ZFC и категорная теория множеств противоречивы.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

:evil: Ну насмешили дорогой Someone. С каких это пор в формулы стали подставлять сами множества а не их имена

Считайте, что это просто манера выражаться. Разумеется, мы работаем с символами и именами. Я хотел подчеркнуть, что после того, как Вы сделали формулы элементами теории, они приобрели, так сказать, две ипостаси: с одной стороны, они являются формулами (как элементы метатеории), а с другой стороны - множествами (как элементы ZFC).

Котофеич писал(а):

Ваша тейория множеств основана на исчислении предикатов второго порядка

Вы действительно не понимаете, или придуриваетесь? Нет тут никакого исчисления предикатов второго порядка. После того, как Вы - и именно Вы, а не я - засунули формулы ZFC в саму ZFC - они стали обычными её объектами, и обращаться с ними можно точно так же, как со всеми прочими объектами. В частности, писать всякие кванторы. И они будут кванторами первого порядка - по объектам теории, а не по формулам. По каковой причине я и протестую против того, что "множество формул - это обычное ZFC-множество". И моё рассуждение как раз показывает, что совокупность формул ZFC нельзя вложить в ZFC так, чтобы получить множество и одновременно обеспечить возможность работать с формулами именно как с формулами, а не просто как со случайными множествами. Я думаю, что это рассуждение, ввиду его примитивности, известно со времён Оно, поскольку я всегда был абсолютно убеждён, что нельзя формулы теории вкладывать в эту теорию и позволять ей с ними работать.

Котофеич писал(а):

Sameone почитайте наконец доказательство теоремы Геделя, ну например у Коэна, там ясно сказано, что множество хформул это множество. А вот имена этих хформул, которые Вы используете, это как раз объекты метатеории и навешивать кванторы на них нельзя.

Вы сами-то это доказательство читали? И весь ли § 4 главы I Вы прочитали, особенно его начало? И почему это Вы то начинаете отрицать различие между теорией и метатеорией, когда это различие мешает Вам считать множество формул ZFC (которое, разумеется, является таковым в метатеории) "обычным ZFC-множеством", то вдруг вспоминаете об этом различии, когда я Вам демонстрирую, что стирание этого различия ведёт к противоречиям?

Котофеич писал(а):

С чего Вы взяли такое, что формулы это множества Формулы это т.н. атомы. Противоречивое множество, которое Вы мой друг построили, это хорошее противоречивое множество, но для ниспровержения ZFC оно не годится. Где Вы видели атомы в ZFC

Никакого противоречивого множества я не строил. Это Вы его создали из ничего титаническим усилием своей мысли.

Опять же, внимательно ли Вы читали доказательство той теоремы, к которой меня всё время отсылаете? Откуда возьмутся атомы, если аксиома объёмности в том виде, в каком она сформулирована в ZFC, запрещает их существование? Если мы изначально включим формулы ZFC в ту её модель, которую строим, то они станут там обычными множествами. Правда, их структура не будет иметь никакого отношения к их сущности как формул, и наша теория ZFC не сможет их распознавать и работать с ними (возможен и другой вариант: полученная таким совокупность элементов построенной модели не будет множеством в этой модели; это зависит от деталей построения). Поэтому и противоречия никакого не будет.

Последующее хамство пропускаю.

Котофеич писал(а):

Ваше множество заведомо не будет определимо в ZFC

Мне начхать, определимое оно или нет, тем более, что оно не моё, а Ваше, и, что гораздо существеннее, вообще не множество.

Котофеич писал(а):

Тут возникли усякие детские споры по поводу определений теории
и метатеорий, потому что кто то не знает школьных определений, что на самом деле абсолютно не в тему.
Это может бросать тень и вызывать сомнения у непосвященных.
Так я подчеркну, что мое доказательство не опирается на тонкую разницу
между теорией и метатеорией, свойственную только определенной специфике формулирования теории множеств и общих теорий первого порядка.

У меня сложилось впечатление, что Вы вооще не понимаете, зачем нужна метатеория, что это такое и почему её нельзя путать с описываемой ей теорией. Метатеория - это не какая-нибудь особенная теория, это такая же математическая теория, как и все прочие. Приставка "мета" характеризует только её назначение - служить средством для формального описания какой-либо теории. П.Дж.Коэн в начале упомянутого § 4 как раз сообщает, что он будет использовать для этой цели некоторый неформализованный вариант теории множеств с аксиомой выбора, но замечает, что после формализации теории множеств всё это можно повторить уже в рамках формализованной теории. Таким образом, в качестве метатеории можно взять саму ZFC, и в ней строить формализацию ZFC. Возможно, это Вас и сбивает с толку, поскольку здесь присутствуют две теории с одинаковыми названиями. Возможно, Вам будет легче их различать, если метатеорию Вы будете называть Мета-ZFC, чтобы явно отличать её от той ZFC, которая формализуется в этой самой Мета-ZFC.
Коэн действует в точном соответствии с моим пониманием метатеории (кстати, оно всё-таки не моё: именно в таком смысле разъясняется понятие метатеории в математической энциклопедии; почему ни в коем случае нельзя смешивать теорию и её метатеорию, хорошо объясняют Е.Расёва и Р.Сикорский в книге "Математика метаматематики" ("Наука", Москва, 1972) в начале главы V). Ваша же "метатеория" $\overline{ZFC}$ в этом смысле метатеорией не является:

Котофеич писал(а):

3.1.8.Метатеория теории множеств ZFC это формальная теория,
которая получается в результате расширения теории ZFC
путем добавления одного унарного отношения $\vdash_{ZFC}A$,
которое мы будем кратко записывать как $\vdash A$. При этом
мы говорим, что для замкнутой формулы A предложение
$\vdash A$ есть истинное предложение теории $\overline{ZFC}$,
если и только если A есть теорема теории множеств ZFC.
3.1.9.Метатеорию теории множеств ZFC мы будем обозначать
символом $\overline{ZFC}$ и называть метатеорией множеств $\overline{ZFC}$.

