ZFC и категорная теория множеств противоречивы.

[Котофеич]

Руст писал(а):

Уважаемый Котофеич.
Я особо не вчитывался в ващих рассуждениях, так как я и без этого был сторонником констуктивизма. И меня не волнуют противоречия в теории неконструктивных множеств. Я и раньше понимал возможность наличия там противоречий и приводил некоторый вид противоречия (репликация через отрицание самого себя) разнообразия пародокса лжеца. Который имеет место, как только объединяешь семантики (метатеорию) с синтаксисом (с теорией нижнего уровня) и богатство языка позволяет относит к самому себе (репликация) семантического отрицания самого себя (пародокс лжеца).
К тому же если и есть противоречивость в теории множеств, то это или на 1) уровне метатеории (ничего и думать за пределами логики) или 2) исправимо при более конструктивном построении самой теории множеств ( ничего не влияет на остальную часть математики) или 3) полностью устраняется при отрицании неконструктивных множеств и( или)4) другого не дано.
В самом неприятном случае 3) остальная математика (за пределами теории множеств) так же не пострадает сильно. Например (мне ближе теория чисел), всякие неконструктивные пополнения (архимедовы и неархимедовые) заменятся конструктивными пополнениями и за рамками теории чисел (в анализе), неконструктивные бесконечные произведения (адели, идели) заменятся конструктивными так же вне рамок теории чисел своими конструктивными аналогами, интегралы Хаара (в локально компактных группах) легко могут быть изложены в конструктивных рамках в анализе, некотрая неконструктивность в доказательстве теоремы Римана Роха так же легко исправима. Поэтому, даже в таком (в самом фатальном с вашей точки зрения) случае в теории чисел ничего не изменится. Это относится и к другим областям математики подальше от логики и теории множеств.
Из-за этой убеждённости меня особо не интересует противоречивость в теории множеств. Как то вы обещали привести доказательство (частного случая теоремы Шинцеля) о бесконечности простых чисел представимых квадратической функцией. В такой конкретной части я бы смог быть активным оппонентом. Может исполните своё обещание.

C Шинцеля придется подождать, потому что я сейчас должен более прозаические
вещи оформить. Как только закончу примемся за остальное.
http://cr.yp.to/conferences/2006-notred ... 6-11-8.pdf
Что касается противоречивости то дело не в ZFC. Доказательство проходит и для арифметики
второго порядка, а противоречия строятся именно на счетных множествах.
Если взять чисто интуиционистский анализ то тоже мало чего изменится, просто будет
звучать так-невозможно чтобы было непротиворечиво.
Что касается Ваших репликаций то нужно конкретно смотреть как они строятся и
можно ли их погрузить внутрь самой теории нижнего уровня или не можно

[Someone]

Котофеич, мне ужасно надоели Ваше хамство и поучающий тон по отношению ко всем собеседникам. Всё Вы знаете лучше всех и вообще являетесь крупнейшим специалистом всех времён и народов. Одних известных математиков (и не только математиков) поносите последними словами, других снисходительно похлопываете по плечу. Вам не кажется, что смотреть на это со стороны просто противно? Общаться с Вами крайне неприятно.

Обращает на себя внимание также то, что Вы никогда (или почти никогда) ничего не объясняете. Вы заявляете, что Вам некогда заниматься ликбезом, и отсылаете к каким-то публикациям, часто совершенно невпопад. Всё это вызывает подозрение, что Вы просто не можете ничего объяснить.

Теперь давайте взглянем, с какими достижениями в математической логике Вы пришли на этот форум. Прежде всего, обращает на себя внимание совершенно безграмотный текст, который Вы выдавали за доказательство противоречивости ZFC:

Котофеич писал(а):

