Цитата:
из истины может следовать только истина и не может следовать ложь;
изо лжи может следовать всё, что угодно
https://mathter.pro/algebra/1_2_6_implikaciya.htmlХочу обратить внимание на вторую часть этой сентенции.
1.
Следования бывают однозначные и неоднозначные, покажем это на том же примере, что и в
сообщении #1630977Например, в функции "прямая импликация":
![$$\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\rightarrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 0 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
p\Rightarrow q\\
\neg q\Rightarrow \neg p
\end {matrix}
$$ $$\begin {matrix}
{\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\rightarrow Q\\
\hline
\neg p& \neg q& 1\\
\hline
\neg p& q& 1 \\
\hline
p& \neg q& 0 \\
\hline
p& q& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}\\
p\Rightarrow q\\
\neg q\Rightarrow \neg p
\end {matrix}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/5/69571f70ad4cc2c0f00d7f9ad4734d3482.png)
есть однозначное следование
![$p\Rightarrow q$ $p\Rightarrow q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/0/0f0c9b16516a707c18cce1609e1e7c3482.png)
. Оно однозначное, потому что "если
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
, то
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
", и не может быть "если
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
, то
![$\neg q$ $\neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/1806b28ae3f8ccb2f7176ba68a4fc8a382.png)
" (если из множества натуральных чисел
![$\mathbb N$ $\mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76bc60b8ab614c43a72e09bf81806ee82.png)
исключается подмножество
![$N_3$ $N_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/f/e8fd8b345532f0b1a763d7521f7d703a82.png)
чисел, которые делятся на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и не делятся на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, то каждое число в
![$\mathbb N\setminus N_3$ $\mathbb N\setminus N_3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b496edd4ac0ea6d99bca5158eee4289182.png)
, если делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, то делится и на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, и в
![$\mathbb N\setminus N_3$ $\mathbb N\setminus N_3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b496edd4ac0ea6d99bca5158eee4289182.png)
нет такого числа, которое делилось бы на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и не делилось на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
).
Следование
![$\neg q\Rightarrow \neg p$ $\neg q\Rightarrow \neg p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/a/5dad48eaf626f671606faf5ec720028b82.png)
тоже однозначное, но есть и двузначные следования, а именно, из
![$\neg p$ $\neg p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea93f3519d9141e9e02f11439b4588d82.png)
следует либо
![$\neg q$ $\neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/1806b28ae3f8ccb2f7176ba68a4fc8a382.png)
, либо
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
:
![$\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$ $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/6/49656309f7fc495109c50aa01df9648c82.png)
, --
а из
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
следует либо
![$\neg p$ $\neg p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea93f3519d9141e9e02f11439b4588d82.png)
, либо
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
:
![$q\Rightarrow (\neg p\oplus p)$ $q\Rightarrow (\neg p\oplus p)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/d/dfde1a4b1c725da12f3333869c8a766f82.png)
.
То есть имеем два однозначных и два двузначных следования.
(Здесь опять два значения одного и того же слова:
1) следование как однозначное следование,
2) следование, которое может быть как однозначным, так и двузначным, --
так что надо оговаривать.)
Вместо
![$\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$ $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/6/49656309f7fc495109c50aa01df9648c82.png)
неверно было бы написать
![$(\neg p\Rightarrow \neg q)\wedge (\neg p\Rightarrow q)$ $(\neg p\Rightarrow \neg q)\wedge (\neg p\Rightarrow q)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/f/f3f24c93bde153a948a26b49a481a18a82.png)
, во-первых, потому что в этой функции нет однозначных следований
![$(\neg p\Rightarrow \neg q)$ $(\neg p\Rightarrow \neg q)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44b7a7981b335aac364fcad75e6eaa1782.png)
,
![$(\neg p\Rightarrow q)$ $(\neg p\Rightarrow q)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/1/601fc5e318a2eb2cad2def8a513212ae82.png)
, а во-вторых, потому что
![$\neg p\Rightarrow \neg q$ $\neg p\Rightarrow \neg q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1ea23e138c11396a28555918ab4cfc182.png)
и
![$\neg p\Rightarrow q$ $\neg p\Rightarrow q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/8/73870d8787312e78e8e9a475f4f43ec282.png)
исключают друг друга: если имеем
![$\neg p\Rightarrow \neg q$ $\neg p\Rightarrow \neg q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1ea23e138c11396a28555918ab4cfc182.png)
, то уже не можем иметь
![$\neg p\Rightarrow q$ $\neg p\Rightarrow q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/8/73870d8787312e78e8e9a475f4f43ec282.png)
, так как
![$\neg p\Rightarrow \neg q$ $\neg p\Rightarrow \neg q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1ea23e138c11396a28555918ab4cfc182.png)
-- однозначное следование.