Ничего удивительного, что у Вас возникла жуткая путаница с этими самыми "обычными ZFC-множествами".

Котофеич писал(а):

Теперь я переведу на нормальный язык то что хотел сказать мой опонент.
Опонент говорит шо например счетное множество предметных констант с1,с2,...
которое имеется у ZFC енто не ZFC-множество, а некий обект какой то загадочной
метатеории

Котофеич, не надо приписывать мне всякие глупости, которые я не говорил. Вы их сами придумываете, от своего имени и излагайте. Мне просто физически не хватит времени, чтобы перечислить все глупости, которые Вы мне уже приписали. Разбирайте доказательство теоремы Гёделя о полноте, оно у Коэна хорошо описано, и там прекрасно видно, что есть что и откуда берётся. Читайте также "Математику метаматематики", там подробно объясняется, как метатеория используется для построения языка формализуемой теории.

Уважаемый опонент. Вы просто не знакомы с тонкими аспектами теории моделей.
Включать атомы в ZFC никому не запрещается, что Гедель и делает. Вам нужно разобраться
с аксиомой фундирования. Эта аксиома не зависит от других аксиом и относится только к
множествам, включать атомы в ZFC она не мешает. Когда наконец книжки начнем читать
Вы не логик и не нужно залазить со своим уставом в чужой огород, не зная определений
и простых теорем.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Руст писал(а):

В конструктивной математике, где признаются только перечислимые множества такая репликация невозможна. Котофеич так же утверждает, что нашёл противоречие уже при счётных множествах. Но я думаю это не конструктивное счётное множество. Счётных подмножеств натурального ряда континиум (по крайней мере в обычной логике), а перечислимых счётное множество и только они признаются ("нормальными") подмножествами натурального ряда в конструктивной математике.
Да, ещё я сторонник конструктивизма, и не стал вникать в построения Котофиеча (не читал ссылки в другие места), поэтому не могу определённо сказать какое он нашёл противоречие, но наличие такой возможности в неконструктивной математике считал возможным.

Я знаком с конструктивным направлением в объёме книги Б.А.Кушнера "Лекции по конструктивному математическому анализу", "Наука", Москва, 1973. Мне это показалось интересным, но заниматься этим не стал, поскольку для плодотворных занятий нужен тесный контакт со специалистами в данной области, которого у меня никогда не было.

Противоречивость ZFC в принципе возможна, но доказана она будет не в этот раз.

Что касается Котофеича, то ничего он не доказал и не докажет. Он исходит из ложного предположения, что множество формул ZFC является обычным ножеством в ней самой, в то время какна самом деле это множество принадлежит метатеории. Ему можно приводить любые доводы, он их все будет отвергать, хамить и отсылать к учебной литературе, которую сам толком не понимает. Это типичный гибрид ферманьяка, наподобие Виктора Сорокина, и профессора Выбегалло. Он "нахватался" всякой всячины, вообразил себя непризнанным гением и берётся за решение глобальных проблем (на меньшее он не обратит внимание) сразу во многих областях: математическая логика (проблема меньшая, чем противоречивость ZFC, его, разумеется, не интересует), теория гравитации (никак не меньше, чем опровержение классической теории чёрных дыр), квантовая механика (непременно приложение к Миру в целом, чтобы не мелочиться),... То, что он большей части прочитанного не понимает, ему объяснить, разумеется, невозможно, он просто не поверит. Я с такими людьми сталкивался и ранее, они абсолютно невменяемы. Я пишу просто потому, что должен же кто-то объяснить не очень квалифицированной публике, что впадать в панику в связи с "опровержением" ZFC несколько преждевременно. Профессиональных логиков должного уровня здесь либо нет, либо они считают ниже своего достоинства вступать в дискуссию с таким персонажем, как Котофеич.

Уважаемый опонент. Те кого Вы называете "не очень квалифицированная публика",
уже давно прочитали вот это определение
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%B8%D1%8F
множества формул в математической энциклопедии и смеются над Вами.
К метатеории мой друг относятся не формулы, а их имена, это знают даже школьники.
Ваша исключительная невнушаемость говорит только о том, что Вы не можете найти ошибки
и выдумываете свои собственные определения, которые к теории множеств никакого отношения не имеют.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Чтобы Ваше противоречивое множество Ф работало, нужно еще доказать, что его определение,которое записано формулой логики второго порядка, можно выразить ZFC-формулой, т.е. в языке первого порядка. Ваши рассуждения доказывают пока только то что: либо это Ф не выразимо в ZFC либо то что ZFC противоречива. Но никаким волшебным образом Ваши рассуждения не могут доказать что F не есть множество.

Что, Вам страшно не понравилось, что теория множеств первого порядка вдруг внезапно превратилась в теорию второго порядка? Замечательный фокус. Мне очень понравился.

Кто из нас двоих сказал, что "множество формул теории ZFC является обычным множеством этой теории"? Вы сказали. А как только Вы это сказали, формулы эти стали своего рода двуликими Янусами: с одной стороны, это формулы, а с другой - объекты теории ZFC, то есть, множества. А если Вам хочется, чтобы они были атомами - пусть будут. Тогда у нас будет ZFC с атомами. Только некоторые аксиомы надо переформулировать.

Вот я беру некоторую формулу $s(x,y,z)$ с тремя свободными переменными и пишу $\exists\psi s(\psi,\varphi,\varphi)\dots$. Вы тут же в крик: "Нельзя кванторы по формулам писать, у нас же теория первого порядка!" А я Вам: "Господь с Вами, какие формулы??? У нас $s$ - формула теории множеств, подставлять в неё можно только множества (ну, пусть имена множеств, если уж совсем формально), так что у меня $\psi$ и $\varphi$ - множества." И продолжаю писать: $\dots\wedge\neg\psi$. Тут Вы совсем не выдерживаете: "Как же так, пропозициональные связки нельзя к множествам применять, только к формулам!" А я Вам, как та корова в известном мультфильме: "Фигушки, я плотоядная! Вы же сами сказали, что $\psi$ - это формула!"