Hа a level of metatheory ZFC is inconsistent. The proof of it
The unexpected fact, leans on that standard in the theory
Models the assumption, that set of all formulas of any theory
The first order, is countable ZFC-set.
The proof.
Let's designate a symbol x$Y a predicate: x there is an element of
set Y.
Let's designate a symbol x#Y a predicate: (1) x there is an element
countable sets Y which definable by means of some ZFC-formula F (x)
(2) Existence of set Y certain by means of formula F (x), together
with axioms ZFC.(3) (x$Y) it is demonstrable in ZFC.
Let's designate a symbol x~#Y a predicate: (1) x there is no element
countable sets Y which definable by means of some ZFC-formula F (x)
(2) Existence of set Y certain by means of formula F (x), together
with axioms ZFC. (3)(x$Y) it is demonstrable in ZFC.
Let's assume, that the set of all ZFC-formulas can be considered as
usual ZFC-set. Then by virtue of axioms of substitution in ZFC
existence is demonstrable set W which elements will be all ZFC-
definable sets. Then by virtue of an axiom of allocation in ZFC
existence so-called wild Rassel's set RW which is certain as follows
will be deduced: x$RW<->x~#x. For set RW by obvious image it is
received, that RW#RW<->RW~#RW.
Thus for RW in ZFC at a level of a metatheory it will be
demonstrable, that x$Y it is demonstrable in ZFC and it is
simultaneously indemonstrable in ZFC.

Текст этот безграмотен настолько, что его практически невозможно понять. Я его специально здесь полностью процитировал, поскольку у Вас есть дурная и непорядочная по отношению к собеседникам манера редактировать до полной неузнаваемости свои старые сообщения. С образом "крупнейшего специалиста" это как-то не вяжется, но Вас это не смущает. И Вы обещали представить полный текст доказательства.
С тех пор прошло почти два месяца, и текст появился. И что же мы видим? Текст очень длинный, но не надо думать, что это такое длинное доказательство. В основном всё сводится к переписыванию и к пересказыванию различных литературных источников и к некоторой демагогии. А обещанного полного текста доказательства как не было, так и нет.

Основная Ваша посылка состоит в том, что "множество формул ZFC является обычным ZFC-множеством". Я не догадываюсь, откуда возникло такое утверждение, кто Вам его внушил (я очень рад, что я оказался в этом отношении "невнушаемым", как Вы любите писать). Или Вы сами до этого додумались? Любой мало-мальски квалифицированный математик должен сразу понимать, что утверждения подобного рода недопустимы, поскольку немедленно ведут к противоречию, причём, без всяких хитроумных изысков "на уровне метатеории".

Предположим, что наша теория ZFC содержит некоторое множество $F$, элементы которого являются формулами этой самой теории, причём, $F$ содержит все формулы. Само по себе такое множество совершенно стерильно, из его существования ровным счётом ничего не следует. Кто нам мешает, в конце концов, взять какое-нибудь множество и объявить его элементы формулами? Да ради Бога! Интересен, разумеется, случай, когда наша теория "знает", что это есть формулы, и "умеет" с ними обращаться. Это означает существование ряда формул, позволяющих
1) определять (с помощью некоторой формулы $f$ с одной свободной переменной), что данный объект теории (в данном случае множество) является не только объектом теории (множеством), но и формулой: $f(\varphi)\Leftrightarrow \varphi\text{ является формулой}$;
2) определять (с помощью некоторой формулы $f_1$ с одной свободной переменной), что данный объект теории является формулой с одной свободной переменной;
3) определять результат подстановки объекта теории в формулу с одной свободной переменной: $s(\psi,\varphi,a)\Leftrightarrow f_1(\varphi)\wedge\text{формула }\psi\text{ является результатом подстановки объекта }a\text{ в формулу }\varphi$,
и так далее.
Теперь мы можем с помощью аксиомы выделения определить множество $F_1=\{\varphi\in F:f_1(\varphi)\}$, элементами которого являются формулы с одной свободной переменной. И, наконец, можно определить одно очень интересное множество: $\Phi=\{\varphi\in F_1:\exists\psi s(\psi,\varphi,\varphi)\wedge\neg\psi\}$.
Здесь $s(\psi,\varphi,\varphi)$ означает, что $\psi$ получается в результате подстановки объекта $\varphi$ (то есть, некоторого множества, раз у нас речь идёт о теории множеств) в формулу $\varphi$ вместо свободной переменной, а вовсе не вписывание текста формулы $\varphi$ в её же текст вместо свободной переменной.
Вы еще не видите противоречия? Или уже видите? Обозначим $\varphi_0$ формулу $x\in\Phi$, где $x$ - свободная переменная.
Предположим, что $\phi_0\in\Phi$. Из определения множества $\Phi$ получаем, что $\psi$ имеет вид $\varphi_0\in\Phi$, и что выполняется $\neg\psi$, то есть, $\neg\varphi_0\in\Phi$. Получается противоречие. Точно к такому же результату приводит и предположение $\neg\varphi_0\in\Phi$.
Для всякого нормального математика это означает, что $F$ не является множеством.
С арифметикой второго порядка разбирайтесь сами.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич, мне ужасно надоели Ваше хамство и поучающий тон по отношению ко всем собеседникам. Всё Вы знаете лучше всех и вообще являетесь крупнейшим специалистом всех времён и народов. Одних известных математиков (и не только математиков) поносите последними словами, других снисходительно похлопываете по плечу. Вам не кажется, что смотреть на это со стороны просто противно? Общаться с Вами крайне неприятно.

