Импликация и другие логические связки

[epros]

tolstopuz в сообщении #1632348 писал(а):

По-моему, все правильно. Необходимая причина для $B$ - это такое $A$, без которого $B$ не наступает, то есть $A\Rightarrow B$ как раз и означает $B\to A$.

Например, $2\times 2=4$ является необходимой причиной любого утверждения :)

А что такое "необходимая причина"? Правильно ли я понял, что по Вашему определению это как раз то, что в логике называют следствием (консеквентом импликации)?

В любом случае, под то, что сказал Gevin Magnus, из логических связок подходит только эквивалентность. Как-то это не очень логично для причинно-следственной связи.

Gevin Magnus в сообщении #1632338 писал(а):

Тогда нельзя говорить о причине (необходимой)

А когда можно?

Вот смотрите. Под детерминированным конечным автоматом понимается функция, переводящая состояние $x_n$ в состояние $x_{n+1}$, здесь индекс означает дискретное время. Таблица значений этой функции определяется как раз множеством импликаций вида $x_n = A \to x_{n+1} = B$, т.е. предыдущее состояние $A$ однозначно определяет последующее состояние $B$. Однако нет такого закона, что $x_{n+1} = B \to x_n = A$, т.е. вполне может быть так, что и $x_n = A \to x_{n+1} = B$, и $x_n = C \to x_{n+1} = B$, причём $A \ne C$. В таком случае конечный автомат также будет необратим по времени. Если Вы не считаете, что все процессы в природе обратимы по времени, то непонятно, почему "причинно-следственная связь" должна определяться таким образом, как Вы сказали.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1632348 писал(а):

Необходимая причина для $B$ - это такое $A$, без которого $B$ не наступает, то есть $A\Rightarrow B$ как раз и означает $B\to A$.

По-моему, лучше не употреблять выражение "необходимая причина".

Как я понимаю, достаточность соответствует причине, а необходимость следствию. Я думаю, необходимость и называется необходимостью, потому что ее невозможно обойти (при наличии достаточности), то есть следствие невозможно обойти при наличии посылки.

При этом бывает, что следствие может получаться из единственной посылки и ни из какой другой, а бывает, что одно и то же следствие может получаться из разных посылок.

Если следствие $B$ посылки $A$ может являться следствием и другой посылки -- посылки $C$ (если ваза может разбиться оттого, что упала на пол, а может разбиться оттого, что по ней ударили палкой), то имеем прямую импликацию $A\Rightarrow B$ и не имеем обратной импликации $B\Rightarrow A$.

Если же следствие $B$ посылки $A$ не может являться следствием никакой другой посылки, кроме $A$ (если ваза может разбиться только оттого, что упала на пол, и больше ни от чего), то имеем прямую импликацию $A\Rightarrow B$ и обратную импликацию $B\Rightarrow A$, то есть имеем эквиваленцию $A\Leftrightarrow B$.

Кстати, о том, что достаточность соответствует причине, а необходимость следствию. Я долго не мог понять, что такое в теоремах необходимость и достаточность, но теперь понимаю так, что достаточность доказываемого утверждения это его посылка, а необходимость это его следствие, то есть в случае эквиваленции надо доказать посылку, исходя из следствия, и следствие, исходя из посылки.

tolstopuz в сообщении #1632348 писал(а):

Например, $2\times 2=4$ является необходимой причиной любого утверждения :)

Это уже труднее понять.

[Vladimir Pliassov]

Прошу отнестись снисходительно к этому посту, я сам вижу, что он длинный и во многом скучный, но короче и веселее у меня не получилось. Можно читать самое начало и самый конец -- с штрихом Шеффера.

1.

Я долго размышлял о том, что такое ложная импликация, и пришел еще к одному значению слова "импликация": импликация как высказывание. Однако, если понимать импликацию как высказывание, то ложная импликация это просто одно из ложных высказываний, а вовсе не импликация с истинной посылкой и ложным заключением. Или я что-то не понимаю?

2.

Пусть мы имеем множество $\mathbb N$ натуральных чисел (включая $0$). Каждый элемент этого множества либо делится на $2$, либо нет, а также либо делится на $3$, либо нет. При этом $\mathbb N$ разбивается на четыре непересекающихся подмножества:

1) $N_1$, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$,

2) $N_2$, элементами которого являются все числа, которые не делятся на $2$ и при этом делятся на $3$,

3) $N_3$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$,

4) $N_4$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$.