В общем, Вы этого хотели - теперь кушайте на здоровье.

[Котофеич]

К сожалению тут кушать пока нечего.
Уважаемый опонент, Ваше $\psi$ это не множество а атом, который Ваша же теория распознает как формулу, а квантификация по формулам в общем случае выводит за пределы ZFC, что Вам как я понял известно. Нужно еще показать,
что высказывание с такой квантификацией можно выразить эквивалентной замкнутой
ZFC-формулой. В вашем примере это проблематично,(но я не говорю шо невозможно) а в
моем примере это очень просто но длинно. Так на каком основании Вы нашли у меня ошибку , если еще не видели главной части доказательства Если в чем Вы и могли
бы усомниться так например типа, а нет ли ошибки при погружении , но никоим образом
в общей идее, которая давно известна. Разберитесь с этим вопросом, а тогда продолжим,
тем более что здесь акромя Вас, никто этим делом активно не интересуется.
А всякие эмоции, лучше поберегите для девочек, на меня это не действует, тем более что
к делу это отношения не имеет.
Я уже обращал Ваше драгоценное внимание на гл.5 вот этого всемирного справочника
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=R ... k&id=25225
Там как я уже говорил все Ваши конструкции изложены. Разберитесь с конструктивными
множествами. Определить их пустячное дело, но доказать их ZFC-определимость не очень просто.

[er]

Someone писал(а):

Противоречивость ZFC в принципе возможна, но доказана она будет не в этот раз.

Что касается Котофеича, то ничего он не доказал и не докажет. Он исходит из ложного предположения, что множество формул ZFC является обычным ножеством в ней самой, в то время какна самом деле это множество принадлежит метатеории.

Да поеймешь тут разве из чего Котофеич исходит.. Вроде есть погружение этих формул в ZFC и местами оно предпологается само собой разумеющимся. Но тут надо быть аккуратным, так как легко впасть в семантическую ошибку, что, похоже, и происходит.

Someone писал(а):

Ему можно приводить любые доводы, он их все будет отвергать, хамить и отсылать к учебной литературе, которую сам толком не понимает. Это типичный гибрид ферманьяка, наподобие Виктора Сорокина, и профессора Выбегалло. Он "нахватался" всякой всячины, вообразил себя непризнанным гением и берётся за решение глобальных проблем (на меньшее он не обратит внимание) сразу во многих областях: математическая логика (проблема меньшая, чем противоречивость ZFC, его, разумеется, не интересует), теория гравитации (никак не меньше, чем опровержение классической теории чёрных дыр), квантовая механика (непременно приложение к Миру в целом, чтобы не мелочиться),...

Да, тут еще одна супер проблема
http://cr.yp.to/conferences/2006-notredame/www.ams.org/amsmtgs/2130_abstracts/1016-11-8.pdf
$e+\pi$ иррационально. При этом, Котофеич не умеет давать корректные определения.. Что в этой Preliminary report, что в доказательстве противоречивости ZFC. Это как то подозрительно.

Someone писал(а):

То, что он большей части прочитанного не понимает, ему объяснить, разумеется, невозможно, он просто не поверит. Я с такими людьми сталкивался и ранее, они абсолютно невменяемы. Я пишу просто потому, что должен же кто-то объяснить не очень квалифицированной публике, что впадать в панику в связи с "опровержением" ZFC несколько преждевременно. Профессиональных логиков должного уровня здесь либо нет, либо они считают ниже своего достоинства вступать в дискуссию с таким персонажем, как Котофеич.

Вообще то бывают и среди математиков эксцентичные люди, которые не умеют статьи писать. Обычно это проходит после 2-3 публикаций но бывают и тяжелые случаи..

Доказательство вполне простое, неплохо бы чтоб логик какой взлянул. Я хорошему знакомому, который немного в курсе, это показал.. Ну, реакция на определение ZFC-множеств по Котофеичу понятна. Котофеич обещал текст, более подробный. Интересно на него посмотреть.

[Котофеич]

er писал(а):

Someone писал(а):

Противоречивость ZFC в принципе возможна, но доказана она будет не в этот раз.

Что касается Котофеича, то ничего он не доказал и не докажет. Он исходит из ложного предположения, что множество формул ZFC является обычным ножеством в ней самой, в то время какна самом деле это множество принадлежит метатеории.

Да поеймешь тут разве из чего Котофеич исходит.. Вроде есть погружение этих формул в ZFC и местами оно предпологается само собой разумеющимся. Но тут надо быть аккуратным, так как легко впасть в семантическую ошибку, что, похоже, и происходит.

Someone писал(а):

Ему можно приводить любые доводы, он их все будет отвергать, хамить и отсылать к учебной литературе, которую сам толком не понимает. Это типичный гибрид ферманьяка, наподобие Виктора Сорокина, и профессора Выбегалло. Он "нахватался" всякой всячины, вообразил себя непризнанным гением и берётся за решение глобальных проблем (на меньшее он не обратит внимание) сразу во многих областях: математическая логика (проблема меньшая, чем противоречивость ZFC, его, разумеется, не интересует), теория гравитации (никак не меньше, чем опровержение классической теории чёрных дыр), квантовая механика (непременно приложение к Миру в целом, чтобы не мелочиться),...

Да, тут еще одна супер проблема
http://cr.yp.to/conferences/2006-notredame/www.ams.org/amsmtgs/2130_abstracts/1016-11-8.pdf
$e+\pi$ иррационально. При этом, Котофеич не умеет давать корректные определения.. Что в этой Preliminary report, что в доказательстве противоречивости ZFC. Это как то подозрительно.

Someone писал(а):

То, что он большей части прочитанного не понимает, ему объяснить, разумеется, невозможно, он просто не поверит. Я с такими людьми сталкивался и ранее, они абсолютно невменяемы. Я пишу просто потому, что должен же кто-то объяснить не очень квалифицированной публике, что впадать в панику в связи с "опровержением" ZFC несколько преждевременно. Профессиональных логиков должного уровня здесь либо нет, либо они считают ниже своего достоинства вступать в дискуссию с таким персонажем, как Котофеич.

