ZFC и категорная теория множеств противоречивы.

[Котофеич]

Руст писал(а):

Извините, что опять вмешиваюсь. То, что я привёл, это тоже парадокс лжеца, но в болеее завуалированной форме, определение того, что отвергается. Если язык достаточно богат, он позволяет определить то, что не определимо этим формальным языком, что приводит к противоречию. По сути, теорема Гёделя примерно тоже находит истинное не доказуемое предложение.

Да Вы совершенно правы. На это еще Тарский указал. Мой результат как раз и состоит
в том, что язык ZFC достаточно богат чтобы получить формальный аналог лжеца
внутри ZFC т.е. показать что там гдето очень далеко существует формула которая
доказуема и не доказуема одновременно В ZFC на самом деле существует бесконечная
иеррархия лжецов. Я ее позже укажу. Как принято говорить у логиков- такая теория
как например ZFC называется теорией с бесконечным числом уровней противоречия.
Таким образом с точки зрения классики, ZFC не просто противоречива, а жутко противоречива

[er]

$$ \mathfrak{R}^{\#} \triangleq \hat x( x\in Def[\overline{ZFC}] )[ (x\notin_{\vdash}x) \vee ((x\in_{\not\vdash}x)\wedge(x\notin_{\not\vdash}x)) ] $$

Что смущает. В определении $\mathfrak{R}^{\#}$ присутствует$Def[\overline{ZFC}]$. А $Def[\overline{ZFC}]$ не объект $\overline{ZFC}$, а объект метатеории $\overline{ZFC}$,
то есть объект теории $\overline{\overline{ZFC}}$. Соответственно, и $\mathfrak{R}^{\#}$ не имеет особого отношения к $\overline{ZFC}$, оно из $\overline{\overline{ZFC}}$. Ну, может всеж таки из $Def[\overline{ZFC}]$.. Вечно у логиков все непонятно. Но если $\mathfrak{R}^{\#}$ из $\overline{ZFC}$ и, даже (как Вы пишете, очевидно) из $Def[\overline{ZFC}]$, то для $\mathfrak{R}^{\#}$ должно быть $\overline{ZFC}$-определение. Его я и просил.

Да и дальше, впечетление, что не нормальное $\overline{ZFC}$ доказательство, а мета $\overline{ZFC}$ доказательство, то есть $\overline{\overline{ZFC}}$ доказательство. Что как то подозрительно.

Вообще то, семантические пародоксы и происходят, когда путают объекты теории и мета теории.

Еще, по тексту, впечетление, что Вы множествами называете как нормальные множества (элементы $ZFC$), так и "логические множества" (что в теории множеств классами называется). Чем смущаете бедных математиков.

[Котофеич]

er писал(а):

$$ \mathfrak{R}^{\#} \triangleq \hat x( x\in Def[\overline{ZFC}] )[ (x\notin_{\vdash}x) \vee ((x\in_{\not\vdash}x)\wedge(x\notin_{\not\vdash}x)) ] $$

Что смущает. В определении $\mathfrak{R}^{\#}$ присутствует$Def[\overline{ZFC}]$. А $Def[\overline{ZFC}]$ не объект $\overline{ZFC}$, а объект метатеории $\overline{ZFC}$,
то есть объект теории $\overline{\overline{ZFC}}$. Соответственно, и $\mathfrak{R}^{\#}$ не имеет особого отношения к $\overline{ZFC}$, оно из $\overline{\overline{ZFC}}$. Ну, может всеж таки из $Def[\overline{ZFC}]$.. Вечно у логиков все непонятно. Но если $\mathfrak{R}^{\#}$ из $\overline{ZFC}$ и, даже (как Вы пишете, очевидно) из $Def[\overline{ZFC}]$, то для $\mathfrak{R}^{\#}$ должно быть $\overline{ZFC}$-определение. Его я и просил.

Да и дальше, впечетление, что не нормальное $\overline{ZFC}$ доказательство, а мета $\overline{ZFC}$ доказательство, то есть $\overline{\overline{ZFC}}$ доказательство. Что как то подозрительно.

Вообще то, семантические пародоксы и происходят, когда путают объекты теории и мета теории.