Обращает на себя внимание также то, что Вы никогда (или почти никогда) ничего не объясняете. Вы заявляете, что Вам некогда заниматься ликбезом, и отсылаете к каким-то публикациям, часто совершенно невпопад. Всё это вызывает подозрение, что Вы просто не можете ничего объяснить.

Теперь давайте взглянем, с какими достижениями в математической логике Вы пришли на этот форум. Прежде всего, обращает на себя внимание совершенно безграмотный текст, который Вы выдавали за доказательство противоречивости ZFC:

Котофеич писал(а):

Hа a level of metatheory ZFC is inconsistent. The proof of it
The unexpected fact, leans on that standard in the theory
Models the assumption, that set of all formulas of any theory
The first order, is countable ZFC-set.
The proof.
Let's designate a symbol x$Y a predicate: x there is an element of
set Y.
Let's designate a symbol x#Y a predicate: (1) x there is an element
countable sets Y which definable by means of some ZFC-formula F (x)
(2) Existence of set Y certain by means of formula F (x), together
with axioms ZFC.(3) (x$Y) it is demonstrable in ZFC.
Let's designate a symbol x~#Y a predicate: (1) x there is no element
countable sets Y which definable by means of some ZFC-formula F (x)
(2) Existence of set Y certain by means of formula F (x), together
with axioms ZFC. (3)(x$Y) it is demonstrable in ZFC.
Let's assume, that the set of all ZFC-formulas can be considered as
usual ZFC-set. Then by virtue of axioms of substitution in ZFC
existence is demonstrable set W which elements will be all ZFC-
definable sets. Then by virtue of an axiom of allocation in ZFC
existence so-called wild Rassel's set RW which is certain as follows
will be deduced: x$RW<->x~#x. For set RW by obvious image it is
received, that RW#RW<->RW~#RW.
Thus for RW in ZFC at a level of a metatheory it will be
demonstrable, that x$Y it is demonstrable in ZFC and it is
simultaneously indemonstrable in ZFC.

Текст этот безграмотен настолько, что его практически невозможно понять. Я его специально здесь полностью процитировал, поскольку у Вас есть дурная и непорядочная по отношению к собеседникам манера редактировать до полной неузнаваемости свои старые сообщения. С образом "крупнейшего специалиста" это как-то не вяжется, но Вас это не смущает. И Вы обещали представить полный текст доказательства.
С тех пор прошло почти два месяца, и текст появился. И что же мы видим? Текст очень длинный, но не надо думать, что это такое длинное доказательство. В основном всё сводится к переписыванию и к пересказыванию различных литературных источников и к некоторой демагогии. А обещанного полного текста доказательства как не было, так и нет.

Основная Ваша посылка состоит в том, что "множество формул ZFC является обычным ZFC-множеством". Я не догадываюсь, откуда возникло такое утверждение, кто Вам его внушил (я очень рад, что я оказался в этом отношении "невнушаемым", как Вы любите писать). Или Вы сами до этого додумались? Любой мало-мальски квалифицированный математик должен сразу понимать, что утверждения подобного рода недопустимы, поскольку немедленно ведут к противоречию, причём, без всяких хитроумных изысков "на уровне метатеории".