Вообще то бывают и среди математиков эксцентичные люди, которые не умеют статьи писать. Обычно это проходит после 2-3 публикаций но бывают и тяжелые случаи..

Доказательство вполне простое, неплохо бы чтоб логик какой взлянул. Я хорошему знакомому, который немного в курсе, это показал.. Ну, реакция на определение ZFC-множеств по Котофеичу понятна. Котофеич обещал текст, более подробный. Интересно на него посмотреть.

Не следует консультироваться с теми кто немного в курсе , а в особенности с теми
кто настолько не в курсе, что не может простое определение прочитать.
А то что Вы назвали безграмотным так это супер краткое резюме.
http://www.ams.org/amsmtgs/2130_program ... 130:AMSCP1
Вас послушать так у них там в AMS тоже усе неграмотные. К Вашему сведению, там всегда
хорошо подумают, перед тем как печатать
AMS Sectional Meeting Program by Day

Current as of Sunday, April 16, 2006 00:30:16




--------------------------------------------------------------------------------

Program | Deadlines | Registration/Housing/Etc. | Special Event or Lecture | Inquiries: [e-mail]

--------------------------------------------------------------------------------

2006 Spring Central Sectional Meeting
Notre Dame, IN, April 8-9, 2006 (Saturday - Sunday)
Meeting #1016
Associate secretaries:
Susan J Friedlander, AMS [e-mail]
Saturday April 8, 2006, 9:00 a.m.-11:25 a.m.
Session for Contributed Papers
Room 217, DeBartolo Hall


8:45 a.m.
Zhuang-zi: A New Algorithm for Solving Multivariable Polynomial Equations over a Finite Field.
Jintai Ding*, Dept. Math. Sci., University of Cincinnati
Dieter Schmidt, Dept of Electrical & Computer Engineering and Computer Scienecs, U. of Cincinnati
Jason Gower, Dept. Math. Sci., University of Cincinnati
(1016-14-19)
9:00 a.m.
A Radial Continuum Equation for Three-dimensional Rough Surface Growth.
Eric W Kuennen*, University of Wisconsin Oshkosh
(1016-82-144)
9:15 a.m.
Constructing Minimal Surfaces via Automorphic Functions.
O. Michael Melko*, Northern State University
(1016-53-42)
9:30 a.m.
Long-Time Asymptotics of the Nonlinear Schrodinger Equation Shock Problem.
Robert J. Buckingham*, University of Michigan
Stephanos Venakides, Duke University
(1016-35-295)
9:45 a.m.
A Nonlinear Gibbs-Type Phenomenon For the Defocusing Nonlinear Schr"odinger Equation.
Jeffery C DiFranco*, University of Michigan
(1016-35-293)
10:00 a.m.
Exact Solution of the Six-Vertex Model with Domain Wall Boundary Condition. Disordered Phase.
Vladimir Fokin*, Indiana University Purdue University Indianapolis
(1016-33-248)
10:15 a.m.
Nonsymmetric Jacobi and Wilson polynomials.
Genkai Zhang*, Chalmers Univ. of Tech. and Gothenburg Univ.
(1016-33-331)
10:30 a.m.
Equations of Symmetric Images of Plane Curves with Respect to a Straight Line.
Elan Y. Ding*, Oak Grove High School
Jiu Ding, University of Southern Mississippi
(1016-97-175)
10:45 a.m.
Wild sets in the Gaussian field.
Marius Somodi*, University of Northern Iowa
(1016-11-186)
11:00 a.m.
The solution of one very old problem in transcendental numbers theory.
Jaykov Foukzon*, Israel Institution of Technology

[er]

Котофеич писал(а):

Не следует консультироваться с теми кто немного в курсе , а в особенности с теми кто настолько не в курсе, что не может простое определение прочитать.

Все математики без проблем пишут и понимают определения. А у Вас какие то проблемы с этим, которые встречаются, разве что, у совсем зеленых студентов.

Какая то базовая элементарная математическая культура должна присутствовать..

Еще вопрос насчет формулы

$$ \mathfrak{R}^{\#} \triangleq \hat x( x\in Def[\overline{ZFC}] )[ (x\notin_{\vdash}x) \vee ((x\in_{\not\vdash})\wedge(x\notin_{\not\vdash})) ] $$

Разве не всегда истинно $x\notin_{\vdash}x$? Вроде сразу вытекает из аксиомы фундирования.. Если так, то $\mathfrak{R}^{\#}=Def[\overline{ZFC}]$. А этот случай разобрали, парадоксов тут нет.

В чем тут фокус?

[Котофеич]

er писал(а):

Котофеич писал(а):

Не следует консультироваться с теми кто немного в курсе , а в особенности с теми кто настолько не в курсе, что не может простое определение прочитать.

Все математики без проблем пишут и понимают определения. А у Вас какие то проблемы с этим, которые встречаются, разве что, у совсем зеленых студентов.

Какая то базовая элементарная математическая культура должна присутствовать..

Еще вопрос насчет формулы

$$ \mathfrak{R}^{\#} \triangleq \hat x( x\in Def[\overline{ZFC}] )[ (x\notin_{\vdash}x) \vee ((x\in_{\not\vdash})\wedge(x\notin_{\not\vdash})) ] $$

Разве не всегда истинно $x\notin_{\vdash}x$? Вроде сразу вытекает из аксиомы фундирования.. Если так, то $\mathfrak{R}^{\#}=Def[\overline{ZFC}]$. А этот случай разобрали, парадоксов тут нет.

В чем тут фокус?