Еще, по тексту, впечетление, что Вы множествами называете как нормальные множества (элементы $ZFC$), так и "логические множества" (что в теории множеств классами называется). Чем смущаете бедных математиков.

Хорошие замечания и в тему. Сразу отмечу, что присутствие классов полностью исключено. Вся конструкция основана только на множествах существование которыхдоказуемо в $\overline{ZFC}$ и на некоторой счетной совокупности таких множеств-$Def[\overline{ZFC}]$. Абсолютно и в точности на таких
объектах основано построение счетной модели для теории первого порядка и использовалось
Геделем для доказательства его теоремы о полноте. Теорема Геделя это типичная
классическая $\overline{ZFC}$-теорема Это хорошо известно специалистам,
просто многие нелогики думают, что это ZFC-теорема. Я приведу анализ доказательства этой теоремы с разъяснением этого факта в следующей версии. Метапротиворечие не разрушает
еще всей математики, оно направлено только против классических метаматематических
конструкций, общепринятых в теории моделей и теории доказательств.
Ну во вторых аксиомы теории $\overline{ZFC}$ я в этой версии не привел, что естественно может приводить к путанице и неоднозначному пониманию доказательства. На днях я дополню.
Множество $Def[\overline{ZFC}]$ это разумеется счетное$\overline{ZFC}$-множество но не $\overline{ZFC}$-определимое
множество как я уже и говорил Разумеется это надо доказывать. Доказательство
этого факта совершенно элементарно и для совершенно аналогичного
случая $Def[{ZFC}]$ имеется у Коэна в его книжке на стр. 149.
В определении множества $\mathfrak{R}^{\#}$ можно без ущерба, но со значительным усложнением определяющей формулы, использовать
$Def[{ZFC}]$ и тогда можно просто у Коэна передрать. Я разумеется приведу
потом оба доказательства. Множество $\mathfrak{R}^{\#}$ это на самом деле
счетное ZFC-множество но это будет ясно после погружения его определения внутрь ZFC.
Что касается т.н. "парадоксов", то они появляются вовсе не по причине смешивания
языка с метаязыком, как ошибочно считал Тарский Обяснеие Тарского давно устарело и отброшено специалистами как ошибочное.
Парадоксы возникают только в том случае если метаязык объективно противоречив.
Это не парадоксы а самые настоящие объективные противоречия избавиться от которых можно только с помощью известного метода усекновения математики,
что уже было один раз проделано, как Вам известно.
Разрушить приведенное мной метадоказательство противоречивости не составляет труда.
Достаточно запретить считать совокупности формул ZFC-множествами. Это все известно
http://www.philosophy.ru/library/math/volpin.html
Но от этого мало что измениться, поскольку тогда от всей метаматематики, включая все
теоремы Геделя, придется тоже отказаться, поскольку никакой геделевской нумерации
больше не будет. От нестандартного анализа тоже придется отказаться и от много чего
другого. Я сильно сомневаюсь, что на такой шаг кто то кроме Sameone и Вольпина
пойдет. Так что геделевскую нумерацию придется сохранить, вне зависимости от того чем и как называть совокупности хформул-формулоидов. Разумеется можно пойтить и на
крайние меры, но разумеется при этом внутри ZFC противоречие никуда не испарится ,
просто Вы не сможете доказать что оно существует.
Парадоксы возникают также от ошибочных доказательств противоречивости.
Ошибки в такого рода доказательствах, обычно возникают при использовании определимости ZFC-истины по Тарскому, что противоречит известной теореме Тарского о невозможности
определимости ZFC-истины средствами самой ZFC.

[er]

Котофеич писал(а):

Я приведу анализ доказательства этой теоремы с разъяснением этого факта в следующей версии. Метапротиворечие не разрушает
еще всей математики, оно направлено только против классических метаматематических конструкций, общепринятых в теории моделей и теории доказательств. Ну во вторых аксиомы теории $\overline{ZFC}$ я в этой версии не привел, что естественно может приводить к путанице и неоднозначному пониманию доказательства. На днях я дополню.

Подождем, интересно.