Предположим, что наша теория ZFC содержит некоторое множество $F$, элементы которого являются формулами этой самой теории, причём, $F$ содержит все формулы. Само по себе такое множество совершенно стерильно, из его существования ровным счётом ничего не следует. Кто нам мешает, в конце концов, взять какое-нибудь множество и объявить его элементы формулами? Да ради Бога! Интересен, разумеется, случай, когда наша теория "знает", что это есть формулы, и "умеет" с ними обращаться. Это означает существование ряда формул, позволяющих
1) определять (с помощью некоторой формулы $f$ с одной свободной переменной), что данный объект теории (в данном случае множество) является не только объектом теории (множеством), но и формулой: $f(\varphi)\Leftrightarrow \varphi\text{ является формулой}$;
2) определять (с помощью некоторой формулы $f_1$ с одной свободной переменной), что данный объект теории является формулой с одной свободной переменной;
3) определять результат подстановки объекта теории в формулу с одной свободной переменной: $s(\psi,\varphi,a)\Leftrightarrow f_1(\varphi)\wedge\text{формула }\psi\text{ является результатом подстановки объекта }a\text{ в формулу }\varphi$,
и так далее.
Теперь мы можем с помощью аксиомы выделения определить множество $F_1=\{\varphi\in F:f_1(\varphi)\}$, элементами которого являются формулы с одной свободной переменной. И, наконец, можно определить одно очень интересное множество: $\Phi=\{\varphi\in F_1:\exists\psi s(\psi,\varphi,\varphi)\wedge\neg\psi\}$.
Здесь $s(\psi,\varphi,\varphi)$ означает, что $\psi$ получается в результате подстановки объекта $\varphi$ (то есть, некоторого множества, раз у нас речь идёт о теории множеств) в формулу $\varphi$ вместо свободной переменной, а вовсе не вписывание текста формулы $\varphi$ в её же текст вместо свободной переменной.
Вы еще не видите противоречия? Или уже видите? Обозначим $\varphi_0$ формулу $x\in\Phi$, где $x$ - свободная переменная.
Предположим, что $\phi_0\in\Phi$. Из определения множества $\Phi$ получаем, что $\psi$ имеет вид $\varphi_0\in\Phi$, и что выполняется $\neg\psi$, то есть, $\neg\varphi_0\in\Phi$. Получается противоречие. Точно к такому же результату приводит и предположение $\neg\varphi_0\in\Phi$.
Для всякого нормального математика это означает, что $F$ не является множеством.
С арифметикой второго порядка разбирайтесь сами.

Ну насмешили дорогой Someone. С каких это пор в формулы стали подставлять
сами множества а не их имена Ведь вы же сами внушаете здесь всем, что множества
это абстракция, т.е. символы, согласен, так вот давайте будем символы и подставлять.
А если Вы хотите в качестве имен использовать сами обекты то так и нужно писать и не
вводить народ в заблуждение. Вы не изучали матлогики, я уже говорил Вам об этом.
Ваша тейория множеств основана на исчислении предикатов второго порядка Еще старик Рассел знал, что теория предикатов второго порядка с такой сильной аксиомой подстановки противоречива Откройте книжицу Такеути и почитайте про
логики второго порядка, а потом будете судить грамотный текст у меня или нет. Где Вы
там нашли у меня в моей "неграмотной" писульке кванторы второго порядка
Sameone почитайте наконец доказательство теоремы Геделя, ну например у Коэна, там
ясно сказано, что множество хформул это множество. А вот имена этих хформул, которые
Вы используете, это как раз объекты метатеории и навешивать кванторы на них нельзя.Там в конце книжицы Коэна есть разяснение по этому поводу любимого Вами Вольпина.
А кого это я из известных математиков поносил последними словами Если Вы о себе то
Вы не математик Вы любитель и любитель очень ленивый, потому что другие любители давно
матлогику изучили на 3+. Так что касается арихметики второго порядка то это не мне, а Вам
нужно сначала разобраться, а уже потом искать ошибки в чужих доказательствах.
С чего Вы взяли такое, что формулы это множества Формулы это т.н. атомы. Противоречивое множество, которое Вы мой друг построили, это хорошее противоречивое множество, но для ниспровержения ZFC оно не годится. Где Вы видели атомы в ZFC Обратите внимание, что мое противоречивое множество не содержит атомов, оно состоит
только из множеств существование которых доказуемо в ZFC. Если будут атомы то погрузить
метадоказательство внутрь ZFC будет заведомо нельзя, так что Ваш школьный метод, очевидно не проходит уже только по этой тривиальной причине. Однако устранить эту
ошибку в Вашем примере можно очевидным образом. Настоящая проблема не в этом.
Ваше множество заведомо не будет определимо в ZFC, поскольку такая определимость
будет находиться в грубом противоречии с теоремой Тарского о невыразимости истины, которую Вы разумеется не знаете. Именно
по этой причине я и спользую не ZFC-истинность а ZFC-ВЫВОДИМОСТЬ, которая выразима с помочю геделевских предикатов. Если все Ваши школьные ошибки исправить, то
будет пример того же типа шо и у меня, так что Вы на правильном пути, хотя и с опозданием.
Все мои конструкции определимы в ZFC. Это следствие хорошо известных и очень старых
теорем, которые разумеется неспециалистам могут быть неизвестны. В полном тексте я их
приведу, чтобы не было никаких сомнений. Вы наступаете на очень старые грабли на которые
наступали в свое время, даже такие крутые ассы как Коэн. В знаменитом Коэновском доказательстве имеется пробел. В оригинальном тексте не доказано что его модель, которую
он строит применяя форсинг, будет определима в ZFC Этот пробел устранил Вольпин.