Ну во первых насчет зеленых студентов . Возьмите и почитайте определения
ZFC-sets и больше не обращайтесь к энтим студентам за консультацией
http://philsci-archive.pitt.edu/archive ... assCat.PDF
http://www.google.com/search?hl=ru&q=ZF ... %D0%BA&lr=
гл.1 стр.30 вот этого всемирно известного справочника (который Ваш знакомый не читал, а мой главный опонент читал, но дочитав до гл.5 бросил, решив что и этого достаточно, а поэтому ему теперь пришлось на ходу изобретать, то что в гл.5 там было еще
до него написано...)
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=R ... k&id=25225
Во вторых про фундирование. Суждение $x\notin_{\vdash}x$ всегда истинно только в том случае если Вы предполагаете, как принято считать, что ZFC непротиворечива. Вы забыли,что теперь допускается и другая возможность. Потом оставьте пока в покое аксиому фундирования, если это Вас сбивает с толку. Обратите внимание, что эта аксиома нигде не использовалась. Так что ZFC и без аксиомы фундирования противоречива. Аксиома фундирования была добавлена к противоречивой теории, так что Ваш контраргумент не прошел в любом варианте. Вспомните старика Рассела Там вся наивная теория множеств наивного Кантора :shock: и без фундирования была разрушена Так по Вашему мы со стариком Расселом ошиблись хором
В третьих. Почему Вы решили, что доказательство простое Короткое это не значит
что простое. Потом сама эта противоречивая xформула, будучи записана на чистом и родном ZFC-языке,без сокращений и моих "некультурных прибамбасов", имеет огромные размеры.
Для того чтобы ее грамотно написать, очень много людей поработало. Просто когда все
это собралось в пирамиду, то пришел мерзкий кот и все разрушил. Вспомните Булгакова,
кота бегемота и елесеевский гастроном. Совершенно аналогичный случай, только немножко по другому поводу.

[er]

Котофеич писал(а):

Ну во первых насчет зеленых студентов . Возьмите и почитайте определения ...

Вопрос то в том, какие Вы пишете определения.

Котофеич писал(а):

гл.1 стр.30 вот этого всемирно известного справочника (который Ваш знакомый не читал, а мой главный опонент читал,

Домысливаете Вы чего то насчет моих знакомых.. Что знаю точно, в Сорокинском стиле он не пишет. Чтобы обнаружить Вашу малограмотность, много знать не нужно.

Котофеич писал(а):

Во вторых про фундирование. Суждение $x\notin_{\vdash}x$ всегда истинно только в том случае если Вы предполагаете, как принято считать, что ZFC непротиворечива. Вы забыли,что теперь допускается и другая возможность.

Спасибо за разъяснения, вроде понятно.. Так, насколько понял, теорема ZFC $x\notin_{\vdash}x$ не имеет прямого доказательтва, а доказывается от противного. То есть предпологается, что для некоторого $x$ верно, что $x\in x$ и приходим к противоречию.

Котофеич писал(а):

Потом оставьте пока в покое аксиому фундирования, если это Вас сбивает с толку. Обратите внимание, что эта аксиома нигде не использовалась. Так что ZFC и без аксиомы фундирования противоречива. Аксиома фундирования была добавлена к противоречивой теории, так что Ваш контраргумент не прошел в любом варианте. Вспомните старика Рассела

Да Рассела вспомнить неплохо. А оставлять в покое аксиому фундирования не охота, однако..

Добавим к $ZFC$ еще аксиому, $x\notin x$. Назовем получившуюся аксиоматику $ZFC_f$.

Теорема. $\overline{ZFC_f}$ противоречива.
Доказательство. Рассмотрим множество Рассела-Котофееча

$$ \mathfrak{R}^{\#} \triangleq \hat x( x\in Def[\overline{ZFC_f}] )[ (x\notin_{\vdash}x) \vee ((x\in_{\not\vdash})\wedge(x\notin_{\not\vdash})) ] $$

Из аксиомы $x\notin x$ вытекает, что $x\notin_{\vdash}x$ всегда истинно в $\overline{ZFC_f}$ и, следовательно, $\mathfrak{R}^{\#}=Def[\overline{ZFC_f}]$. Как писал Котофеич, очевидно, что $\mathfrak{R}^{\#}\in Def[\overline{ZFC_f}]$. Тогда $Def[\overline{ZFC_f}]\in Def[\overline{ZFC_f}]$. Противоречие с аксиомой $x\notin x$.

Ну, результат послабее, чем у Котофееча, но зато доказательство намного короче и понятней. Понятнее, что лажа..

Котофеич писал(а):

Там вся наивная теория множеств наивного Кантора :shock: и без фундирования была разрушена Так по Вашему мы со стариком Расселом ошиблись хором

К Расселу претензий нет.

Котофеич писал(а):

В третьих. Почему Вы решили, что доказательство простое Короткое это не значит что простое.

А что в нем сложного? Полстраницы элементарных рассуждений.

Котофеич писал(а):

Потом сама эта противоречивая xформула, будучи записана на чистом и родном ZFC-языке,без сокращений и моих "некультурных прибамбасов", имеет огромные размеры.

Я про Ваш исходный текст.

Котофеич писал(а):

Для того чтобы ее грамотно написать, очень много людей поработало. Просто когда все это собралось в пирамиду, то пришел мерзкий кот и все разрушил. Вспомните Булгакова, кота бегемота и елесеевский гастроном. Совершенно аналогичный случай, только немножко по другому поводу.

Ну, это если бегемот не запутался среди трех сосен.. ($ZFC$, $\overline{ZFC}$ и $\overline{\overline{ZFC}}$)

[Someone]

Котофеич писал(а):

:evil: К сожалению тут кушать пока нечего.

Раз ничего съестного не разглядели, значит, голодным останетесь.

Анекдот вспомнился древний.
Как-то раз Виннету, который, как известно, вождь апачей, вместе с несколькими друзьями попал к команчам в плен. Соплеменники его некоторое время разыскивали, а потом пропавшие вдруг сами заявились. Все к ним сразу с расспросами, дескать, что да как. Ну, те и рассказывают: "Посадили нас команчи в сарай. Ну, мы день сидим, два сидим, три дня сидим... А на четвёртый день Зоркий Глаз разглядел, что одной стены нет. Мы и ушли."