Котофеич писал(а):

Множество $Def[\overline{ZFC}]$ это разумеется счетное$\overline{ZFC}$-множество но не $\overline{ZFC}$-определимое
множество как я уже и говорил Разумеется это надо доказывать. Доказательство этого факта совершенно элементарно и для совершенно аналогичного случая $Def[{ZFC}]$ имеется у Коэна в его книжке на стр. 149.

Меня такие факты всегда удивляли.. Да, надо посмотреть.

Котофеич писал(а):

Это не парадоксы а самые настоящие объективные противоречия избавиться от которых можно только с помощью известного метода усекновения математики, что уже было один раз проделано, как Вам известно.
Разрушить приведенное мной метадоказательство противоречивости не составляет труда. Достаточно запретить считать совокупности формул ZFC-множествами.

А они считаются ZFC-множеством? С какой стати.. Разве в рамках ZFC можно сформулировать само это утверждение? Я думал ситуация "хитрее", есть отображение формул из метатеории в теорию, то есть все доказательтва в мета теории. А фразы типа совокупности формул есть ZFC-множество придуманны для математиков не логиков, чтоб не мучились. Типа, логика для чайников.

Котофеич писал(а):

Это все известно
http://www.philosophy.ru/library/math/volpin.html
Но от этого мало что измениться, поскольку тогда от всей метаматематики, включая все теоремы Геделя, придется тоже отказаться, поскольку никакой геделевской нумерации больше не будет. От нестандартного анализа тоже придется отказаться и от много чего другого.

Я распрашивал специалиста по нестандартному анализу, он говорил, что наиболее содержательная часть нестандартного анализа базируется на ZFC, как я понял, нестандартный анализ, построенный на аксиоматиках отличный от ZFC, даже специально приспособленных для н.а., слишком бедный.

Котофеич писал(а):

Я сильно сомневаюсь, что на такой шаг кто то кроме Sameone и Вольпина пойдет. Так что геделевскую нумерацию придется сохранить, вне зависимости от того чем и как называть совокупности хформул-формулоидов. Разумеется можно пойтить и на крайние меры, но разумеется при этом внутри ZFC противоречие никуда не испарится , просто Вы не сможете доказать что оно существует.

Математиков не логиков прежде всего интересует, не смогут ли они случайно доказать утверждения A и неA.

Большая часть математиков, когда берется за проблему A, рассматривают два вариантв
1. А верно
2. А не верно

В тех вещах, что я занимаюсь, это слишком рисковый подход. Надо еще иметь в виду
3. А не доказумо
4. неА не доказумо

На самом деле вариантов больше.

Что станет с теорией доказуемости?

[Котофеич]

Давайте с конца начнем.
1.Что станет с теорией доказуемости
Ну во первых логику придется поменять. Классическая логика не годится,
потому что в ней одно единственное противоречие все разрушает-все доказуемо,
т.е. теория тривиализуется. Есть логики которые не боятся противоречий. В таких
логиках из конкретного противоречия следует бесконечно много других противоречий
но совсем не обязательно что все будет доказуемо. Такие логики и основанные на них
теории называются паранепротиворечивыми. Что означает противоречивые но
нетривиальные в том смысле что имеются предложения которые не будут доказуемы
в паре со своим отрицанием. Теорема Геделя о неполноте ZFC звучит теперь так:
Если ZFC паранепротиворечива, а арифметика Пеано непротиворечива, то Геделево
неразрешимое предложение W либо недоказуемо в ZFC либо доказуемо в паре со своим
отрицанием.
Таким образом теорема стала очень малоинформативной.
Вторая теорема Геделя не пострадала. Она стала такой
Если ZFC паранепротиворечива,а арифметика Пеано непротиворечива, то
паранепротиворечивость ZFC (Paraconsis (ZFC) ) недоказуема в ZFC.
2. По поводу хформул. В современных курсах по теории множеств, это специально
не оговаривается, потому что предполагается, что до этого был пройден курс элементарной
матлогики. Но современная система образования для математиков устроена так, что
им это как бы и не нужно бо и так все ясно. В результате математик не логик вообще толком
не знает что такое формула Обычно нелогики думают что хформула это просто некоторое
понятное им утверждение и все тут. Формула это конечная последовательность символов,
которая строится индуктивно, и все рассуждения с формулами и конечными множествами
формул, проводятся на основе аксиомы индукции. Разумеется это специальная аксиома, которая считается очевидной и специально не оговаривается. Без этой аксиомы просто невозможно ввести строго понятие доказательства и что тогда Вы будете делать с
теоремами о независимости той же АВ ZF и КГ от ZFC Хформулы однозначно кодируются
натуральными числами которые образуют множества. Разумеется возможность такого
кодирования это аксиома, но кто будет специально оговаривать такие смешные вещи
Я уже говорил, что геделевские модели теорий первого порядка построены из формул и
только из них так что модели это по Вашему не множества
3. Нестандартный анализ строится не на ZFC где под формулой понимают чтото никому не известное, а на той ZFC в которую я описал. Принцип переноса просто не докажете
если не будет индукции по длине формул или если теория моделей испортится. А без переноса
нет нестандартного анализа.
4. Математиков не логиков прежде всего интересует, не смогут ли они случайно доказать утверждения A и не A.
Проблема не в этом, а в том существует такое А или нет. Простых противоречий типа
парадокса Рассела в ZFC может и не быть.