Возьмем два утверждения: $\mathcal P= и $\mathcal Q=, $x\in \mathbb N$.

Для элементов $N_1$ оба они являются ложными,

для элементов $N_2$ $\mathcal P$ является ложным, а $\mathcal Q$ истинным,

для элементов $N_3$ $\mathcal P$ является истинным, а $\mathcal Q$ ложным,

для элементов $N_4$ оба они являются истинными.

Рассмотрим на этом примере некоторые из бинарных логических связок, в том числе и импликацию.

По-моему, проще всего понять конъюнкцию.

Конъюнкция $\mathcal P\wedge \mathcal Q$ это высказывание относительно одного выбранного из $\mathbb N$ числа

("оно делится и на $2$, и на $3$"

-- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus (N_1\cup N_2\cup N_3)$),

например, если выбираем число $6$, то по отношению к нему конъюнкция $\mathcal P\wedge \mathcal Q$ истинна, потому что число $6$ делится и на $2$, и на $3$, а если выбираем число $5$, $9$ или $4$, то по отношению к каждому из них она ложна, потому что ни одно из них не делится одновременно на $2$ и на $3$.

То есть если конъюнкция как высказывание соответствует действительности, то она истинная, а если не соответствует, то ложная

(под действительностью я понимаю то, что является ею по моим представлениям).

Эквиваленция $\mathcal P\equiv \mathcal Q$ это высказывание относительно двух выбранных из $\mathbb N$ чисел

("если число делится на $2$, то оно делится и на $3$, а если не делится на $2$, то не делится и на $3$"

а также

"если число делится на $3$, то оно делится и на $2$, а если не делится на $3$, то не делится и на $2$"

-- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus (N_2\cup N_3)$),

например, если выбираем числа $5$ и $6$, то по отношению к ним эквиваленция $\mathcal P\equiv \mathcal Q$ истинна, а если выбираем числа $5$ и $4$, то по отношению к ним она ложна.

Исключающее "или" $\mathcal P\oplus \mathcal Q$ это высказывание относительно двух выбранных из $\mathbb N$ чисел

("если число делится на $2$, то оно не делится на $3$, а если оно делится на $3$, то не делится на $2$,

а также

если число не делится на $2$, то оно делится на $3$, а если оно не делится на $3$, то делится на $2$"

-- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus (N_1\cup N_4)$),

например, если выбираем числа $9$ и $4$, то по отношению к ним исключающее "или" $\mathcal P\oplus \mathcal Q$ истинно, а если выбираем числа $9$ и $5$, то по отношению к ним оно ложно.

Дизъюнкция $\mathcal P\vee \mathcal Q$ это высказывание относительно трех выбранных из $\mathbb N$ чисел

("каждое из них делится либо на $2$, либо на $3$, либо и на $2$, и на $3$" -- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus N_1 $),

например, если выбираем числа $9$, $4$ и $6$, то по отношению к ним дизъюнкция $\mathcal P\vee \mathcal Q$ истинна, а если выбираем числа $5$, $4$ и $6$, то по отношению к ним она ложна.

Как мне кажется, важно понимать предложение "дизъюнкция это когда либо $p$, либо $q$, либо и $p$, и $q$ вместе" как "либо $p$ и при этом $\neg q$, либо $q$ и при этом $\neg p$, либо и $p$, и $q$ вместе.

То есть дизъюнкция это когда $x\in \mathbb N$ либо делится на $2$ и при этом не делится на $3$, либо делится на $3$ и при этом не делится на $2$, либо делится и на $2$, и на $3$.

Штрих Шеффера $\mathcal P\uparrow \mathcal Q$ это высказывание относительно трех выбранных из $\mathbb N$ чисел

("если число делится на $2$, то оно не делится на $3$, а если оно делится на $3$, то не делится на $2$, а также есть числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$"

-- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus N_4 $),

например, если выбираем числа $5$, $9$ и $4$, то по отношению к ним штрих Шеффера $\mathcal P\uparrow \mathcal Q$ истинен, а если выбираем числа $5$, $9$ и $6$, то по отношению к ним он ложен.

3.

Если относительно импликации мы пойдем таким же путем, то получим, что

прямая импликация $\mathcal P\to \mathcal Q$ это высказывание относительно трех выбранных из $\mathbb N$ чисел

("из того, что число делится на $2$, следует, что оно делится на $3$, а также есть числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$, и такие, которые не делятся на $2$, и при этом делятся на $3$"

-- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus N_3 $),

например, если выбираем числа $5$, $9$ и $6$, то по отношению к ним прямая импликация $\mathcal P\to \mathcal Q$ истинна, а если выбираем числа $5$, $9$ и $4$, то по отношению к ним она ложна.

