Основания классического математического анализа.

[bot]

talash в сообщении #1630624 писал(а):

Из соображений симметрии определяем:

$a\times{a} = a\times{a}$
$(-a)\times(-a) = -(a\times{a})$
$(-a)\times{a} = a\times{a}$
$a\times(-a) = -(a\times{a})$

Из соображений симметрии я был готов согласиться с первым, а потом задумался - какая симметрия объясняет равенство $a=a ?$

[Батороев]

bot в сообщении #1630629 писал(а):

а потом задумался - какая симметрия объясняет равенство $a=a ?$

Симметричность полной таблицы Пифагора (включающей в себя отрицательные числа).

[EminentVictorians]

talash, вот Вам список свойств:

$a + b = b + a$
$(a+b)+c = a+(b+c)$
существует 0 такой, что $a+0 = 0+a = a$ (для любого $a$)
для любого $a$ существует $(-a)$ такой, что $a + (-a) = (-a) + a = 0$
$a(b+c) = ab + ac$
$(a+b)c = ac + bc$

Вы хотите, чтобы они все выполнялись для Ваших чисел?

-- 23.02.2024, 12:41 --

talash в сообщении #1630624 писал(а):

Умножение натуральных чисел это закон природы

Мне такой подход совсем не нравится. Имхо: натуральные числа - это просто абстракция, одна из многих. Придумана человеком для моделирования реальности, существует в умах людей. В природе никаких натуральных чисел нету. Но это уже философия, тут нету однозначно правильных точек зрения. Я такую философию исповедую, у Вас наверняка будет другая.

[talash]

alisa-lebovski в сообщении #1630576 писал(а):

Да ничего удивительного в отрицательных числах нет, если речь идет, например, о деньгах (убытки, долги) или о времени (сколько-то времени назад). И умножение тоже не удивительно. Например, если каждый день вы становитесь беднее на 2 тысячи рублей, то 2 дня назад вы были богаче на 4 тысячи рублей.

Этот пример притянут, потому что умножение это не процесс, а некоторое стационарное состояние(запись, картинка). Можете придумать пример без участия времени?

-- 23.02.2024, 11:56 --

EminentVictorians в сообщении #1630646 писал(а):

talash, вот Вам список свойств:

$a + b = b + a$
$(a+b)+c = a+(b+c)$
существует 0 такой, что $a+0 = 0+a = a$ (для любого $a$)
для любого $a$ существует $(-a)$ такой, что $a + (-a) = (-a) + a = 0$
$a(b+c) = ab + ac$
$(a+b)c = ac + bc$

Вы хотите, чтобы они все выполнялись для Ваших чисел?

Они все выполняются. Мы жертвуем только коммутативным законом при умножении(при сложении он продолжает работать) и только общим(отдельно для умножения положительных и отдельно для умножения отрицательных чисел он выполняется).

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1630648 писал(а):

Они все выполняются.

Тогда минус умножить на минус равно плюс. Вам придется определиться: либо Вы готовы жертвовать какими-то из вышеприведенных свойств, либо смириться с тем, что минус на минус равно плюс.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1630649 писал(а):

talash в сообщении #1630648 писал(а):

Они все выполняются.

Тогда минус умножить на минус равно плюс. Вам придется определиться: либо Вы готовы жертвовать какими-то из вышеприведенных свойств, либо смириться с тем, что минус на минус равно плюс.

Все приведенные Вами свойства выполняются. Проверьте, подставляя единички и минус единички, и перемножая по правилам:
$1\times{1} = 1$
$(-1)\times(-1) = -1$
$1\times(-1) = -1$
$(-1)\times{1} = 1$

[EminentVictorians]

talash, я забыл еще вот это свойство:
существует $1$ такая, что $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$
Добавьте его к моему списку.

Поверьте, если Вы не готовы жертвовать этими свойствами, которые я привел, то Вам ничего не остается, кроме как смириться с тем, что минус умножить на минус равно плюс.

Разумеется, я подразумеваю, что Вы хотите числовую систему, в которой больше одного числа. А то можете просто взять числовую систему состоящую из одного нуля и там все Ваши желания исполнятся. Только этого ли Вы хотите?

[bot]

talash в сообщении #1630651 писал(а):

Все приведенные Вами свойства выполняются. Проверьте, подставляя единички и минус единички, и перемножая по правилам:
$1\times{1} = 1$
$(-1)\times(-1) = -1$
$1\times(-1) = -1$
$(-1)\times{1} = 1$

Дистрибутивеность тоже?
$0=0\cdot(-1)= (-1+1)\cdot(-1)=(-1)\cdot(-1)+1\cdot(-1) =-1-1=-2$

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1630652 писал(а):

talash, я забыл еще вот это свойство:
существует $1$ такая, что $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$

Вы как будто не читаете, коммутативным законом жертвуем и это не выглядит большой утратой по сравнению с приобретениями.