[er]

а что будет, например, с континум гипотезой?

[Котофеич]

er писал(а):

а что будет, например, с континум гипотезой?

Вы уже задавали этот вопрос. Я этим специально не занимался. В противоречивой теории
множеств теорема Кантора сильно болеет, поскольку доказывается от противного, а с этим
делом там очень плохо (без специальных предположений) и поэтому не вполне ясно имеет ли эта проблема смысл и если имеет то в каких теориях множеств, поскольку противоречивых версий много.
Лучше скажите, вразумительно я пояснил по поводу формул или нужно более подробно
со ссылками на авторитетов типа Мендельсона и др.

[er]

Котофеич писал(а):

Лучше скажите, вразумительно я пояснил по поводу формул или нужно более подробно со ссылками на авторитетов типа Мендельсона и др.

Суть того что сказали понятна, а почему так, я не понимаю. У меня такие вещи всегда вызывали определенные затруднения.. Коэна посмотрю, это должно быть, того же порядка вещь. И те же затруднения.

А ссылки на толковый учебник было бы неплохо.

[Котофеич]

er писал(а):

Котофеич писал(а):

Лучше скажите, вразумительно я пояснил по поводу формул или нужно более подробно со ссылками на авторитетов типа Мендельсона и др.

Суть того что сказали понятна, а почему так, я не понимаю. У меня такие вещи всегда вызывали определенные затруднения.. Коэна посмотрю, это должно быть, того же порядка вещь. И те же затруднения.

А ссылки на толковый учебник было бы неплохо.