Котофеич писал(а):

:evil: Уважаемый опонент, Ваше $\psi$ это не множество а атом, который Ваша же теория распознает как формулу, а квантификация по формулам в общем случае выводит за пределы ZFC, что Вам как я понял известно.

Во-первых, я Вам уже писал, что это не моя теория, а Ваша. Это не я объявил формулы теории её собственными объектами, а Вы. Квантификация по объектам в ZFC разрешена без всяких ограничений, так что никаких возражений не может быть.
Во-вторых, что Вы прицепились к этим атомам? У нас первоначально обсуждалась стандартная ZFC без атомов. Никаких атомов в ней не может быть, этому препятствует аксиома объёмности (или, если Вам понятнее, экстенсиональности). Поэтому все объекты в ней являются множествами. Если Вы объявили формулы объектами ZFC, то они тоже стали множествами.
В-третьих, Вы явно не понимаете доказательства теоремы Гёделя о полноте, к которой Вы меня регулярно отсылаете. Если мы строим модель стандартной ZFC (без атомов), предварительно включив в эту модель желательные для нас объекты, то в процессе доказательства они станут множествами, чем бы они ни были первоначально. Если Вы не понимаете, как это происходит, то хотя бы подумайте о том, что, если этого не произойдёт, то мы не получим модели ZFC, в то время как она всё-таки получается.

Котофеич писал(а):

Так на каком основании Вы нашли у меня ошибку :lol: , если еще не видели главной части доказательства :?:

Начхать мне на главную часть доказательства, если ошибочно самое первоначальное предположение, без которого Вы не можете обойтись:

Котофеич писал(а):

Разрушить приведенное мной метадоказательство противоречивости не составляет труда. Достаточно запретить считать совокупности формул ZFC-множествами. Это все известно

Котофеич писал(а):

Я уже обращал Ваше драгоценное внимание на гл.5 вот этого всемирного справочника http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=R ... k&id=25225
Там как я уже говорил все Ваши конструкции изложены. Разберитесь с конструктивными
множествами. Определить их пустячное дело, но доказать их ZFC-определимость не очень просто.

Я никогда не говорил, что в этих конструкциях есть что-то новое. Напротив, я утверждал, что это наверняка давным давно известно, потому что никто, кроме Вас, не считает, что множество формул ZFC принадлежит ей самой. Все знают, что это множество принадлежит метатеории ZFC. Настоящей метатеории, в которой строится формализация ZFC, а вовсе не той, которую Вы называете метатеорией, поскольку никакая это не метатеория, а просто некоторое расширение ZFC.
И причём здесь конструктивные множества? Вы специально выбрали статью, в которой побольше занудных формул? Вы в своём репертуаре: никаких серьёзных доводов нет, хамите и отсылаете к литературе, не имеющей отношения к делу.

P.S. Кстати, не только я считаю первоначальный текст Котофеича безграмотным.

[Котофеич]

er писал(а):

Котофеич писал(а):

Ну во первых насчет зеленых студентов . Возьмите и почитайте определения ...

Вопрос то в том, какие Вы пишете определения.

Котофеич писал(а):

гл.1 стр.30 вот этого всемирно известного справочника (который Ваш знакомый не читал, а мой главный опонент читал,

Домысливаете Вы чего то насчет моих знакомых.. Что знаю точно, в Сорокинском стиле он не пишет. Чтобы обнаружить Вашу малограмотность, много знать не нужно.

Котофеич писал(а):

Во вторых про фундирование. Суждение $x\notin_{\vdash}x$ всегда истинно только в том случае если Вы предполагаете, как принято считать, что ZFC непротиворечива. Вы забыли,что теперь допускается и другая возможность.

Спасибо за разъяснения, вроде понятно.. Так, насколько понял, теорема ZFC $x\notin_{\vdash}x$ не имеет прямого доказательтва, а доказывается от противного. То есть предпологается, что для некоторого $x$ верно, что $x\in x$ и приходим к противоречию.

Котофеич писал(а):

Потом оставьте пока в покое аксиому фундирования, если это Вас сбивает с толку. Обратите внимание, что эта аксиома нигде не использовалась. Так что ZFC и без аксиомы фундирования противоречива. Аксиома фундирования была добавлена к противоречивой теории, так что Ваш контраргумент не прошел в любом варианте. Вспомните старика Рассела

Да Рассела вспомнить неплохо. А оставлять в покое аксиому фундирования не охота, однако..

Добавим к $ZFC$ еще аксиому, $x\notin x$. Назовем получившуюся аксиоматику $ZFC_f$.

Теорема. $\overline{ZFC_f}$ противоречива.
Доказательство. Рассмотрим множество Рассела-Котофееча

$$ \mathfrak{R}^{\#} \triangleq \hat x( x\in Def[\overline{ZFC_f}] )[ (x\notin_{\vdash}x) \vee ((x\in_{\not\vdash})\wedge(x\notin_{\not\vdash})) ] $$

Из аксиомы $x\notin x$ вытекает, что $x\notin_{\vdash}x$ всегда истинно в $\overline{ZFC_f}$ и, следовательно, $\mathfrak{R}^{\#}=Def[\overline{ZFC_f}]$. Как писал Котофеич, очевидно, что $\mathfrak{R}^{\#}\in Def[\overline{ZFC_f}]$. Тогда $Def[\overline{ZFC_f}]\in Def[\overline{ZFC_f}]$. Противоречие с аксиомой $x\notin x$.

Ну, результат послабее, чем у Котофееча, но зато доказательство намного короче и понятней. Понятнее, что лажа..

Котофеич писал(а):

Там вся наивная теория множеств наивного Кантора :shock: и без фундирования была разрушена Так по Вашему мы со стариком Расселом ошиблись хором

К Расселу претензий нет.

Котофеич писал(а):

В третьих. Почему Вы решили, что доказательство простое Короткое это не значит что простое.

А что в нем сложного? Полстраницы элементарных рассуждений.