Но, как я уже сказал в начале, если понимать импликацию как высказывание, то ложная импликация это просто одно из ложных высказываний, а вовсе не импликация с истинной посылкой и ложным заключением.

Между ними должна быть связь, но я ее не вижу.

Может быть, имеются в виду штрих Шеффера $\mathcal P\uparrow \mathcal Q$ и исключающее "или" $\mathcal P\oplus \mathcal Q$?

В них обоих есть импликации "если число делится на $2$, то оно не делится на $3$" и "если оно делится на $3$, то оно не делится на $2$", то есть импликации с ложными посылками и истинными заключениями.

(в исключающем "или" есть еще импликации "если число не делится на $2$, то оно делится на $3$" и "если оно не делится на $3$, то оно делится на $2$").

Но тогда штрих Шеффера это ложная прямая импликация и вместе с тем ложная обратная импликация.

Или это WRONG WAY?

[Gevin Magnus]

epros в сообщении #1632365 писал(а):

В таком случае конечный автомат также будет необратим по времени. Если Вы не считаете, что все процессы в природе обратимы по времени, то непонятно, почему "причинно-следственная связь" должна определяться таким образом, как Вы сказали

Почти все процессы в природе обратимы на фундаментальном уровне (ну может кроме коллапса). Но тут это и не важно. В вашем необратимом случае причина будет "событие вида А или С". А в необратимом тоже не все гладко - например если мы будем искать причину для подсистемы будущего состояния $x_{1, n+1}$

-- 10.03.2024, 19:30 --

tolstopuz в сообщении #1632348 писал(а):

Например, $2\times 2=4$ является необходимой причиной любого утверждения :)

Почему?

[tolstopuz]

Gevin Magnus в сообщении #1632413 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1632348 писал(а):

Например, $2\times 2=4$ является необходимой причиной любого утверждения :)

Почему?

Если бы $2\times 2$ не было бы $4$, то было бы неверно (кстати, и верно тоже) любое утверждение.

Gevin Magnus в сообщении #1632093 писал(а):

Можно попытаться формализовать А - причина Б, если "если бы не было А, то не было и Б (при прочих равных)"

[Gevin Magnus]

tolstopuz в сообщении #1632433 писал(а):

Если бы $2\times 2$ не было бы $4$, то было бы неверно (кстати, и верно тоже) любое утверждение.

Ага, а что с верностью то делать?

[tolstopuz]

Gevin Magnus в сообщении #1632434 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1632433 писал(а):

Если бы $2\times 2$ не было бы $4$, то было бы неверно (кстати, и верно тоже) любое утверждение.

Ага, а что с верностью то делать?

Смириться. Таково неизбежное следствие (это что-то типа необходимой причины, только наоборот) этого определения.

[epros]

Gevin Magnus в сообщении #1632413 писал(а):

Почти все процессы в природе обратимы на фундаментальном уровне (ну может кроме коллапса).

Понятно, термодинамику, стало быть, за "фундаментальный уровень" не признаёте. Кстати, одного коллапса для необратимости "на фундаментальном уровне" вполне достаточно.

Это важно, потому что если бы всё было обратимо "на фундаментальном уровне", то "причинно-следственные связи" были бы тоже обратимыми, а значит на их роль действительно подошла бы логическая эквивалентность, которая из логических связок одна только и подходит на роль Ваших "необходимых причин".

Gevin Magnus в сообщении #1632413 писал(а):

В вашем необратимом случае причина будет "событие вида А или С".

Так легко можно договориться до того, что причиной $B$ является "что угодно", и на этом успокоиться. Всё-таки в этом случае имеем ли мы право говорить, что причиной $B$ является $A$?

Gevin Magnus в сообщении #1632413 писал(а):

А в необратимом тоже не все гладко - например если мы будем искать причину для подсистемы будущего состояния $x_{1, n+1}$

Что такое "подсистема состояния"?

[epros]

Vladimir Pliassov, чего Вы пытаетесь добиться?