[Руст]

Как я понял это есть репликация через самоотрицание, о котором я говорил. С точки зрения теории множеств противоречие, но с точки зрения конструктивизма никакого противоречия, из-за того, что это множество не конструктивна.

[Котофеич]

Руст писал(а):

Как я понял это есть репликация через самоотрицание, о котором я говорил. С точки зрения теории множеств противоречие, но с точки зрения конструктивизма никакого противоречия, из-за того, что это множество не конструктивна.

Да это репликация и очень примитивная. На основе логики второго порядка
получить противоречие это не проблема. Проблема при доказательстве противоречивости
ZFC как раз и состояла в том, чтобы получить противоречие на множествах, определения
которых выразимы в ZFC То что предлагает опонент это не интесно это дилетантизм.

[juna]

Котофеич, мне не понятно, зачем Вы на форуме пытаетесь представить Ваше доказательство, если почти всех априори считаете неспособными в нем разобраться – публикуйте в журналах и пусть логики разбираются.
Ваши доказательства так же неконструктивны, как и диалог с оппонентами?

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Котофеич, мне не понятно, зачем Вы на форуме пытаетесь представить Ваше доказательство, если почти всех априори считаете неспособными в нем разобраться – публикуйте в журналах и пусть логики разбираются.
Ваши доказательства так же неконструктивны, как и диалог с оппонентами?

Почему неконструктивны Они элементарны. Просто данный конкретный опонент протестует
и пытается оровергать на коленке... без формул. Но опровергать без формул как
говорит "Морозов" это пустой треп, но как я показал опоненту даже треп с формулами не
всегда проходит, что теорию "Морозова" полностью подтверждает.
С чего Вы взяли, что я так считаю Я считаю с точностью до наоборот. Например один
из опонентов указал на существенный (с точки зрения математиков) пробел в доказательстве
и я это дело учел. Где я в споре с опонентом сказал, что он неспособен в чем то там разобраться Я просто указал на элементарные ошибки только и всего. А обсуждение я веду для того чтобы построить изложение в форме легко доступной математикам, которые не являются специалистами в области матлогики и дискуссию с опонентом я считаю в этом плане очень полезной. Например мне раньше никогда в голову не приходила мысль, что в наше время есть математики, которые не знают что счетное множество формул это обычное множество и что это множество обладает нумерацией и т.п. Вот я постепенно и включаю это дело в текст. А оппонент вместо того чтобы почитать, назвал это демагогией. Ну ничего другие почитают. Что касается журналов то их никто не читает кроме самих авторов, потому что чужое сами знаете не интересно

[Dan_Te]

Цитата:

Где я в споре с опонентом сказал, что он неспособен в чем то там разобраться Я просто указал на элементарные ошибки только и всего.

Вы, мягко говоря, лукавите. Вам процитировать места из ваших сообщений?

[Котофеич]

Dan_Te писал(а):

Цитата:

Где я в споре с опонентом сказал, что он неспособен в чем то там разобраться Я просто указал на элементарные ошибки только и всего.

Вы, мягко говоря, лукавите. Вам процитировать места из ваших сообщений?

Ну может где и обругал. Так это любя по кошачьи
Если Вас не затруднит, выдайте опоненту книжицу П.Коэна,из библиотеки
http://lib.mexmat.ru/books/911
где на странице 29 написано, что множество суждений т.е. замкнутых формул,
это самое обычное множество. Пусть почитает и не морочит себе голову.
Вот еще для справки
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%B8%D1%8F
Math for the people, by the people.
http://planetmath.org/encyclopedia/Gett ... tants.html
Если послушать опонента так все логики ошиблись хором и только он один прав
По моему тут все как раз наоборот-типичный случай абсолютной невнушаемости и полное
нежелание видеть очевидное

[Someone]

Руст писал(а):

Как я понял это есть репликация через самоотрицание, о котором я говорил. С точки зрения теории множеств противоречие, но с точки зрения конструктивизма никакого противоречия, из-за того, что это множество не конструктивна.

