Основания классического математического анализа.

[tolstopuz]

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Отрицательные числа используются, например, в электростатике для подсчёта потенциала электрического поля от отрицательного заряда.

Кстати да, одноименные заряды притягиваются, разноименные отталкиваются.

[alisa-lebovski]

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Отрицательные числа используются, например, в электростатике для подсчёта потенциала электрического поля от отрицательного заряда. Там принцип суперпозиции и в задачах может быть сложение нескольких отрицательных и положительных чисел, а результат может быть как положительным так и отрицательным числом. Поэтому, сложение отрицательных чисел становится интуитивно понятным из подобных примеров. Но умножение - нет.

Да Боже ж мой! Вы про закон Кулона слышали что-нибудь?

[epros]

talash в сообщении #1631136 писал(а):

Сейчас я развиваю мысль, что правило умножения отрицательных чисел не является интуитивно очевидным,

Вам интуитивно не очевидно, что правила выполнения арифметических операций для отрицательных чисел должны быть теми же, что для положительных?

[мат-ламер]

epros в сообщении #1631154 писал(а):

Вам интуитивно не очевидно, что правила выполнения арифметических операций для отрицательных чисел должны быть теми же, что для положительных?

Меня этот вопрос тоже поставил в своё время в тупик. Не помню в каком классе это было - то ли в 4-м, то ли в 5-м. И учительница мои сомнения развеять не смогла. Хорошо, что дома помогли. Уже не помню какой аргументацией. К сожалению, уже потерял способность удивляться простым вещам и задумываться над ними.

[tolstopuz]

tolstopuz в сообщении #1631139 писал(а):

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Отрицательные числа используются, например, в электростатике для подсчёта потенциала электрического поля от отрицательного заряда.

Кстати да, одноименные заряды притягиваются, разноименные отталкиваются.

Наоборот, конечно :)

[talash]

tolstopuz в сообщении #1631173 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1631139 писал(а):

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Отрицательные числа используются, например, в электростатике для подсчёта потенциала электрического поля от отрицательного заряда.

Кстати да, одноименные заряды притягиваются, разноименные отталкиваются.

Наоборот, конечно :)

Во, спасибо за наводку, закон Кулона это то что надо. Нужен был пример из физики почему выбрали именно такое правило умножения отрицательных чисел. Без коммутативности множителей записать этот закон в векторной форме одной формулой не получилось бы.

-- 28.02.2024, 08:14 --

мат-ламер в сообщении #1631162 писал(а):

Меня этот вопрос тоже поставил в своё время в тупик. Не помню в каком классе это было - то ли в 4-м, то ли в 5-м. И учительница мои сомнения развеять не смогла. Хорошо, что дома помогли. Уже не помню какой аргументацией. К сожалению, уже потерял способность удивляться простым вещам и задумываться над ними.

Если ты не знаешь почему действия с отрицательными числами именно такие, а не другие, значит у тебя нет полного понимания в этом вопросе. И ты просто принял на веру информацию от учителя.

[bot]

talash в сообщении #1631136 писал(а):

Если бы минус умножить на минус давал минус, то

это бы вошло в конфликт с дистрибутивностью. Ещё раз:

$$\left\{\begin{matrix} (-a)\cdot b + a\cdot b= (-a+a)\cdot b =0\Rightarrow (-a)\cdot b =-(a\cdot b)\\ a\cdot (-b )+ a\cdot b= a\cdot (-b +b)=0 \Rightarrow a\cdot (-b) =-(a\cdot b)\end{matrix}\right. \Rightarrow $$ $$(-a)\cdot b=-(a\cdot b)=a\cdot (-b) \Rightarrow (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab $$

Или станете возражать против $-(-a)=a\,?$

[talash]

bot в сообщении #1631189 писал(а):

это бы вошло в конфликт с дистрибутивностью.

Да, вошло бы. Я сразу согласился с этим.

[epros]

talash в сообщении #1631187 писал(а):

Нужен был пример из физики почему выбрали именно такое правило умножения отрицательных чисел.

Уж физика тут точно ни при чём.

[talash]

epros в сообщении #1631154 писал(а):

talash в сообщении #1631136 писал(а):

Сейчас я развиваю мысль, что правило умножения отрицательных чисел не является интуитивно очевидным,

Вам интуитивно не очевидно, что правила выполнения арифметических операций для отрицательных чисел должны быть теми же, что для положительных?

Это очевидно, но при этом получается неожиданный результат.

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Продолжите ряд:

$$2 + 2 = 4$$

$$2 \times 2 = 4$$

$$(-2) + (-2) = -4$$

... Что следующее?

$$(-2) \times (-2) = 4\hspace{10} \color{red} WHY???$$

Поэтому появились вопросы.

-- 28.02.2024, 08:29 --

То что вопрос не такой простой, подтверждает исторический очерк, а задним умом многие сильны.

Цитата:

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси, благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция
$\displaystyle 1:(-1)=(-1):1$ — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность[4]. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.
вики

[epros]

talash в сообщении #1631193 писал(а):

Цитата:

на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Которые закончились признанием того, что правила арифметики для отрицательных чисел должны быть те же, что для положительных.

[talash]

epros в сообщении #1631203 писал(а):

talash в сообщении #1631193 писал(а):

Цитата:

на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Которые закончились признанием того, что правила арифметики для отрицательных чисел должны быть те же, что для положительных.

Точно. И в этом каждый может легко убедиться, возьмём любое правило, ну хотя бы... извлечение корня.

[epros]

talash в сообщении #1631212 писал(а):

возьмём любое правило, ну хотя бы... извлечение корня.

Нет такого. Правила арифметических операций - это ассоциативность, коммутативность, дистрибутивносить, операции с нулём и единицей. Или по-другому: Берём аксиомы Пеано, определяющие операции сложения и умножения, и выводим из них все те же правила.

[Mikhail_K]

talash в сообщении #1631193 писал(а):

Продолжите ряд:

Вы не тот ряд продолжаете.
Смотрите:
$(-2)\cdot 3=-6$
$(-2)\cdot 2=-4$
$(-2)\cdot 1=-2$
$(-2)\cdot 0=0$
$(-2)\cdot(-1)=?$
$(-2)\cdot(-2)=?$

-- 28.02.2024, 14:35 --

talash в сообщении #1631193 писал(а):

Продолжите ряд:

$$2 + 2 = 4$$

$$2 \times 2 = 4$$

$$(-2) + (-2) = -4$$

... Что следующее?

А тут вообще никакого ряда нет.

[talash]

epros в сообщении #1631214 писал(а):

talash в сообщении #1631212 писал(а):

возьмём любое правило, ну хотя бы... извлечение корня.

Нет такого. Правила арифметических операций - это ассоциативность, коммутативность, дистрибутивносить, операции с нулём и единицей. Или по-другому: Берём аксиомы Пеано, определяющие операции сложения и умножения, и выводим из них все те же правила.

Давайте называть это не "правила", а "свойства". В былые времена очень любили пропорции и у них тоже были некоторые свойства, которых не стало(в общем случае) с введением отрицательных чисел, смотри "парадокс Арно". Так что получается, что одни свойства сохранили, другие нет. Можно было сделать другой выбор, сделать другое определение отрицательных чисел. Это вопрос удобства. Скорее всего проверили на примерах и пришли к выводу, что сохранить эти свойства удобнее, чем другие. Поэтому, мне и нужен закон Кулона, как пример из физики, который показывает, что сделанный выбор в данном случае удобнее.