Vladimir Pliassov в сообщении #1632410 писал(а):

Однако, если понимать импликацию как высказывание, то ложная импликация это просто одно из ложных высказываний, а вовсе не импликация с истинной посылкой и ложным заключением

Ложная импликация - это просто одно из ложных высказываний. При этом в классической логике это означает, что у неё истинная посылка и ложное заключение.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632410 писал(а):

прямая импликация $\mathcal P\to \mathcal Q$ это высказывание относительно трех выбранных из $\mathbb N$ чисел

В языке арифметики $\mathcal P$ запишется как $\exists y~2 \times y = x$, а $\mathcal Q$ запишется как $\exists y~3 \times y = x$. Поэтому импликация $\mathcal P \to \mathcal Q$ запишется как $(\exists y~2 \times y = x) \to (\exists y~3 \times y = x)$. Поскольку в исчислении предикатов есть правило обобщения, которое гласит, что на свободную предметную переменную автоматически ставится квантор всеобщности, это эквивалентно утверждению:
$\forall x~(\exists y~2 \times y = x) \to (\exists y~3 \times y = x)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632410 писал(а):

-- все такие числа принадлежат множеству $\mathbb N\setminus N_3 $),

Разумеется, выписанное выше утверждение ложно, поскольку его нарушает, например, случай $x=4$.

Но утверждение:
$\forall x~x \notin N_3 \to ((\exists y~2 \times y = x) \to (\exists y~3 \times y = x))$
- истинно.

И импликация $(\exists y~2 \times y = x) \to (\exists y~3 \times y = x)$ в данном случае истинна, потому что у неё не может быть ложное заключение при истинной посылке, ибо это исключено условием $x \notin N_3$.

[Gevin Magnus]

epros в сообщении #1632455 писал(а):

Так легко можно договориться до того, что причиной $B$ является "что угодно", и на этом успокоиться. Всё-таки в этом случае имеем ли мы право говорить, что причиной $B$ является $A$?

Думаю нет

epros в сообщении #1632455 писал(а):

Что такое "подсистема состояния"?

Подсостояние

[Vladimir Pliassov]

Я думаю, тема близится к исчерпанию, возможно, я нашел ответ на вопрос, откуда взялось правило: "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно"?

Привожу несовершенно (при помощи Переводчика) переведенные цитаты из одного форума https://math.stackexchange.com/question ... -statement

Цитата:

В качестве примера того, почему полезно соглашение «то, что из лжи следует ложь, -- истина», рассмотрим предложение "если данное число меньше, чем $10$, то оно также меньше, чем $100$".

Это явно верное утверждение. Следовательно, если мы специализируем это утверждение, заменяя слова «любое число» числом, мы все равно должны считать его истинным. Итак, давайте посмотрим на некоторые из этих специализированных случаев.

Используя число $5$, получаем истинное утверждение "если $5$ меньше, чем $10$, тогда оно также меньше, чем $100$". Это пример того, что «из истины следует истина».

В этом -- конкретном -- случае это, кстати, легко доказать: $5<10<100\to 5<100$.

Цитата:

Используя число $500$, мы получаем "если $500$ меньше, чем $10$, тогда оно также меньше, чем $100$".
Это также истинное утверждение в форме «из лжи следует ложь».

Наконец, если мы воспользуемся числом $50$, получаем "если $50$ меньше, чем $10$, то оно также меньше, чем $100$".
Это пример того, что «из лжи следует истина», и это все равно должно быть правдивым утверждением.

Таким образом, причина соглашения "то, что из лжи следует истина -- истина", заключается в том, что оно делает такие утверждения, как $ верными для всех значений $x$, как и следовало ожидать.

Заметьте: причина соглашения.

Цитата:

Так эти законы просто соглашения? Как о вещах, о которых мы, люди, коллективно договорились?

Цитата:

Да. Те, которые наиболее полезны, — сохраняются.

Значит, имеется в виду, что эти законы не доказываются. Но я попытаюсь доказать два из четырех.

Закон: «из истины следует истина», -- я по-моему, доказал, но только для частного случая, так что это не считается.

О законе "то, что из истины следует ложь, -- ложь", я скажу позже.

Но вот закон: "из лжи следует ложь", -- "если $500$ меньше $10$, тогда оно меньше $100$".

Утверждение "если $500$ меньше $10$, тогда оно меньше $100$" на первый взгляд не похоже ни на правду, ни на ложь, но это во всяком случае не ложь, потому что сказано: "если ...". А так как это не ложь, то это правда, потому что выбор такой: либо ложь, либо правда. Доказал?

То же самое с утверждением "из лжи следует правда".