-- 23.02.2024, 12:45 --

bot в сообщении #1630656 писал(а):

Дистрибутивеность тоже?
$0=0\cdot(-1)= (-1+1)\cdot(-1)=(-1)\cdot(-1)+1\cdot(-1) =-1-1=-2$

Это похоже на контрпример. Спасибо. Дистрибутивностью жертвовать не будем. Она часто нужна.

[warlock66613]

talash в сообщении #1630657 писал(а):

Вы как будто не читаете, коммутативным законом жертвуем и это не выглядит большой утратой по сравнению с приобретениями.

Это не коммутативный закон. Это существование единицы, оно выполняется и в некоммутативных кольцах тоже.

[alisa-lebovski]

talash в сообщении #1630648 писал(а):

Этот пример притянут, потому что умножение это не процесс, а некоторое стационарное состояние(запись, картинка). Можете придумать пример без участия времени?

Да зачем? Все реальные события и процессы происходят во времени. Статика - это иллюзия. Иногда мы можем абстрагироваться от времени, иногда нет. Математика должна работать в любом случае.

Малых деток учат: "вам дали одно яблоко, потом еще два яблока, сколько стало яблок?", т.е. события разворачиваются во времени, а не учат, что сложение - это запись и картинка.

Отрицательные числа придумали для описания убытков, долгов. Меня этому учили в курсе истории математики, около 30 лет назад.

Отрицательные числа вводились так, а не иначе, не по произволу, а по необходимости. Абстракционизм в математике, как и в искусстве, стал популярен гораздо позже.

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1630624 писал(а):

А если мы хотим симметрии?
Из соображений симметрии определяем:

$a\times{a} = a\times{a}$
$(-a)\times(-a) = -(a\times{a})$
$(-a)\times{a} = a\times{a}$
$a\times(-a) = -(a\times{a})$

Какие-то у вас странные соображения симметрии. Всего есть 8 расстановок знаков:
$a \times a = a \times a$,
$(-a) \times a = a \times a$,
$a \times (-a) = a \times a$,
$(-a) \times (-a) = a \times a$,
$a \times a = -(a \times a)$,
$(-a) \times a = -(a \times a)$,
$a \times (-a) = -(a \times a)$,
$(-a) \times (-a) = -(a \times a)$.
Их удобно пронумеровать вершинами куба. Вы хотите из них взять четыре, которые соответствуют сечению куба плоскостью (проходящей через диагональ грани и центр), а общепринятый вариант - четыре, которые соответствуют вписанному тетраэдру. Тетраэдр, разумеется, более симметричный.

[talash]

Отрицательные числа используются, например, в электростатике для подсчёта потенциала электрического поля от отрицательного заряда. Там принцип суперпозиции и в задачах может быть сложение нескольких отрицательных и положительных чисел, а результат может быть как положительным так и отрицательным числом. Поэтому, сложение отрицательных чисел становится интуитивно понятным из подобных примеров. Но умножение - нет. Продолжите ряд:

$$2 + 2 = 4$$

$$2 \times 2 = 4$$

$$(-2) + (-2) = -4$$

... Что следующее?

$$(-2) \times (-2) = 4\hspace{10} \color{red} WHY???$$

Более того, правило $-\times-=+$ "ломает" область определения степенной функции $x^a$. Эта функция считается определенной для $x>0$, если $x$ действительное число.
Тем не менее, мы выбираем именно такое определение, чтобы сохранить коммутативный и дистрибутивный закон, сохранить возможность выноса общего множителя за скобки и т.п., потому что для нас важнее удобство сложения/вычитания.
А если нам где-то понадобится график $a^x$, для отрицательного основания, чтобы он вёл себя симметрично как для положительного основания, то мы просто делаем так $-(|a|^x)$
Вывод. Определение правила умножения отрицательных чисел введено из соображений удобств. Его плюсы это сохранения законов сложения и умножения с расширением области определения в сторону $-\infty$ для общих алгебраических выражений, содержащих четыре основные арифметические операции. Это даёт удобство вычислений, не нужно следить за областью определения и для разных областей производить разные расчёты. Минус в том, что область определения степенной функции становится неопределённой для отрицательного основания, подробнее в вики.

[bot]

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Более того, правило $-\times-=+$ "ломает" область определения степенной функции $x^a$.

.

$$\underline{(-a)\cdot (-b)+(-a)\cdot b}=(-a)\cdot (-b+ b)=0$$

$$=(-a+a)\cdot b=\underline{(-a)\cdot b+a\cdot b}\Rightarrow (-a)\cdot (-b)=a\cdot b$$

Против коммутативности сложения и дистрибутивности у Вас вроде нет возражений.

[talash]

bot
Я же уже согласился с вашим контрпримером. Сейчас я развиваю мысль, что правило умножения отрицательных чисел не является интуитивно очевидным, это соглашение, у него есть плюсы, но есть и минусы. Минус в том, что область определения степенной функции получается ограниченной. Если бы минус умножить на минус давал минус, то степенная функция была бы определена и для отрицательных $x$.