Также неверно было бы вместо
![$\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$ $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/6/49656309f7fc495109c50aa01df9648c82.png)
написать
![$\neg p\Rightarrow (\neg q\wedge q)$ $\neg p\Rightarrow (\neg q\wedge q)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/a/eba90feaf08c90d276a70ef6ce89b01682.png)
, потому что
![$\neg q$ $\neg q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/1806b28ae3f8ccb2f7176ba68a4fc8a382.png)
из
![$\neg p$ $\neg p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea93f3519d9141e9e02f11439b4588d82.png)
следует при одних условиях: когда
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и не делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, -- а
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
из
![$\neg p$ $\neg p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eea93f3519d9141e9e02f11439b4588d82.png)
при других: когда
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, то есть при одних и тех же условиях (для одного и того же значения
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
) конъюнкция
![$\neg q\wedge q$ $\neg q\wedge q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/d/78df432d52797e9d7bc49b337fb5109c82.png)
не может иметь места -- одно и то же число не может и делиться, и не делиться на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
.
2.
Как я понимаю, знаменитое изречение: «Из лжи следует что угодно», -- базируется именно на неоднозначности следования
![$\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$ $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/6/49656309f7fc495109c50aa01df9648c82.png)
, но его, по-моему, следует понимать с определенными ограничениями. Когда операнды импликации уже назначены, и тем самым назначены и их отрицания -- во взятом примере это
![$p= $p=](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/7/ef713aee2f4b8d4c2f26e7450bd00ba582.png)
,
![$\neg p= $\neg p=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/4/cd4c25cd939d0d91deabe862cd2e517a82.png)
,
![$q= $q=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/d/88d9ca9eb7154de187d4adc47b300b1b82.png)
,
![$\neg q= $\neg q=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/9/ca9304b9eac875db4da4174c6f62ed0282.png)
, --
то из отрицания первого операнда следует либо отрицание второго операнда, либо второй операнд, но не может следовать что-то постороннее (вместе со своим отрицанием), например, в этом примере из того, что число не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
следует либо то, что оно не делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, либо то, что оно делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, но не то, что Бертран Рассел либо папа римский, либо не папа римский. (Это конечно так, но не имеет отношения к рассматриваемому примеру.)
Для того, чтобы из того, что число не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, следовало либо то, что Бертран Рассел папа римский, либо то, что он не папа римский, первым операндом функции должно быть назначено "
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
", а вторым операндом -- "Бертран Рассел папа римский". То, что эти операнды не связаны по сути, значения не имеет, они будут связаны как операнды одной и той же операции "прямая импликация".
И еще один момент. Обратим внимание на то, что ложь бывает разная, из одной лжи следует ложь, а из другой -- правда: из лжи, что при
![$x=5\;\;x$ $x=5\;\;x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/9/5698d72bf7da0240d8739aaea8f2f9a682.png)
делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, следует ложь, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, а из лжи, что при
![$x=9\;\;x$ $x=9\;\;x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/d/fad81714ffacf63309b2c68c72625fc182.png)
делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, следует правда, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
,
а не так, что из одной и той же лжи следует либо ложь, либо правда: нет такого, что при
![$x=5\;\;x$ $x=5\;\;x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/9/5698d72bf7da0240d8739aaea8f2f9a682.png)
либо делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, либо не делится, нет, он только не делится, а при
![$x=9$ $x=9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/8120bf3a72de657e68fef2ad465b10b082.png)
нет такого, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
либо делится на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, либо не делится, нет, он только делится.
3.
Но давайте посмотрим, так ли уж Вам все это надо на самом деле. В первом сообщении этой темы Вы хотели понять, почему пустое множество является подмножеством любого множества. В чем проблема доказать этот факт обычным человеческим образом, без всяких импликаций?
Дело в том, что моей целью сейчас является не доказательство того, что пустое множество является подмножеством любого множества, а именно разобраться с импликацией (и с остальными логическими функциями -- они ведь все связаны). А доказательством того, что пустое множество является подмножеством любого множества, я занялся, потому что у Куратовского и Мостовского встретил вот это место:
Цитата:
Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
верна импликация
![$x\in \varnothing \to x\in A$ $x\in \varnothing \to x\in A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/f/60fb2c638ecd07098205c4bfde22f55682.png)
, откуда
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19
А насчет парадоксов -- какие есть парадоксы импликации?