Что же касается закона "утверждение, что из истины следует ложь, ложно", то, судя по приведенным цитатам, существует мнение, что оно доказано не логикой, а совсем по-другому: человеческим опытом -- никто, нигде и никогда не встречал, чтобы из правды последовала ложь. Возьмем, например, высказывание "если $5$ меньше, чем $10$, тогда $500$ меньше, чем $100$" -- еще одно свидетельство ложности высказывания "из истины следует ложь", взятое из человеческого опыта.

Доказать же это по-другому, как я подозреваю, невозможно (хотел бы ошибиться). Я попытался, исходя из того, что $5<10$, доказать, что $500>100$, но не смог. Этот закон, как я думаю, вроде пятого постулата Евклида, который долго безуспешно пытались доказать.

То же самое, по-моему, касается и закона "утверждение, что из истины следует истина, истинно": он доказывается -- снова и снова -- человеческим опытом, но не логикой.

Однако, как я уже говорил, по-моему, не имеет значения, как именно пришли к исходным положениям логического построения: пусть пришли из опыта, -- логика начинается только после того, как к ним уже пришли.

Или я ошибаюсь, и законы

"утверждение, что из истины следует истина, истинно" и

"утверждение, что из истины следует ложь, ложно"

можно доказать иначе, чем многократным опытом?

2.

На сообщение #1632475" надеюсь ответить позже.

[epros]

Gevin Magnus в сообщении #1632482 писал(а):

epros в сообщении #1632455 писал(а):

Так легко можно договориться до того, что причиной $B$ является "что угодно", и на этом успокоиться. Всё-таки в этом случае имеем ли мы право говорить, что причиной $B$ является $A$?

Думаю нет

Тогда однозначно Ваша "причинно-следдственная связь" - это логическая эквивалентность. Поскольку должна действовать в обе стороны.

Gevin Magnus в сообщении #1632482 писал(а):

epros в сообщении #1632455 писал(а):

Что такое "подсистема состояния"?

Подсостояние

Правильно ли я понял, что если $x_n = A \to x_{n+1} = B$ и $x_n = C \to x_{n+1} = B$, то Вы предлагаете разбить состояние $B$ на подсостояния $B_1$ и $B_2$, считая, что за состоянием $A$ следует $B_1$, а за состоянием $C$ - $B_2$? И далее тащить это разделение на подсостояния на всё, что следует за состоянием $B$?

Надеетесь таким образом превратить необратимый процесс в обратимый? Типа, "на самом деле" коллапса волновой функции не происходит, а видимое конкретным наблюдателем - это результат расщепления универса на разные случаи?

Vladimir Pliassov, продолжаете ерундой заниматься? Посредством манипуляций значениями истинности ничего нового Вы про импликацию не поймёте. Просто уясните, что логика - это общепринятая система правил рассуждения, не более того. И когда люди согласовывали между собой эту систему правил, они решили, что среди логических связок должна быть импликация. А когда они потом решили, что значений истинности у утверждений должно быть только два (что с моей точки зрения - не самое удачное решение), они увидели, что под предполагаемые ими свойства импликации подходит только такая таблица значений истинности, вот и всё.

А те, кого это до сих пор не устраивает, продолжают попытки придумать альтернативное определение "причинно-следственной связи". И в итоге получается либо логическая эквивалентность, как у Gevin Magnus, либо вообще неизвестно что.

В сущности, ключевое свойство импликации - это $A \to (B \to A)$. Как я Выше писал, его можно вывести дедукцией. Захотите отказаться от этого свойства - забудьте о дедукции. Кстати, если вместо $A$ подставить тождественную ложь $\bot$, то получим $\bot \to (B \to \bot)$ - из лжи следует отрицание чего угодно. Это ещё не ex falso quodlibet, но уже близко к этому. Так что ex falso quodlibet можно считать "не очень существенным уточнением логики". А из этих двух вещей плюс закон исключённого третьего таблица значений истинности импликации получается однозначно.

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1632562 писал(а):

Vladimir Pliassov, продолжаете ерундой заниматься?

По-моему, Вы не обратили внимания на мое доказательство:

Vladimir Pliassov в сообщении #1632488 писал(а):

Утверждение "если $500$ меньше $10$, тогда оно меньше $100$" на первый взгляд не похоже ни на правду, ни на ложь, но это во всяком случае не ложь, потому что сказано: "если ...". А так как это не ложь, то это правда, потому что выбор такой: либо ложь, либо правда. Доказал?