Извините, Руст, причём здесь конструктивизм? Обсуждается классическая ZFC.

[Руст]

В конструктивной математике, где признаются только перечислимые множества такая репликация невозможна. Котофеич так же утверждает, что нашёл противоречие уже при счётных множествах. Но я думаю это не конструктивное счётное множество. Счётных подмножеств натурального ряда континиум (по крайней мере в обычной логике), а перечислимых счётное множество и только они признаются ("нормальными") подмножествами натурального ряда в конструктивной математике.
Да, ещё я сторонник конструктивизма, и не стал вникать в построения Котофиеча (не читал ссылки в другие места), поэтому не могу определённо сказать какое он нашёл противоречие, но наличие такой возможности в неконструктивной математике считал возможным.

[Котофеич]

Руст писал(а):

В конструктивной математике, где признаются только перечислимые множества такая репликация невозможна. Котофеич так же утверждает, что нашёл противоречие уже при счётных множествах. Но я думаю это не конструктивное счётное множество. Счётных подмножеств натурального ряда континиум (по крайней мере в обычной логике), а перечислимых счётное множество и только они признаются ("нормальными") подмножествами натурального ряда в конструктивной математике.
Да, ещё я сторонник конструктивизма, и не стал вникать в построения Котофиеча (не читал ссылки в другие места), поэтому не могу определённо сказать какое он нашёл противоречие, но наличие такой возможности в неконструктивной математике считал возможным.

Уважаемый Руст. Само собой разумеется построенное мною счетное множество неконструктивно. Оно только определимо в ZFC, т.е. существует некоторая ZFC-формула
указывающая все элементы, но рекурсивное перечисление разумеется невозможно. Я в полной версии это дело рассмотрю. В чем конечно прав Sameone, доказательство, с точки
зрения математика нелогика, конечно очень неполное и в первую очередь по той причине,
что его самая главная часть связанная с определимостью опущена.
Что касается конструктивной математики то там вообще говоря нерекурсивные множества
признаются, но теоремы доказываются с применением интуиционистской логики и там теорема о противоречивости интуиционистской арифметики второго порядка просто будет
типа того, что интуиционистский анализ не может быть непротиворечивым, т.е. доказуемо
в интуиционистском смысле двойное отрицание суждения о противоречивости. Но детально
я этим не занимался потому что там все намного сложнее по причине неклассического характера самой интуиционистской логики.

[Someone]

Котофеич писал(а):

:evil: Ну насмешили дорогой Someone. :lol: С каких это пор в формулы стали подставлять сами множества а не их имена :?:

Считайте, что это просто манера выражаться. Разумеется, мы работаем с символами и именами. Я хотел подчеркнуть, что после того, как Вы сделали формулы элементами теории, они приобрели, так сказать, две ипостаси: с одной стороны, они являются формулами (как элементы метатеории), а с другой стороны - множествами (как элементы ZFC).

Котофеич писал(а):

Ваша тейория множеств :roll: основана на исчислении предикатов второго порядка

Вы действительно не понимаете, или придуриваетесь? Нет тут никакого исчисления предикатов второго порядка. После того, как Вы - и именно Вы, а не я - засунули формулы ZFC в саму ZFC - они стали обычными её объектами, и обращаться с ними можно точно так же, как со всеми прочими объектами. В частности, писать всякие кванторы. И они будут кванторами первого порядка - по объектам теории, а не по формулам. По каковой причине я и протестую против того, что "множество формул - это обычное ZFC-множество". И моё рассуждение как раз показывает, что совокупность формул ZFC нельзя вложить в ZFC так, чтобы получить множество и одновременно обеспечить возможность работать с формулами именно как с формулами, а не просто как со случайными множествами. Я думаю, что это рассуждение, ввиду его примитивности, известно со времён Оно, поскольку я всегда был абсолютно убеждён, что нельзя формулы теории вкладывать в эту теорию и позволять ей с ними работать.

Котофеич писал(а):

Sameone почитайте наконец доказательство теоремы Геделя, ну например у Коэна, там ясно сказано, что множество хформул это множество. А вот имена этих хформул, которые Вы используете, это как раз объекты метатеории и навешивать кванторы на них нельзя.

