мощность множества таких "вещественных" чисел
Теперь можно пофантазировать как в такой конструкции будут выглядеть натуральные, рациональные и иррациональные .
Также можно пофантазировать как будут выглядеть неизвестные нам еще числа. Например от каждого разряда брать случайным образом по 2. по 3 и т.д., или брать случайным образом случайное количество цифр и записывать их по разрядам. С повторениями или без в одном разряде.

Надеюсь такая таблица станет дополнительным инструментом для исследования вещественных чисел и размышления о других типах чисел.

Если мощность множества вещественных чисел определяется как булеан, то есть резон попробовать строить их комбинаторно. Наподобие того как предложено выше.

[пианист]

Alpha AXP
А в чем разница с обычным десятичным представлением вещественного числа - что в обе стороны продолжается?
Если это, то похоже на $p$-адический соленоид.

[Alpha AXP]

пианист в сообщении #1633391 писал(а):

А в чем разница с обычным десятичным представлением вещественного числа - что в обе стороны продолжается?

Разницы нет, если верх ограничить и ввести доп. правила, но преимущество в том, что видна структура множества и способ получения его элементов. Т.е. видна комбинаторная суть. Все числа равноправны в этой структуре по способу получения, по комбинаторике. Но чем-то и различаются. Вот эти различия и стоит рассматривать, чтобы разбить их на типы.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1633382 писал(а):

чтобы сказать, что $\operatorname{CL} \mathbb Q = \mathbb R$, само топологическое пространство $\mathbb R$ уже должно быть определено

Предел последовательности рациональных чисел определяется без знания о существовании иррациональных.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1633394 писал(а):

Предел последовательности рациональных чисел определяется без знания о существовании иррациональных.

Понятие "последовательность рациональных чисел" неоднозначное. И вообще, чтобы говорить о пределе, мало просто написать функцию $f: X \to Y$ и базу $\Sigma$ в $X$. Вы должны явно указывать топологию на $Y$. Поэтому, когда Вы говорите о пределе "последовательности рациональных чисел", непонятно, что это в точности означает:

1. предел функции вида $f: \mathbb N \to \mathbb Q$ со стандартной метрической топологией на $\mathbb Q$ (по обычной базе)
2. или предел функции вида $g:\mathbb N \to \mathbb R$, где $g(\mathbb N) \subset \mathbb Q'$ (где $\mathbb Q' \subset \mathbb R$ - образ канонического вложения $i: \mathbb Q \to \mathbb R$.) (тоже по стандартной базе в $\mathbb N$).

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1633397 писал(а):

Поэтому, когда Вы говорите о пределе "последовательности рациональных чисел", непонятно, что это в точности означает:

Неужели? Это в точности означает то, чему учил Коши: Для любого положительного рационального $\varepsilon$ существует такое натуральное $n$, что для любого натурального $i > n$ модуль некой разности менее $\varepsilon$.

"Некая разность", разумеется, должна быть тоже рациональной ровно до тех пор, пока мы ничего другого не знаем.

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1633382 писал(а):

epros в сообщении #1633363 писал(а):

Замыкание множества рациональных чисел Вас устроит как "идея"?

Чтобы говорить о замыкании некоторого множества, надо уже явно указывать, в каком топологическом пространстве мы это замыкание делаем.

Видимо, имелось в виду пополнение, оно единственно с точностью до изометрии. Можно сделать стандартную конструкцию из профакторизованных последовательностей Коши рациональных чисел. Да, так как у нас еще нет $\mathbb{R}$, мы не можем пользоваться понятиями метрики и предела, поэтому конструкция получается довольно нудной, но вполне выполнимой, например, как здесь:
https://mathweb.ucsd.edu/%7Etkemp/140A/ ... n.of.R.pdf

-- Вт мар 19, 2024 18:30:07 --

Причем пока мы не завершим проверку всех аксиом $\mathbb{R}$, понятие пополнения не имеет смысла, потому что оно тоже завязано на понятие метрики. Но как только конструкция закончена, мы можем воспользоваться только что построенным $\mathbb{R}$ для построения метрики на нем же и доказать, что это действительно было пополнение :)

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1633399 писал(а):

Это в точности означает то, чему учил Коши: Для любого положительного рационального $\varepsilon$ существует такое натуральное $n$, что для любого натурального $i > n$ модуль некой разности менее $\varepsilon$.

Ну, это в точности мой первый вариант. Я так и думал, что Вы имеете в виду предел относительно метрической топологии на $\mathbb Q$. Догадаетесь теперь, почему Ваша идея определить $\mathbb R$ как замыкание $\mathbb Q$ в таком формате не работает? И во избежание двусмысленности, проговорите, как Вы определяете замыкание.

-- 19.03.2024, 19:03 --

tolstopuz в сообщении #1633407 писал(а):

Видимо, имелось в виду пополнение

Пополнение - это уже другая история. Я думаю epros все же имел в виду замыкание, а не пополнение.

[epros]

tolstopuz в сообщении #1633407 писал(а):

поэтому конструкция получается довольно нудной

Ну почему же нудной? По-моему, это самый естественный подход. В конце концов, арифметические операции над последовательностями реально выполнимы, в то время как операции с какими-нибудь сечениями Дедекинда, судя по всему, можно только воображать.

EminentVictorians в сообщении #1633413 писал(а):

Догадаетесь теперь, почему Ваша идея определить $\mathbb R$ как замыкание $\mathbb Q$ в таком формате не работает?

Для формалистов может быть и не работает.

EminentVictorians в сообщении #1633413 писал(а):

Я думаю epros все же имел в виду замыкание, а не пополнение.

Да нет, формально говоря, это наверное и называется пополнением.