Почему так я могу это объяснить. Это просто дополнительная аксиома -аксиома
естественности (АЕ), будем так ее называть. ZFC+(АЕ) это и есть метатеория множеств.
Без этой аксиомы нет метаматематики. Эта аксиома специально никогда не оговаривалась.
Если бы ZFC была непротиворечивой то в этом никогда не было бы необходимости.
Я эту аксиому явно формулирую, поскольку это необходимо для доказательства противоречивости. Эта же самая аксиома неявно используется у Коэна для доказательства
равнонепротиворечивости ZFC и GB. Можно вместо этой аксиомы использовать логику
второго порядка, т.е. разрешить навешивать кванторы на переменные второго порядка,
которые являются формулами. Но тогда возникнут проблемы, например с фундированием.
Вообще логика второго порядка дело темное и ее не используют для построения математики.
Нужно взять любой солидный курс по теории доказательств, написанный специалистом
логиком. Например Г.Такеути "Теория Доказательств". Или Мендельсон Введение в
математическую логику, а лучше обе книжки. И почитать как там определяются формулы
термы, теории и как теоремы доказываются. Тогда станет ясно что если для исследования
бесконечных совокупностей формул применяются аксиомы и теоремы теории множеств,
то эти совокупгости считаются множествами, а как могло бы быть иначе
Затруднения созданы тем, что учебники по теории множеств писали математики.
Возьмите теорию множеств Куратовского. Да там вообще не определяется что такое это
самое есть высказывательная функция F(x), а поясняется на примерах типа x<1
Так чего после этого можно ожидать
Вообще математики и даже многие логики наивно думают что есть какая то там метатеория,
а сами не знают шо они под этим делом понимают. Нету никакой метатеории и никогда
не было. Есть только т.н. метатеоремы которые говорят о свойствах ZFC или других
формальных теорий. Все это самые обычные ZFC-теоремы, которые говорят о самых
обычных множествах и самых заурядных последовательностях формул, которые от
других объектов этого рода отличаются только своей спицификой и не более того.
Так если говорим что КГ не доказуема в ZFC то простой математик понимает это дело
так-сколько не бейси не докажешь, а логик понимает это так-не существует никакой конечной последовательности ZFC-формул, которая является доказательством КГ.
Последовательность здесь понимают в обычном смысле, потому что другого просто нету и
никогда не будет.
Потом здесь еще играет роль то обстоятельство, что многие математики знакомы
только с непротиворечивой логикой и думают, что другого способа построения математики не существует. Поэтому противоречивость ZFC им представляется невозможной и сразу
возникает мысль, что ктой то там ошибся.

[Someone]

Котофеич писал(а):

...Вообще математики и даже многие логики наивно думают что есть какая то там метатеория, а сами не знают шо они под этим делом понимают. Нету никакой метатеории и никогда не было. Есть только т.н. метатеоремы которые говорят о свойствах ZFC или других формальных теорий. Все это самые обычные ZFC-теоремы, которые говорят о самых обычных множествах и самых заурядных последовательностях формул, которые от
других объектов этого рода отличаются только своей спицификой и не более того...

Правильно, Котофеич, именно в этом направлении и надо развивать логику и математику: всё на свете свалить в одну кучу, понапридумывать новых аксиом, хорошенько всё взболтать и потом из этой каши выуживать противоречия, пока не надоест. А когда надоест, можно будет и более полезное занятие найти. Игру в бирюльки, например.

По-моему, логики и так уже запутались в своих сверххитроумных построениях, а Вы ещё увеличиваете путаницу.

Котофеич писал(а):

Разрушить приведенное мной метадоказательство противоречивости не составляет труда.
Достаточно запретить считать совокупности формул ZFC-множествами. Это все известно
http://www.philosophy.ru/library/math/volpin.html
Но от этого мало что измениться, поскольку тогда от всей метаматематики, включая все
теоремы Геделя, придется тоже отказаться, поскольку никакой геделевской нумерации
больше не будет. От нестандартного анализа тоже придется отказаться и от много чего
другого. Я сильно сомневаюсь, что на такой шаг кто то кроме Sameone и Вольпина
пойдет. Так что геделевскую нумерацию придется сохранить, вне зависимости от того чем и как называть совокупности хформул-формулоидов.

Объясните, каким образом множество формул ZFC может быть, как Вы выражаетесь, "обычным ZFC-множеством", если ни алфавит ZFC, ни это самое множество формул не являются элементами ZFC?

Что значит: "мало что изменится"? Вы считаете, что современная теория доказателств - это такая вершина человеческой мысли, что ради неё можно пожертвовать всей математикой? (На самом деле я считаю, что математика слабо пострадает от доказательства противоречивости ZFC, за исключением отдельных областей.) Судя по всему, в теории доказательств имеет место определённый хаос, и логики уже давно перестали понимать, какие конструкции допустимы, а какие - нет. О том же пишет и А.С.Есенин-Вольпин.

Есенин-Вольпин писал(а):

Начиная с 1966 (или 1967) года, Э. Ветте опубликовал ряд работ, в которых он сообщал о полученных им доказательствах непротиворечивости некоторых формальных систем, к которым относятся и геделевские теоремы о неполноте. Вторая из этих теорем состоит в том, что такое доказательство непротиворечивости возможно лишь в случае противоречивости соответствующей формальной системы. Но в силу новых доказательств непротиворечивости (хорошо формализуемых, как утверждает Ветте) эти системы непротиворечивы. Таким образом, в метатеории этих систем возникают коллизии, которые я предлагаю называть «парадоксами Гёделя-Ветте».

