Я бы не советовал рисковать головой из-за игры словами. В конце концов найдётся фокусник, который извлечёт кролика из шляпы и скажет: "Вы же видели, что она была пустая. Ваше определение пустого множества не нарушено". Слова "доказать" или "показать" несут риск, что доказывать будут в противоречивой аксиоматике, а в ней, как известно, можно доказать что угодно.
Я все-таки думаю так: если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
принадлежит пустому множеству, то рубите голову-- но не мне, а Ходже Насреддину, а то мало ли.
Хотя, с другой стороны, если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
принадлежит пустому множеству, то не рубите ему голову -- ex falso [sequitur] quodlibet, «из лжи [следует] что угодно».
По-моему, налицо реальный парадокс (противоречие), и не только для Ходжи Насреддина, но и для палача: он не знает, рубить или не рубить.
Это в ответ на высказывание
Они парадоксы максимум только в философском смысле
Другое дело, что
Если бы было доказано ещё, что
![$x\in\varnothing$ $x\in\varnothing$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/8/ac8c6ba21b0021a0ef25d130f5fbcf8182.png)
, то отсюда можно было бы вывести два противоречащих друг другу утверждения:
![$x\in A$ $x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/3/a23558f101650f4b374115e5bc51766482.png)
и
![$x\notin A$ $x\notin A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c19af7f903e25f45cf83e3c4f1d74a6e82.png)
.
Но так как не доказано (и не может быть доказано), что
![$x\in\varnothing$ $x\in\varnothing$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/8/ac8c6ba21b0021a0ef25d130f5fbcf8182.png)
, то ни
![$x\in A$ $x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/3/a23558f101650f4b374115e5bc51766482.png)
, ни
![$x\notin A$ $x\notin A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c19af7f903e25f45cf83e3c4f1d74a6e82.png)
вывести не получится.
То есть парадокс закона ex falso quodlibet -- так же, как и сам закон, -- где начинается, там и заканчивается.
(Впрочем, для Ходжи Насреддина и этого хватит: какие ему выводы после того, как ему отрубят голову?
Хотя, может, и не отрубят.)
Но тут у меня вопрос. У Куратовского и Мостовского читаем:
Цитата:
Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
верна импликация
![$x\in \varnothing \to x\in A$ $x\in \varnothing \to x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/f/60fb2c638ecd07098205c4bfde22f55682.png)
, откуда
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19
Как я понимаю, они основывают утверждение
![$\varnothing\subset A$ $\varnothing\subset A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/0/d90f81e3d3a8acda089a3f5ec1e6b91582.png)
на том, что
![$x\in A$ $x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/3/a23558f101650f4b374115e5bc51766482.png)
. Как же так?