Вы сами-то это доказательство читали? И весь ли § 4 главы I Вы прочитали, особенно его начало? И почему это Вы то начинаете отрицать различие между теорией и метатеорией, когда это различие мешает Вам считать множество формул ZFC (которое, разумеется, является таковым в метатеории) "обычным ZFC-множеством", то вдруг вспоминаете об этом различии, когда я Вам демонстрирую, что стирание этого различия ведёт к противоречиям?

Котофеич писал(а):

С чего Вы взяли такое, что формулы это множества :?: Формулы это т.н. атомы. Противоречивое множество, которое Вы мой друг построили, это хорошее противоречивое множество, но для ниспровержения ZFC оно не годится. Где Вы видели атомы в ZFC

Никакого противоречивого множества я не строил. Это Вы его создали из ничего титаническим усилием своей мысли.

Опять же, внимательно ли Вы читали доказательство той теоремы, к которой меня всё время отсылаете? Откуда возьмутся атомы, если аксиома объёмности в том виде, в каком она сформулирована в ZFC, запрещает их существование? Если мы изначально включим формулы ZFC в ту её модель, которую строим, то они станут там обычными множествами. Правда, их структура не будет иметь никакого отношения к их сущности как формул, и наша теория ZFC не сможет их распознавать и работать с ними (возможен и другой вариант: полученная таким совокупность элементов построенной модели не будет множеством в этой модели; это зависит от деталей построения). Поэтому и противоречия никакого не будет.

Последующее хамство пропускаю.

Котофеич писал(а):

Ваше множество заведомо не будет определимо в ZFC

Мне начхать, определимое оно или нет, тем более, что оно не моё, а Ваше, и, что гораздо существеннее, вообще не множество.

Котофеич писал(а):

Тут возникли усякие детские споры по поводу определений теории
и метатеорий, потому что кто то не знает школьных определений, что на самом деле абсолютно не в тему.
Это может бросать тень и вызывать сомнения у непосвященных.
Так я подчеркну, что мое доказательство не опирается на тонкую разницу
между теорией и метатеорией, свойственную только определенной специфике формулирования теории множеств и общих теорий первого порядка.

У меня сложилось впечатление, что Вы вооще не понимаете, зачем нужна метатеория, что это такое и почему её нельзя путать с описываемой ей теорией. Метатеория - это не какая-нибудь особенная теория, это такая же математическая теория, как и все прочие. Приставка "мета" характеризует только её назначение - служить средством для формального описания какой-либо теории. П.Дж.Коэн в начале упомянутого § 4 как раз сообщает, что он будет использовать для этой цели некоторый неформализованный вариант теории множеств с аксиомой выбора, но замечает, что после формализации теории множеств всё это можно повторить уже в рамках формализованной теории. Таким образом, в качестве метатеории можно взять саму ZFC, и в ней строить формализацию ZFC. Возможно, это Вас и сбивает с толку, поскольку здесь присутствуют две теории с одинаковыми названиями. Возможно, Вам будет легче их различать, если метатеорию Вы будете называть Мета-ZFC, чтобы явно отличать её от той ZFC, которая формализуется в этой самой Мета-ZFC.
Коэн действует в точном соответствии с моим пониманием метатеории (кстати, оно всё-таки не моё: именно в таком смысле разъясняется понятие метатеории в математической энциклопедии; почему ни в коем случае нельзя смешивать теорию и её метатеорию, хорошо объясняют Е.Расёва и Р.Сикорский в книге "Математика метаматематики" ("Наука", Москва, 1972) в начале главы V). Ваша же "метатеория" $\overline{ZFC}$ в этом смысле метатеорией не является:

Котофеич писал(а):

3.1.8.Метатеория теории множеств ZFC это формальная теория,
которая получается в результате расширения теории ZFC
путем добавления одного унарного отношения $\vdash_{ZFC}A$,
которое мы будем кратко записывать как $\vdash A$. При этом
мы говорим, что для замкнутой формулы A предложение
$\vdash A$ есть истинное предложение теории $\overline{ZFC}$,
если и только если A есть теорема теории множеств ZFC.
3.1.9.Метатеорию теории множеств ZFC мы будем обозначать
символом $\overline{ZFC}$ и называть метатеорией множеств $\overline{ZFC}$.

Ничего удивительного, что у Вас возникла жуткая путаница с этими самыми "обычными ZFC-множествами".