Это означает, что противоречия в теории доказательств возникли уже давно, около 40 лет назад, и никто не знает, что с ними делать. Обратите внимание, что эти противоречия так и остались внутри теории доказательств, не влияя абсолютно ни на что. Это означает, по всей видимости, что это противоречия не ZFC, а самой теории доказательств. Если логики делают в теории доказательств нечто похожее на то, что нам здесь демонстрирует Котофеич, то ничего удивительного в этом нет.

Есенин-Вольпин писал(а):

Причину появления противоречивых доказательств я предлагаю усматривать в широком распространении «реалистических» (или «платонических») подходов за пределами их обоснованной применимости. «Сущности» явлений иногда расщепляются незаметно для рассуждающего, который не догадывается о необходимости вовремя изменить обозначения. Объекты, которые следовало бы обозначить по-разному и различать, сливаются для рассуждающего в один.

В "доказательстве", которое уже давно пытается продемонстрировать нам Котофеич, происходит как раз то, о чём пишет А.С.Есенин-Вольпин: есть теория ZFC, противоречие в которой пытается обнаружить Котофеич, и есть метатеория, которой принадлежат алфавит и множество формул теории ZFC. Котофеич совершенно незаконно отождествляет эти две теории на основании того, что "они обе ZFC", между тем как они являются разными теориями; например, они имеют разные алфавиты, поскольку алфавит метатеории ей не принадлежит.

Котофеич писал(а):

Разумеется можно пойтить и на крайние меры, но разумеется при этом внутри ZFC противоречие никуда не испарится :lol: , просто Вы не сможете доказать что оно существует.

Котофеич, Вы хотя бы понимаете, что написали? Противоречие, если оно есть, доказуемо по определению, поскольку оно в том и состоит, что доказуемы одновременно некоторое утверждение и его отрицание.

[Котофеич]