А между тем, оно очень простое, что является его достоинством. Но, может быть, я не доказал? Или, может быть, оно не новое? Не удивлюсь, если так.

Оно основывается, так сказать, на презумпции невиновности: если невозможно доказать, что утверждение ложно, оно считается истинным.

2.

Пример:

Цитата:

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого $x$ верна импликация $x\in \varnothing \to x\in A$

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

Но также верна импликация $x\in \varnothing \to x\notin A$, то есть доказаны два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$ (какое из них истинное, а какое ложное?).

Как я понимаю, именно то, что в классической логике из лжи следует и правда, и ложь, является основанием парадоксов материальной (то есть прямой) импликации.

(А почему только прямой? По-моему, и обратной тоже.)

И вот такая мысль: математика и логика это отражение существующего мира, а в нем нет парадоксов, иначе он не мог бы существовать. Значит, если в его отражении -- в математике и в логике -- есть парадоксы, то оно (отражение) несовершенное, и надо искать, как сделать его совершеннее, то есть стараться по возможности избавляться от парадоксов.

Так что, по-моему, можно только приветствовать поиски новых логик.

И еще мне кажется, что найти "окончательную", абсолютно совершенную логику не удастся, потому что мир бесконечен, и эти поиски будут продолжаться, пока разумные существа будут существовать.

(Поругайте меня за философствование.)

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

По-моему, Вы не обратили внимания на мое доказательство:

По-моему, и правильно сделал. Потому что доказательство - это вывод из аксиоматики. А какая у Вас аксиоматика?

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

Оно основывается, так сказать, на презумпции невиновности: если невозможно доказать, что утверждение ложно, оно считается истинным.

Это что Вы сейчас за презумпцию невиновности для истинности придумали? Такова что ли Ваша формулировка закона исключённого третьего, точнее, снятия двойного отрицания? Так Вы его - двойное отрицание - для начала докажите. Пока что Вы только предполагаете, что импликация с ложной посылкой "не похожа на ложь". А должно быть так: "Импликацию с ложной посылкой невозможно отрицать".

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

И вот такая мысль: математика и логика это отражение существующего мира

Теория отражения - это бред свихнувшихся философов.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

если в его отражении -- в математике и в логике -- есть парадоксы

Парадоксы - это противоречия. В классической логике их нет. Зато есть то, что кому-то (в частности, мне) не нравится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

И еще мне кажется, что найти "окончательную", абсолютно совершенную логику не удастся

Логику не нужно "искать". Она - система общепринятых правил, о которых нужно просто договориться, чтобы понимать друг друга. И если Вы предлагаете альтернативную логику, об использовании которой сможете с кем-то договориться, то и на здоровье. Вопрос только в том, сможете ли Вы в своей логике выразить то, что нужно (и при этом случайно не выразить что-то лишнее).

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632590 писал(а):

доказательство - это вывод из аксиоматики. А какая у Вас аксиоматика?

epros в сообщении #1632590 писал(а):

Это что Вы сейчас за презумпцию невиновности для истинности придумали? Такова что ли Ваша формулировка закона исключённого третьего, точнее, снятия двойного отрицания? Так Вы его - двойное отрицание - для начала докажите. Пока что Вы только предполагаете, что импликация с ложной посылкой "не похожа на ложь". А должно быть так: "Импликацию с ложной посылкой невозможно отрицать".

Разумеется, доказательство не претендует на совершенство, но идея понятна?

Если невозможно доказать, что утверждение ложно, то оно истинно.

Может быть, надо такую аксиому ввести (если ее нет)?

И эту аксиому можно условно назвать презумпцией невиновности, по аналогии с презумпцией невиновности в юриспруденции.

А доказать, что утверждение ложно, нельзя, потому что это условное утверждение: его посылка начинается словом "если", и это исключает возможность доказательства его ложности.

Конечно, надо подобрать правильные слова, но, я думаю, образованный математик сможет это сделать.

epros в сообщении #1632590 писал(а):

Парадоксы - это противоречия. В классической логике их нет.

Как же нет? А то, что можно доказать два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$, -- это разве не парадокс? Или это не в ней?

epros в сообщении #1632590 писал(а):

В классической логике ... есть то, что кому-то (в частности, мне) не нравится.

Вот это?

epros в сообщении #1632562 писал(а):

А когда они потом решили, что значений истинности у утверждений должно быть только два (что с моей точки зрения - не самое удачное решение)