Котофеич писал(а):

Потом сама эта противоречивая xформула, будучи записана на чистом и родном ZFC-языке,без сокращений и моих "некультурных прибамбасов", имеет огромные размеры.

Я про Ваш исходный текст.

Котофеич писал(а):

Для того чтобы ее грамотно написать, очень много людей поработало. Просто когда все это собралось в пирамиду, то пришел мерзкий кот и все разрушил. Вспомните Булгакова, кота бегемота и елесеевский гастроном. Совершенно аналогичный случай, только немножко по другому поводу.

Ну, это если бегемот не запутался среди трех сосен.. ($ZFC$, $\overline{ZFC}$ и $\overline{\overline{ZFC}}$)

Ну во первых не нужно путать небрежность с неграмотностью. Почитайте работы
Коэна, там почти на каждой странице неформальные определения и даже пробелы в
доказательствах. Когда пишут выражение $\exists X\Phi(X)$, то под этим
логик подразумевает, что существует некоторый объект $X\, который обладает
свойством $\Phi(X)$. Если T это формальная аксиоматическая теория
в которой доказуемо предложение $\exists X\Phi(X)$, то этот объект X
принято называть T-объектом. Если речь идет о ZFC и множествах, что как я полагаю
ясным из контекста, то что такое ZFC-свойство и ZFC-множество это тоже ясно.
1.ZFC-свойство $\Phi(X)$ это свойство множеств выразимое на языке теории ZFC
2. Если в ZFC доказуемо предложение $\exists X\Phi(X)$, то множество X
естественно называется ZFC-множеством .
Примеры: (a) пустое множество это ZFC-множество , (б) [1,2] (0,7]-ZFC-множества ,(с) в теории ZFC+ОКГ имеется бесконечно много множеств, которые не являются
ZFC-множествами ,(д) множество всех множеств это NF-множество, которое не является ZFC-множеством . Думаю примеров достаточно.
Почему Ваш знакомый с этим не знаком я не знаю. Может немного переучился. Для математика такие обороты действительно могут показаться странными поскольку,
математики всегда работают с конкретными классами множеств и свойств, которые описаны
даже не на ZFC-языке, а на 99% на языке соответствующих и родных им областей.
Во вторых, что касается аксиомы фундирования Вы все правильно поняли. Поскольку
непротиворечивость больше не предполагается как единственно возможная альтернатива, то
нужно рассуждать от противного, что всегда допустимо, (поскольку сама классическая логика и арифметика Пеано) предполагаются непротиворечивыми и противоречие тут же
появиться. Однако я вообще работал не в ZFC, а в ZF без фундирования. Этого
вполне достаточно, поскольку аксиома фундирования не зависит от остальных аксиом теории
ZF. В силу того что уже сама ZF противоречива, то этой аксиоме просто там
нечего ловить.
В третьих. В соснах я не запутался. Там разумеется пробел в доказательстве, но
не существенный. Вы говорите, что Вас смущает, что в определении $\mathfrak{R}^{\#}$ присутствует$Def[\overline{ZFC}]$. А $Def[\overline{ZFC}]$ не объект $\overline{ZFC}$, а объект метатеории $\overline{ZFC}$ Нет неверно. Множество $Def[\overline{ZFC}]$ это как раз объект самой теории $\overline{ZFC}$. Почему это так Из исходного определения
этот факт не следует очевидным образом и его нужно доказывать. Доказательство однако
несложно и состоит в том, что исходное определение переписывается на языке самой теории
$\overline{ZFC}$. Технику этого дела использовал еще Гедель при доказательстве непротиворечивости ZF+АВ+КГ. Техника эта совершенно общая и от нашей
конкретной специфики не зависит. Я не приводил пока соответствующего определения по
той причине, что логики с этим знакомы, но в полном тексте разумеется приведу. Более того,
множество $Def[\overline{ZFC}]$ это на самом деле cчетное ZFC-множество. Это последнее утверждение доказывается с помощью погружения его $\overline{ZFC}$-определения внутрь самой теории ZFC.

[er]

Насчет ZFC-множеств.
По Вашей ссылке
http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001372/01/SetClassCat.PDF

Цитата:

Non-Existent Sets. Let V be domain of discourse of set-theory; as the set of all sets it
does not exist according to ZFC, but as the ultimate set of all Cantor-sets, it does exist
according to CVN.6 Categories whose base-set of objects exists as a set according to ZFC
are called `small' (ZFC-sets; they are legitimate members of V according to CVN); and
those who demonstrably can be construed as subsets (but not as members) of V are called
`large' (the absolute-innite sets of CVN).7 Categories which are neither small nor large
lie beyond the mentioned set-theories.

Это и так все знают и так приблизительно везде написано. А у Вас что?!

[Котофеич]

er писал(а):

Насчет ZFC-множеств.
По Вашей ссылке
http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001372/01/SetClassCat.PDF

Цитата:

Non-Existent Sets. Let V be domain of discourse of set-theory; as the set of all sets it
does not exist according to ZFC, but as the ultimate set of all Cantor-sets, it does exist
according to CVN.6 Categories whose base-set of objects exists as a set according to ZFC
are called `small' (ZFC-sets; they are legitimate members of V according to CVN); and
those who demonstrably can be construed as subsets (but not as members) of V are called
`large' (the absolute-innite sets of CVN).7 Categories which are neither small nor large
lie beyond the mentioned set-theories.

Это и так все знают и так приблизительно везде написано. А у Вас что?!

Уточните Ваш вопрос. Там речь идет о терии классов СVN, а у меня о счетных
множествах. Какое это имеет отношение к теме

[er]

Котофеич писал(а):

Уточните Ваш вопрос. Там речь идет о терии классов СVN, а у меня о счетных множествах. Какое это имеет отношение к теме

В http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001372/01/SetClassCat.PDF , между делом, поясняется, что такое ZFC-set. Единственное упоминание в статье. И это общепринятое определение термина ZFC-set, ZFC-множества. А то что у Вас в PDF'е.. Да и здесь только что на форуме было, тоже не сахар. Щас поприличнее.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

:evil: К сожалению тут кушать пока нечего.