Уважаемый Sameone. У Вас крайне самобытное и я бы даже сказал вульгарное до
неприличия, представление о теориях и ихних метатеориях. Это не я, а Вы все перепутали и
перемешали до такой степени, что сами запутались и теперь еще и других можете запутать.
Признайтесь честно, какая у Вас была оценка по логике на экзаменах. Думаю, что 2+ .
Откройте пожалуйста какой нибудь популярный общепринятый учебник по матлогике, а не писульки Вольпина и ознакомьтесь с определением того, что есть формальная теория первого порядка а что есть ейная метатеория.
:evil: Я уже Вам говорил. Прочитайте доказательсто теоремы Геделя о полноте, а потом будем беседовать c пользой для дела. Из чего бы Вы думали построил свои модели ентот
самый Гедель. Да из тех же самых обектов, которые Вы самовольно не признаете
ZFC-множествами Вы что это дело каким то новым декретом о множествах отменили??? По Вашему Геделевские модели это не множества, а обекты метатеории??? Это нечто новенькое. Однако устраивать ликбез по элементарным вопросам здесь не имеет смысла. Вы не маленький и сами разберетесь, если конечно пожелаете. Ну хорошо я готов
пойти на уступки, по старой дружбе конечно. Не нравятся множества хформул???, черт с ними. Можете пользоваться категорной теорией множеств. Там нетути ни формул ни множеств-все это будут обекты одного топоса. Если мене Вы не верите, то спросите у Гротендика. http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=16049#16049
Правда ему как Вы правильно заметили, надоело играть в бирульки и он сбежал и даже
адреса не оставил. Но ничего, есть еще и другие, которые в этом деле разбираются очень даже неплохо. Потом Вы абсолютно пока еще не поняли о чем идет речь. Пока продемонстрирована противоречивость только самой метатеории, конечно при условии если под теорией и метатеорией понимать то что принято, а не то что Вы сами изобрели. Вот грамотные люди здесь это доказательство читали и даже нашли в ем пробелы. Все аксиомы ZFC применимы к объектам метатеории. Это не я придумал, а так Гедель и другие великие люди постановили и не Вам с Вольпиным это менять или отрицать. Если Вы не согласны то укажите конкретное место где ошибка (Общими фразами типа теория-метатеория может манипулировать кто угодно. Не нужно ссылаться на неспециалистов типа Вольпина который не всегда ясно изъясняется и вообще несет дичь, которая Вас дополнительно сбила с толку. Вы математик и Ваша критика должна быть конструктивной. Математическая логика это точная наука и какие то самобытные определения там просто, мягко выражаясь, недопустимы. Поймите меня правильно. Вы выступаете не перед аудиторией где находятся логики, которые бы попросту Вас засмеяли за элементарную неграмотность. Вы выступаете перед математиками и поэтому укажите им конкретное место где автор применил какой то ошибочный прием который до него никто не применял. Ну например один деятель "обнаружил" что мое доказательство находится в явном противоречии с теоремой Тарского. Но потом выяснилось что он попросту не понял этой теоремы, ну малость недоучился. Это не беда, главное критика была конструктивной. Я разяснил бедолаге эту теорему и он остался доволен.)
К Вашему сведению "доказательства" этого Ветте так и не были опубликованы.Коллизии о которых пишет Вольпин чисто гипотетические и относятся только к т.н. ультраинтуиционистским теориям и методам "доказательства" непротиворечивости
самого Вольпина, что к общепринятой математике никакого отношения не имеет. Мое доказательство противоречивости ZFC использует геделевское погружение метатеории внутрь ZFC. В результате противоречивая формула появиться в чистом виде без всяких подозрительных метасимволов и других прибамбасов. Вот когда я приведу все полностью тогда и будете судить кто из нас двоих в бирюльки играет. Ваша критика а точнее ее аргументы не нова и в равной степени применима и к теоремам Геделя-Россера и ко всей метаматематике. Если бы Вы внимательно изучили курс матлогики, то сами бы это поняли и не тратили бы время зря.
Потом я не понял какая Вам разница противоречива ZFC или нет Ведь от этого никто не пострадает потому что согласно Вашей философии ничего не существует и математика это игра в символы т.е. в бирюльки.
Ваше последнее замечание говорит о том, что Вы читали но не поняли, что речь идет
только о косвенном доказательстве, роль которого чисто вспоможительная и не более того.

[Котофеич]

Котофеич писал(а):

Пока лучше читать только раздел 4. Остальное еще не закончено, потому что много.
http://www.geocities.com/jaykovf/INCZFC.pdf

Я изменил название темы для полной определенности.
Тут возникли усякие детские споры по поводу определений теории
и метатеорий, потому что кто то не знает школьных определений, что на самом деле абсолютно не в тему.
Это может бросать тень и вызывать сомнения у непосвященных.
Так я подчеркну, что мое доказательство не опирается на тонкую разницу
между теорией и метатеорией, свойственную только определенной специфике формулирования теории множеств и общих теорий первого порядка. Шоб не было
сомнений можно использовать категорную теорию множеств Ловера в которой и хвормулы и множества это просто обекты одного и того же топоса
Вот тут книжица достаточно древняя имеется на этот случай в библиотеке МГУ.
http://lib.mexmat.ru/book.php?id=1268
Пусть библиотекарь выдаст экземпляр для сумлевающихся .
Логики давно не используют язык теории множеств, все это давным давно кануло
в лету. Есть специальная и очень не новая наука-категорный анализ логики которая
позволяет исследовать теории не обращаясь к ZFC-множествам и не наступая на грабли на
которые наступает Sameone. Язык множеств я использую здесь как более доступный для
математиков нелогиков. Категорное доказательство противоречивости более прозрачно,
но для его чтения нужно знать кучу всяких простых категорных прибамбасов.
Теперь я переведу на нормальный язык то что хотел сказать мой опонент.
Опонент говорит шо например счетное множество предметных констант с1,с2,...
которое имеется у ZFC енто не ZFC-множество, а некий обект какой то загадочной
метатеории Ерунда Множество констант принадлежит самой ZFC по
общепринятому определению. Я могу обяснить шо смутило опонента. Константы енто
конечно не ZFC-обекты, а так называемые атомы. Поэтому опонент сильно возмущен
тем шо я назвал множество атомов {с1,с2,...} обычным ZFC-множеством.
В обычной математике атомы не используются и поэтому у опонента возникли подозрения шо я чегой то там разболтал и нахимичил по своей крестянской простоте.
На самом деле опонент не знаком с теорией моделей. Там часто ешо со времен Геделя
и Мостовского атомы использовались. Просто об этом не говорят потомуйчто и так ясно.
Есть ZFC с атомаим, которая называетси ZFCА и она равнонепротиворечива с обычной ZFC, что легко видеть организовав с помочю теории ZFC модель для ZFCА, так что проблемы нету
То о чем говорит Sameone разумеется мною предусмотрено. Да можно унести
все предметные константы в некую особую метатеорию и пользоваться только очень большим но конечным числом символов как мы и делаем в обычной математике и тем самым метадоказательство будет разрушено. Вся хитрость в том что после погружения внутрь ZFC
противоречие вместе со своим доказательством принимают вид чисто арифметических
формул. Это легко понять из хода доказательства второй теоремы Геделя.
Должен также обратить внимание на то интересное обстоятельство, что метадоказательство
даже в форме простого парадока нигде не описано в литературе хотя парадоксами
занимались многие выдающиеся логики. На самом деле не все так просто как может показаться на первый взгляд...