Суть-то в том, что мы видим, что некоторые фундаментальные последовательности почему-то не имеют пределов и удивляемся этому. И решение доопределить для этих последовательностей новые числа - вполне естественно. Как я понимаю, истории возникновения понятия это тоже соответствует.

[tolstopuz]

epros в сообщении #1633420 писал(а):

В конце концов, арифметические операции над последовательностями реально выполнимы, в то время как операции с какими-нибудь сечениями Дедекинда, судя по всему, можно только воображать.

Если сечения заданы конструктивно, как вы любите ($\sqrt 2$ выглядит как $\{x|x<0\vee x^2<2\}$), то почему бы и не выполнять их над сечениями? Да и над последовательностями надо осторожно, с делением могут быть проблемы.

epros в сообщении #1633420 писал(а):

Суть-то в том, что мы видим, что некоторые фундаментальные последовательности почему-то не имеют пределов и удивляемся этому. И решение доопределить для этих последовательностей новые числа - вполне естественно.

И самый простой подход - объявить числами сами эти последовательности и склеить одинаковые. По сути то же, что и с целыми и рациональными числами - объявили числом ленивую операцию вычитания или деления и склеили одинаковые.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1633420 писал(а):

Ну почему же нудной? По-моему, это самый естественный подход.

Конструкция действительно нудная. Было бы гораздо лучше сделать эту процедуру один раз и в общем виде (для произвольного метрического пространства), а потом определить $\mathbb R$ как результат этой универсальной процедуры пополнения $\mathbb Q$ как метрического пространства. Но так нельзя по очевидным причинам, и об этом уже писали.

Вообще, действительные числа - это терминальный объект в категории линейно упорядоченных архимедовых полей. Кстати, отсюда понятно, почему все конструкции вещественных чисел изоморфны и, более того, почему между ними существует единственный изоморфизм. Было бы здорово, если бы получилось доказать существование терминального объекта в этой категории без явного построения, исходя из каких-нибудь теоретико-категорных причин. Тогда вообще можно было бы не возиться со всеми этими моделями действительных чисел. Но я не знаю, реально ли это.

[epros]

tolstopuz в сообщении #1633422 писал(а):

Если сечения заданы конструктивно, как вы любите ($\sqrt 2$ выглядит как $\{x|x<0\vee x^2<2\}$), то почему бы и не выполнять их над сечениями?

Отношения порядка изначально алгоритмически неразрешимы, так что мне непонятно, в каком смысле сечения Дедекинда могут быть заданы конструктивно.

tolstopuz в сообщении #1633422 писал(а):

Да и над последовательностями надо осторожно, с делением могут быть проблемы.

Учитывать невозможность деления на нуль приходится и для рациональных, и для целых чисел. А при делении на действительное число, если оно не нуль, то начиная с некоторого номера элемента в определяющей его последовательности нулей заведомо не будет.

[talash]

Подход, когда действительные числа получаются из целых, начал преобладать в традиционной математике в 19-ом веке, вот две цитаты знаменитых учёных:

Ф.Клейн писал(а):

Через всю историю математики, так же как и через все философские рассуждения о ее природе, проходит, как известно, красной нитью различие между дискретной арифметической величиной и непрерывной геометрической величиной. В новейшее время особенно стали выдвигать на первый план дискретную величину как наиболее легкую для понимания; на целые натуральные числа стали смотреть как на данные простейшие понятия, выводя из них по известному способу рациональные и иррациональные числа; таким образом в конце концов был получен весь аппарат, необходимый для господства анализа в геометрии, т. е. аналитическая геометрия. Эту тенденцию современного развития математики можно назвать арифметизацией геометрии: геометрическая идея непрерывности оказывается сведенной к идее целых чисел. Этого же направления мы придерживались в основном и в настоящих лекциях.
https://www.mathedu.ru/text/kleyn_eleme ... _1987/p379

А.Пуанкаре писал(а):

Долгое время предметы, которыми занимаются математики, были по большей части плохо определены; думали, что знают их, потому что представляли себе их при помощи чувств или воображения; но получался только грубый образ, а не ясная идея, на которой можно было бы строить рассуждение.

Вот сюда-то прежде всего логики и должны были направить свои усилия.

Точно то же произошло и для иррационального числа.

Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.

Благодаря ей трудности при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых окончательно устраняются.

Теперь в анализе остаются только целые числа или конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью отношений равенства или неравенства.

Математика, как говорят, арифметизировалась.
https://www.metodolog.ru/00972/00972.html

Этот подход можно кратко обозначить, как попытка в основаниях математики оставить минимальное количество интуитивных вещей. Но в результате получается, что действительные числа выводятся из целых длинным путём, то есть, они отодвигаются далеко от оснований. А мне понятнее подход, когда интуитивно очевидные вещи находятся рядом в основаниях.

Натуральные числа в детском возрасте сначала используются для подсчёта отдельных предметов. Но их же затем естественно использовать и для подсчёта длины. А из этого очевидным образом получаются дроби, как я написал здесь. Они легко получились бы даже если бы в культуре людей о них не знали, но было бы развито хозяйство, которое нуждалось в общей мере длины. Затем, переходя к идеальному математическому миру мы не ограничиваем себя в максимальном размере, но, значит, и не должны ограничивать себя в минимальном. И этим мы сразу приходим к действительному числу.

А получение очевидного из очевидного можно использовать для того, чтобы научиться методам математических доказательств. Например, мы можем определить сложение и доказать его свойства, зная свойства инкремента. Законы сложения, сочетательный и переместительный очевидны для многих, а вот метод математической индукции очевиден далеко не всем. И будет удобно его осваивать на простых примерах, где известно, что должно получиться.