Котофеич писал(а):

Теперь я переведу на нормальный язык то что хотел сказать мой опонент.
Опонент говорит шо например счетное множество предметных констант с1,с2,...
которое имеется у ZFC енто не ZFC-множество, а некий обект какой то загадочной
метатеории

Котофеич, не надо приписывать мне всякие глупости, которые я не говорил. Вы их сами придумываете, от своего имени и излагайте. Мне просто физически не хватит времени, чтобы перечислить все глупости, которые Вы мне уже приписали. Разбирайте доказательство теоремы Гёделя о полноте, оно у Коэна хорошо описано, и там прекрасно видно, что есть что и откуда берётся. Читайте также "Математику метаматематики", там подробно объясняется, как метатеория используется для построения языка формализуемой теории.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Руст писал(а):

Как я понял это есть репликация через самоотрицание, о котором я говорил. С точки зрения теории множеств противоречие, но с точки зрения конструктивизма никакого противоречия, из-за того, что это множество не конструктивна.

Извините, Руст, причём здесь конструктивизм? Обсуждается классическая ZFC.

Уважаемый опонент. Во здесь в этой старой книжице в гл.5, детально описаны все предикаты, которые Вы придумали.
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=R ... k&id=25225
Чтобы Ваше противоречивое множество Ф работало, нужно еще доказать, что его определение,которое записано формулой логики второго порядка, можно выразить
ZFC-формулой, т.е. в языке первого порядка. Ваши рассуждения доказывают пока только
то что: либо это Ф не выразимо в ZFC либо то что ZFC противоречива. Но никаким
волшебным образом Ваши рассуждения не могут доказать что F не есть множество.
Множество формул F рекурсивно перечислимо и его всегда отождествлялось с
соответствующим множеством геделевых номеров, т.е. с рекурсивным подмножеством
натурального ряда. Так что если Вы сильно напряжетесь, то в самом худшем для мировой
матобчественности, случае Вы подтвердите мою правоту, а я никогда еще не ошибался, ну а в лучшем случае Ваше множество лежит за пределами ZFC и к ее противоречивости никакого отношения не имеет.

[Someone]

Руст писал(а):

В конструктивной математике, где признаются только перечислимые множества такая репликация невозможна. Котофеич так же утверждает, что нашёл противоречие уже при счётных множествах. Но я думаю это не конструктивное счётное множество. Счётных подмножеств натурального ряда континиум (по крайней мере в обычной логике), а перечислимых счётное множество и только они признаются ("нормальными") подмножествами натурального ряда в конструктивной математике.
Да, ещё я сторонник конструктивизма, и не стал вникать в построения Котофиеча (не читал ссылки в другие места), поэтому не могу определённо сказать какое он нашёл противоречие, но наличие такой возможности в неконструктивной математике считал возможным.

Я знаком с конструктивным направлением в объёме книги Б.А.Кушнера "Лекции по конструктивному математическому анализу", "Наука", Москва, 1973. Мне это показалось интересным, но заниматься этим не стал, поскольку для плодотворных занятий нужен тесный контакт со специалистами в данной области, которого у меня никогда не было.

Противоречивость ZFC в принципе возможна, но доказана она будет не в этот раз.

Что касается Котофеича, то ничего он не доказал и не докажет. Он исходит из ложного предположения, что множество формул ZFC является обычным ножеством в ней самой, в то время какна самом деле это множество принадлежит метатеории. Ему можно приводить любые доводы, он их все будет отвергать, хамить и отсылать к учебной литературе, которую сам толком не понимает. Это типичный гибрид ферманьяка, наподобие Виктора Сорокина, и профессора Выбегалло. Он "нахватался" всякой всячины, вообразил себя непризнанным гением и берётся за решение глобальных проблем (на меньшее он не обратит внимание) сразу во многих областях: математическая логика (проблема меньшая, чем противоречивость ZFC, его, разумеется, не интересует), теория гравитации (никак не меньше, чем опровержение классической теории чёрных дыр), квантовая механика (непременно приложение к Миру в целом, чтобы не мелочиться),... То, что он большей части прочитанного не понимает, ему объяснить, разумеется, невозможно, он просто не поверит. Я с такими людьми сталкивался и ранее, они абсолютно невменяемы. Я пишу просто потому, что должен же кто-то объяснить не очень квалифицированной публике, что впадать в панику в связи с "опровержением" ZFC несколько преждевременно. Профессиональных логиков должного уровня здесь либо нет, либо они считают ниже своего достоинства вступать в дискуссию с таким персонажем, как Котофеич.