[Феликс Шмидель]

Уважаемый Котофеич,

я прошу прощения за то, что вмешиваюсь в дискуссию экспертов. Меня интересует, даёт ли ваша теория оценку длины возможного противоречия в ZFC?

[Котофеич]

Феликс Шмидель писал(а):

Уважаемый Котофеич,

я прошу прощения за то, что вмешиваюсь в дискуссию экспертов. Меня интересует, даёт ли ваша теория оценку длины возможного противоречия в ZFC?

Разуммется нет особых проблем. Грубая оценка длины противоречия по порядку
величины равна геделевскому номеру доказательства второй теоремы Геделя для ZFC.
Точную оценку Вы сами сможете легко получить, когда я приведу все в явном виде.

[Руст]

Уважаемый Котофеич.
Я особо не вчитывался в ващих рассуждениях, так как я и без этого был сторонником констуктивизма. И меня не волнуют противоречия в теории неконструктивных множеств. Я и раньше понимал возможность наличия там противоречий и приводил некоторый вид противоречия (репликация через отрицание самого себя) разнообразия пародокса лжеца. Который имеет место, как только объединяешь семантики (метатеорию) с синтаксисом (с теорией нижнего уровня) и богатство языка позволяет относит к самому себе (репликация) семантического отрицания самого себя (пародокс лжеца).
К тому же если и есть противоречивость в теории множеств, то это или на 1) уровне метатеории (ничего и думать за пределами логики) или 2) исправимо при более конструктивном построении самой теории множеств ( ничего не влияет на остальную часть математики) или 3) полностью устраняется при отрицании неконструктивных множеств и( или)4) другого не дано.
В самом неприятном случае 3) остальная математика (за пределами теории множеств) так же не пострадает сильно. Например (мне ближе теория чисел), всякие неконструктивные пополнения (архимедовы и неархимедовые) заменятся конструктивными пополнениями и за рамками теории чисел (в анализе), неконструктивные бесконечные произведения (адели, идели) заменятся конструктивными так же вне рамок теории чисел своими конструктивными аналогами, интегралы Хаара (в локально компактных группах) легко могут быть изложены в конструктивных рамках в анализе, некотрая неконструктивность в доказательстве теоремы Римана Роха так же легко исправима. Поэтому, даже в таком (в самом фатальном с вашей точки зрения) случае в теории чисел ничего не изменится. Это относится и к другим областям математики подальше от логики и теории множеств.
Из-за этой убеждённости меня особо не интересует противоречивость в теории множеств. Как то вы обещали привести доказательство (частного случая теоремы Шинцеля) о бесконечности простых чисел представимых квадратической функцией. В такой конкретной части я бы смог быть активным оппонентом. Может исполните своё обещание.