Импликация и другие логические связки

[epros]

Кстати, то, что импликация с ложной посылкой истинна, прямо следует из аксиомы под номером 9.

-- Ср фев 28, 2024 22:28:43 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1631263 писал(а):

Из этих качеств сама собой выявится прямая импликация, потому что не найдется $x\in \mathbb N$, который делился бы на $4$ и при этом не делился на $2$.

И что? Вы просто подобрали такие $p$ и $q$, чтобы импликация $p \to q$ оказалась истинной. Зачем?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631266 писал(а):

Вы просто подобрали такие $p$ и $q$, чтобы импликация $p \to q$ оказалась истинной. Зачем?

Можно сказать, что подобраны такие $p$ и $q$, чтобы импликация $p \to q$ оказалась истинной, а можно сказать, что в конкретном проявлении действительности выявлена импликация.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631270 писал(а):

а можно сказать, что в конкретном проявлении действительности выявлена импликация.

А можно сказать, что глокая куздра штеко бодланула бокра и кудрячит бокрёнка. И смысла, пожалуй, будет больше.

[Vladimir Pliassov]

По-моему, я обнаружил потрясающую путаницу в вопросе импликации и вообще логических связок!

Прочитал статью: http://jurnal.org/articles/2008/ped1.html (загружается медленно, надо подождать). Вот отрывок из нее:

Цитата:

Кроме того, в повседневной жизни мы именно так применяем и понимаем импликации. Например, знакомый обещает следующее: «Если у меня будет свободное время, то я куплю тебе билеты на концерт». В каком случае знакомый Вас обманет? Ответ ясен: если у него будет свободное время, а билеты на концерт он не купит. Во всех остальных случаях он поступит в точности так, как и обещал:

1) У него будет свободное время, и он купит билеты на концерт (посылка и заключение импликации истинны).

2) Он будет занят, и у него не будет возможности купить билеты (посылка и заключение импликации ложны).

3) У него не будет свободного времени, но он все равно найдет возможность купить билеты (посылка импликации ложна, а заключение истинно). Что же, и в этом случае знакомый Вас не обманул. Он говорил только о том, что он сделает, если у него будет свободное время, о том же, что он сделает, если его не будет, он ничего не говорил – может быть, он попросит съездить в кассу кого-нибудь еще.

Когда я в него вчитался, то у меня мелькнула догадка наподобие молнии во все небо! Автор полагает, что в этом примере не одна, а четыре импликации: три истинных:

1) у него будет время, и он купит билеты (посылка и заключение импликации истинны),

2) у него не будет времени, и он не купит билеты (посылка и заключение импликации ложны),

3) у него не будет времени, но он купит билеты (посылка импликации ложна, а заключение истинно), --

и еще одна ложная:

4) у него будет время, но он не купит билеты (посылка импликации истинна, а заключение ложно).

Это меня потрясло, потому что до этого я был уверен, что вот в этой таблице:

$$ \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \end {matrix} \eqno (1) $$

не четыре импликации -- по одной в каждой строке, -- а одна, так же как и вот в этой таблице:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (2)$$

которая представляет собой полную запись одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация" (это тот случай, когда функция задается таблицей, то есть когда записано отображение каждого элемента одного множества в каждый элемент другого множества (при сюръективном отображении), в данном случае отображение каждого элемента множества пар $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$ в каждый элемент множества $\{0, 1\}$).

Значит, существует два разных значения одного и того же слова "импликация": в одном случае оно означает то, что заключено в одной из четырех строк таблицы (1) или таблицы (2) (если не считать верхней строки с $p$ и $q$), в другом случае -- всю таблицу, и это лично меня (не знаю, как других) привело к большому недоразумению.

Но теперь, я думаю, это недоразумение разъяснилось, и можно двигаться дальше.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631368 писал(а):

Автор полагает, что в этом примере не одна, а четыре импликации: три истинных:

Импликация одна, но в зависимости от значений булевых переменных $p$ и $q$ (четыре разных случая) она может принимать разные значения.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631368 писал(а):

Значит, существует два разных значения одного и того же слова "импликация"

Нет, существует только одно значение.

Всё, что Вы пишете в этой теме - очень непонятно.

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631368 писал(а):

Значит, существует два разных значения одного и того же слова "импликация": в одном случае оно означает то, что заключено в одной из четырех строк таблицы (1) или таблицы (2) (если не считать верхней строки с $p$ и $q$), в другом случае -- всю таблицу

Импликация — это не таблица и не строка таблицы. И не "то что заключено в строке/строках", что бы это ни означало.

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1631371 писал(а):

Импликация — это не таблица и не строка таблицы. И не "то что заключено в строке/строках", что бы это ни означало.

Вы согласны, что вот эта таблица

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (2)$$

представляет собой запись (а не только таблицу истинности) одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация"?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1631370 писал(а):

Импликация одна

Вы говорите, что все эти три следования:

Цитата:

1) У него будет свободное время, и он купит билеты на концерт (посылка и заключение импликации истинны).

Цитата:

2) Он будет занят, и у него не будет возможности купить билеты (посылка и заключение импликации ложны).

Цитата:

3) У него не будет свободного времени, но он все равно найдет возможность купить билеты (посылка импликации ложна, а заключение истинно).

составляют одну импликацию?

Что же в таком случае значит выражение

Цитата:

импликация с ложной посылкой

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

у Куратовского и Мостовского? Если импликация состоит из трех следований, то разве может быть импликация без ложной посылки? Ведь два из трех ее следований имеют ложные посылки (здесь -- во втором и в третьем следовании.)

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631385 писал(а):

Вы говорите, что все эти три следования:

Тут нет никаких трёх следований или трёх импликаций. Импликация одна, она может быть истинной или ложной. Здесь приведены три случая, при которых импликация истинна.