Раз ничего съестного не разглядели, значит, голодным останетесь.

Анекдот вспомнился древний.
Как-то раз Виннету, который, как известно, вождь апачей, вместе с несколькими друзьями попал к команчам в плен. Соплеменники его некоторое время разыскивали, а потом пропавшие вдруг сами заявились. Все к ним сразу с расспросами, дескать, что да как. Ну, те и рассказывают: "Посадили нас команчи в сарай. Ну, мы день сидим, два сидим, три дня сидим... А на четвёртый день Зоркий Глаз разглядел, что одной стены нет. Мы и ушли."

Котофеич писал(а):

Уважаемый опонент, Ваше $\psi$ это не множество а атом, который Ваша же теория распознает как формулу, а квантификация по формулам в общем случае выводит за пределы ZFC, что Вам как я понял известно.

Во-первых, я Вам уже писал, что это не моя теория, а Ваша. Это не я объявил формулы теории её собственными объектами, а Вы. Квантификация по объектам в ZFC разрешена без всяких ограничений, так что никаких возражений не может быть.
Во-вторых, что Вы прицепились к этим атомам? У нас первоначально обсуждалась стандартная ZFC без атомов. Никаких атомов в ней не может быть, этому препятствует аксиома объёмности (или, если Вам понятнее, экстенсиональности). Поэтому все объекты в ней являются множествами. Если Вы объявили формулы объектами ZFC, то они тоже стали множествами.
В-третьих, Вы явно не понимаете доказательства теоремы Гёделя о полноте, к которой Вы меня регулярно отсылаете. Если мы строим модель стандартной ZFC (без атомов), предварительно включив в эту модель желательные для нас объекты, то в процессе доказательства они станут множествами, чем бы они ни были первоначально. Если Вы не понимаете, как это происходит, то хотя бы подумайте о том, что, если этого не произойдёт, то мы не получим модели ZFC, в то время как она всё-таки получается.

Котофеич писал(а):

Так на каком основании Вы нашли у меня ошибку , если еще не видели главной части доказательства

Начхать мне на главную часть доказательства, если ошибочно самое первоначальное предположение, без которого Вы не можете обойтись:

Котофеич писал(а):

Разрушить приведенное мной метадоказательство противоречивости не составляет труда. Достаточно запретить считать совокупности формул ZFC-множествами. Это все известно

Котофеич писал(а):

Я уже обращал Ваше драгоценное внимание на гл.5 вот этого всемирного справочника http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=R ... k&id=25225
Там как я уже говорил все Ваши конструкции изложены. Разберитесь с конструктивными
множествами. Определить их пустячное дело, но доказать их ZFC-определимость не очень просто.

Я никогда не говорил, что в этих конструкциях есть что-то новое. Напротив, я утверждал, что это наверняка давным давно известно, потому что никто, кроме Вас, не считает, что множество формул ZFC принадлежит ей самой. Все знают, что это множество принадлежит метатеории ZFC. Настоящей метатеории, в которой строится формализация ZFC, а вовсе не той, которую Вы называете метатеорией, поскольку никакая это не метатеория, а просто некоторое расширение ZFC.
И причём здесь конструктивные множества? Вы специально выбрали статью, в которой побольше занудных формул? Вы в своём репертуаре: никаких серьёзных доводов нет, хамите и отсылаете к литературе, не имеющей отношения к делу.

P.S. Кстати, не только я считаю первоначальный текст Котофеича безграмотным.

Ну здрасьте, это я то не понимаю теоремы Геделя Если бы Вы понимали, то тогда
бы знали, что Гедель исходит первоначально из посылки, что множество предметных
консттант и мнойжество S замкнутых хформул, енто самые обычные ZFC-множества. Читайте об этом деле у Коэна в его книжице в гл.1 параграф 4, стр30. Как бы по Вашему мой друг он бы смог что то строить без этого предположения По Вашему мы с Геделем ошиблись хором
Ну хорошо. Раз Вы знаете доказательство теоремы Геделя,хотя и плохо, но на первый раз сойдет и можно перейти к делу. У меня точно также в конечном итоге нет никаких атомов, а есть только ZFC-множество R#. С чего Вы взяли что мне необходимо иметь эти атомы-формулы Обяснитесь наконец внятно Определение ZFC-формулы выразимо в ZFC так что можете отождествить формулы с натуральными числами и больше не волноваться по этому поводу.
Что касается Вашего примера то он не в тему, я не использую никаких подстановок
формулы в формулу типа Ваших. Таких подстановок в общем виде просто нет в ZFC.
Ваш пример относится к логике предикатов второго порядка с дикой аксиомой свертывания.
Есть куча примеров подобных противоречий, но к теме это не относится.
Потом здесь
http://groups.google.fr/group/selfref/b ... 1900cffcd0
речь идет не о математике, а об английском языке , который просят уточнить
Кстати обратите внимание, что против наличия метапротиворечия никто не возражает и просят только подтвердить возможность погружения.
Вы говорите что я не понимаю теоремы Геделя. Хотелось бы знать кто теперь
кроме Вас поручиться, что понимет теорему, доказанную в теории которая изначально была
противоречивой Я уже говорил Вам,что модели которые строит Гедель противоречивы,
потому что построены из предметных констант противоречивых теорий. Это так называемые
противоречивые множества и говорить о теоремах Геделя в плане их прежнего понимания просто неуместно Какой нормальный логик кроме Вас будет исходить при
построении математической теории из аксиомы непротиворечивости ZFC Теперь все
нормальные логики исходят токмо из гипотезы паранепротиворечивости, что намного более
разумно.
Так что мой дорогой друг стены у сарая прочные, а то что Вы думаете будто там
стены нет так это Вам только померещилось. Так что Вам там вместе с вашими индейцами
придется сидеть долго, а протестовать можете сколько угодно.