Вообще, утверждения вида "$A$ и $B$" (как в трёх приведённых цитатах) ни в каком смысле не являются "следованиями".

Vladimir Pliassov в сообщении #1631385 писал(а):

Если импликация состоит из трех следований, то разве может быть импликация без ложной посылки?

Импликация не состоит из трёх следований. Она состоит из посылки и заключения. И посылка, и заключение могут быть всегда истинными, могут быть всегда ложными, могут быть иногда истинными а иногда ложными. В зависимости от того, истинны или ложны посылка и заключение, импликация может быть истинной или ложной в соответствии с таблицей истинности (в частности, может быть так, что в некоторых случаях она истинна, а в некоторых ложна; а может быть и так, что она тождественно истинна; или тождественно ложна).

[Vladimir Pliassov]

1.

Mikhail_K в сообщении #1631387 писал(а):

Здесь приведены три случая, при которых импликация истинна.

Но, наверное, эти три случая должны рассматриваться вместе, потому что если рассмотреть только первый случай, то это будет конъюнкция, а если только первый и второй, то эквиваленция. Правильно?

2.

Можете ли Вы привести пример импликации с ложной посылкой?

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631395 писал(а):

Можете ли Вы привести пример импликации с ложной посылкой?

$A\land\lnot A\to B$

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1631396 писал(а):

$A\land\lnot A\to B$

Это какой-то сложный для меня пример, нет ли примера с простой, но ложной посылкой?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631395 писал(а):

Но, наверное, эти три случая должны рассматриваться вместе, потому что если рассмотреть только первый случай, то это будет конъюнкция, а если только первый и второй, то эквиваленция.

Импликация - это вообще не набор случаев, которые надо рассматривать вместе или не вместе. Импликация - это утверждение. В одних случаях оно верное, в других неверное. В трёх приведённых выше случаях рассматриваемая импликация верна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631395 писал(а):

Можете ли Вы привести пример импликации с ложной посылкой?

Для любого целого $x$ справедлива импликация "если $x$ делится на $4$, то оно чётное".
Она верна и для $x=8$, и для $x=3$, и для любого другого целого $x$.
Если про какое-то $x$ я знаю, что оно делится на $4$, я могу воспользоваться этой импликацией и сделать вывод, что оно чётное.
Если про какое-то $x$ я знаю, что оно не делится на $4$, импликация с ним всё равно верна, но ею нельзя воспользоваться, чтобы сделать вывод, что $x$ чётное. При этом, $x$ может быть как чётным, так и нечётным.

-- 29.02.2024, 21:30 --

Вот ещё утверждение: "Если вазу выбросили из окна, она разбилась".
Это просто закон природы, он верен в любом случае.
Он верен, если вазу выбросили из окна (тогда им можно воспользоваться и сделать вывод, что ваза разбилась).
Но он верен и если вазу не выбрасывали из окна (только тогда им нельзя воспользоваться; а ваза может быть как целой, так и разбившейся по любой другой причине).

Тут я рассмотрел несколько случаев, в каждом из которых импликация верна.
Но импликация - это не набор случаев, это просто утверждение "Если вазу выбросили из окна, она разбилась".

-- 29.02.2024, 21:35 --

А вот ещё импликация: "если $x^3=-1$, то $x=-1$".
Оно верно для любого вещественного $x$. Для вещественных $x$ его легко доказать. И если про вещественное $x$ мы знаем, что $x^3=-1$, то можно сделать вывод, что $x=-1$.
Но для комплексных $x$ это утверждение уже не обязательно верно. И доказать его не получится.

В то же время, самой импликации неважно, какие случаи мы рассматриваем. Просто в одних случаях она верна, в других нет. А бывают импликации, которые всегда верны. И бывают, которые всегда неверны.

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631374 писал(а):

одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация"?

"Импликация" — это не только функция, но и построенные с помощью этой функции утверждения. Так же как "сложение" — это не только функция, но и построенные с помощью этой функции выражения. Например "$2+3$" — это сложение, а "$p\to \text{False}$" — импликация.

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631368 писал(а):

потому что до этого я был уверен, что вот в этой таблице:

$$ \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \end {matrix} \eqno (1) $$

Эта таблица какая-то бессмысленная. Конкретные значения результата (0, 1) зависят от конкретных значений p и q.
И например первая строка будет ошибочной, если p=0, q=1 (результат будет 0, а не 1 как в таблице).

-- 29.02.2024, 22:49 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1631400 писал(а):

Geen в сообщении #1631396 писал(а):

$A\land\lnot A\to B$

Это какой-то сложный для меня пример, нет ли примера с простой, но ложной посылкой?

$\text{False}\to q$

-- 29.02.2024, 23:08 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1631374 писал(а):

представляет собой запись (а не только таблицу истинности) одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация"?

Что вообще значит "запись (а не только таблицу истинности) одной из бинарных булевых функций"?
Таблица истинности вполне однозначно определяет конкретную булевую функцию.

Например, существуeт всего $2^{2^2} = 16$ разных булевых функций над двух булевых аргументов ($2^4=16$ таблиц у каждой из которых $2^2=4$ строк).
У некоторых из этих булевых функций ("таблиц") для удобства есть "короткие имена" типа $\to$, $\land$, $\lor$, $\oplus$... Это вы называете "записью"?

Над семи булевых аргументов существует $2^{2^7}$ разных булевых функций ($2^{128}$ таблиц у каждой из которых $2^7=128$ строк). У них нет "коротких имен" поскольку это нецелесообразно; есть теорема что каждая булевая функция может быть выражена как композиция из "базовых функций над двух аргументов".